4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件围绕等差数列前n项和公式展开，以高斯算法情景导入，从1+2+…+100延伸到1+2+…+101，引导学生用倒序相加法推导公式，搭建从特殊到一般的学习支架，衔接小学知识与高中数学推理。 其特色在于通过数学眼光挖掘历史问题中的数学本质，推导公式时分奇偶项讨论培养数学思维的严谨性，结合二次函数求最值和分类讨论含绝对值求和，提升学生逻辑推理与模型意识。学生能深化公式理解，教师可借助丰富例题高效教学。

4.2.2 等差数列的前n项和公式 第1课时 等差数列前n项和公式 学习目标 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程，并能熟练应用公式进行有关计算.(重点) 2.能利用等差数列前n项和的函数性质解决其前n项和的最值问题.(难点) 3.会计算含绝对值的前n项和.(难点) 刘雨萌 200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 1+2+3+…+100=？ 求等差数列“1,2,3,…,n,…”前100项的和 高斯的算法： 不同数的求和 相同数的求和 转化 问题1：你能说出其中的原理吗？ 和化积 情景引入 刘雨萌 问题2：你能类比这个过程求1+2+…+100+101？ 1+2+…+50+51+52+…+100+101 =(1+101)+(2+100)+…+(50+52)+51 =102×50+51 =5151 [解法一] [解法三]原式 [解法二]原式 刘雨萌 个 当是偶数时，有 于是有 l . 当是奇数时，有 l . 问题3：你能否利用高斯的算法求等差数列{an}的前项和？ 刘雨萌 问题4：求的前项和如何避免项数的奇数偶数的影响？ 倒序相加法 问题5：该方法妙在哪里？能否推广到求等差数列{}前项和？ 可以发现，上述方法的妙处在于将“倒序 ”为， 再将两式相加，得到个相同的数（即）相加，从而把不同数的求和转化为个相同的数求和。 知首项/末项 Sn＝1＋ 2 ＋ 3 ＋…＋1 Sn＝n＋(n-1)＋(n-2)＋…＋ n 刘雨萌 知识梳理：阐述“倒序相加法”推导等差数列的前项和的过程   an=a1+(n-1)d代入 知首项、末项、项数 知首项、公差、项数 an a1,n,d ，Sn 知三求二 刘雨萌 等差数列的前项和的几何解释   n a1 a1 an-a1=(n-1)d an a1 a1 an n 刘雨萌 问题6：除了公式（2）是否还有其他推导方法吗？ + 知首项/公差 刘雨萌 l 典例分析 一、等差数列的前n项和有关计算 (课本21页例6) 已知数列{an}是等差数列. (1)若a1=7，a50=101，求S50； 因为a1=7，a50=101，根据公式Sn=，可得S50==2 700. (2)若a1=2，a2=，求S10； 因为a1=2，a2=，所以d=.根据公式Sn=na1+d，可得 S10=10×2+×=. (3)若a1=，d=-，Sn=-5，求n. 把a1=，d=-，Sn=-5代入Sn=na1+d，得-5=n+×. 整理，得n2-7n-60=0.解得n=12，或n=-5(舍去). 所以n=12. 刘雨萌 反思感悟 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. (2)结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)，则am +an=ap+aq，特别地，若m+n=2p，则2ap=am+an常与求和公式 Sn=结合使用. 刘雨萌 跟踪训练 学习笔记15页例1 　在等差数列{an}中： (1)已知a6=10，S5=5，求a8和S10； 解得 ∴a8=a6+2d=10+2×3=16，S10=10a1+d=10×(-5)+5×9×3=85. (2)已知a1=4，S8=172，求a8和d. 由已知得S8===172，解得a8=39， 又∵a8=4+(8-1)d=39，∴d=5.∴a8=39，d=5. 刘雨萌 跟踪训练1 在等差数列{an}中： (1)a1=1，a4=7，求S9； 设等差数列{an}的公差为d，则a4=a1+3d=1+3d=7，所以d=2. 故S9=9a1+d=9+×2=81. (2)a3+a15=40，求S17； S17====340. (3)a1=，an=-，Sn=-5，求n和d. 由题意得，Sn===-5，解得n=15. 又a15=+(15-1)d=-，解得d=-，所以n=15，d=-. 刘雨萌 教材21页例7. 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ l 解：由题意，知. 把它们代入公式，得 解方程组，得 所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差. 一般地，对于等差数列，只要给定两个互相独立的条件，这个数列就完全确定. 典例分析 刘雨萌 思考：例7如果只求公差d，你有简便算法吗？  ③ ④ ④―③得 刘雨萌 已知数列的前项和为，其中为常数，且. 任取若干组，在电子表格中计算的值（给出的情况）,观察数列的特点，研究并证明它是一个怎样的数列． 图中的电子表格列中分别表示的值，列、列中分别是相应的和的值． 探究 二、利用等差数列前n项和公式判断等差数列 刘雨萌 新知探索（教材22页） l 已知数列的前项和为(为常数且)，则当时，数列为等差数列；当时，数列从第二项起为等差数列. 证明：当时， 当时， (1)当时，符合 ∴，此时数列为等差数列，且公差为. (2)当时，不符合 ∴此时数列从第二项起为等差数列，且公差为. 刘雨萌 学习笔记15页例2 　若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是不是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由. 当n=1时，a1=S1=-1； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5， 经检验，当n=1时，a1=-1满足上式， 故an=4n-5. 数列{an}是等差数列，证明如下： 因为an+1-an=4(n+1)-5-4n+5=4， 所以数列{an}是等差数列. 刘雨萌 由Sn求得通项公式an的特点 若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数 列{an}是等差数列；否则an=数列{an}不是 等差数列. 反思感悟 学习笔记16页左侧反思与感悟 刘雨萌 19 若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是不是等差数列. 延伸探究1 ∵Sn=2n2-3n-1， ① 当n=1时，a1=S1=2-3-1=-2； 当n≥2时，Sn-1=2-3-1， ② ①-②得an=Sn-Sn-1 =2n2-3n-1-[2-3-1]=4n-5， 经检验当n=1时，an=4n-5不成立， 故an= 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列. 刘雨萌 20 若等差数列{an}的前n项和为Sn=2n2-3n+r-1，求r的值. 延伸探究2 方法一　∵Sn=2n2-3n+r-1， ① ∴当n=1时，a1=S1=2-3+r-1=r-2； 当n≥2时，Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)+r-1， ② ①-②得an=Sn-Sn-1=2n2-3n+r-1-[2(n-1)2-3(n-1)+r-1]=4n-5， ∵{an}为等差数列，∴当n=1时，4×1-5=r-2，解得r=1. 方法二　∵等差数列的前n项和为没有常数项的“二次函数”，∴常数项r-1=0，即r=1. 刘雨萌 21 探究： 根据前面所学，等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点？ 刘雨萌 O n Sn (n，Sn) O n Sn (n，Sn) O n Sn (n，Sn) ① d = 0：Sn = a1n，一条过原点的直线上均匀分布的点； ② d < 0：一条开口向下的过原点的抛物线上均匀分布的点； ③ d > 0：一条开口向上的过原点的抛物线上均匀分布的点； 最值 无 最大值 最小值 刘雨萌 等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最 值，使Sn取得最值的n可由不等式组__ ______确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最 值，使Sn取得最值的n可由不等式组_________确定. 大 小 知识梳理 (2)Sn=n2+n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最 值；当d<0时，Sn有最 值.当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值. 小 大 注(1)当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1. (2)Sn取得最大值或最小值时的n不一定唯一. 学习笔记16页三、等差数列中前n项和的最值问题 刘雨萌 (课本23页例9)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=10，公差d=-2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 典例分析 方法一　由an+1-an=-2<0，得an+1<an，所以{an}是递减数列. 又由an=10+(n-1)×(-2)=-2n+12，可知： 当n<6时，an>0； 当n=6时，an=0； 当n>6时，an<0. 所以S1<S2<…<S5=S6>S7>….也就是说，当n=5或6时，Sn最大. 因为S5=×[2×10+(5-1)×(-2)]=30，所以Sn的最大值为30. 刘雨萌 25 方法二　因为Sn=n2+n =-n2+11n=-+， 所以当n取与最接近的整数即5或6时，Sn最大，最大值为30. (课本23页例9)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=10，公差d=-2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 刘雨萌 26 求等差数列前n项和Sn最值的方法 (1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 来寻找； (2)运用二次函数的性质求最值，注意n∈N*. 反思感悟 刘雨萌 27 学习笔记16页例3 在等差数列{an}中，a1=25，S8=S18，求前n项和Sn的最大值. 跟踪训练 方法一　因为S8=S18，a1=25， 所以8×25+d=18×25+d， 解得d=-2. 所以Sn=25n+×(-2)=-n2+26n =-(n-13)2+169. 所以当n=13时，Sn有最大值为169. 方法二　同方法一，求出公差d=-2. 所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. 因为a1=25>0， 由 又因为n∈N*， 所以当n=13时，Sn有最大值为169. 刘雨萌 28 方法三　因为S8=S18， 所以a9+a10+…+a18=0. 由等差数列的性质得a13+a14=0. 因为a1>0，所以d<0. 所以a13>0，a14<0. 所以当n=13时，Sn有最大值. 由a13+a14=0，得a1+12d+a1+13d=0， 解得d=-2， 所以S13=13×25+×(-2)=169， 所以Sn的最大值为169. 方法四　设Sn=An2+Bn. 因为S8=S18，a1=25， 所以二次函数图象的对称轴为直线n==13，且开口方向向下， 所以当n=13时，Sn取得最大值. 由题意得 解得 所以Sn=-n2+26n，所以S13=169， 即Sn的最大值为169. 刘雨萌 29 (多选)设数列{an}是以d为公差的等差数列，Sn是其前n项和，a1>0，且S6=S9，则下列结论正确的是 A.d<0 B.a8=0 C.S5>S6 D.S7和S8为Sn的最大值 跟踪训练2 √ √ √ 方法一　根据题意可得6a1+d=9a1+d，即a1+7d=a8=0.因为a1>0，a8=0，所以d<0，所以数列是递减数列，故A，B正确； 对于C，因为a8=0，d<0，所以a6>0，所以S5<S6，故C不正确； 对于D，因为a8=0，所以S7=S8，又为递减数列，所以S7和S8为Sn的最大值，故D正确. 方法二　因为等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S6=S9，a1>0，可得S7=S8，S7和S8为Sn的最大值，进而可得a8=0，因为a1>0，所以d<0，当n≤7时，an>0，所以a6>0，所以S5<S6.故A，B，D正确，C错误. 刘雨萌 30 学习笔记17页例4 已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n，求数列{|an|}的前n项和Tn. 新知探究 a1=S1=-×12+×1=101. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=-3n+104. ∵n=1也适合上式， ∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104. 由an=-3n+104≥0得n≤34， 即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0. 刘雨萌 31 方法一　①当n≤34时， Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n； ②当n≥35时， Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an| =(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an) =2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an) =2S34-Sn =2- =n2-n+3 502. 故Tn= 刘雨萌 32 方法二　①同方法一. ②当n≥35时， Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an) =- =n2-n+3 502， 故Tn= 解 刘雨萌 33 由等差数列{an}求数列{|an|}的前n项和的技巧 常先由Sn的最值判断出哪些项为正，哪些项为负或先求出an，解得an≥0时n的取值范围，判断出哪些项为正，哪些项为负. (1)等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{|an|}就等于数列{an}，可以直接求解. (2)若前k项为负，从k+1项开始以后的项非负，则{|an|}的 前n项和Tn= 反思与感悟 (3)若前k项为正，从k+1项开始以后的项非正，则Tn= (4)分别求出an≥0与an<0时的和，再相减求出|an|的前n项和. 刘雨萌 34 学习笔记17页跟踪训练3 已知数列{an}的通项公式是an=4n-25，求数列{|an|}的前n项和Sn. ∵an=4n-25， ∴an+1=4(n+1)-25，an+1-an=4， a1=4×1-25=-21， ∴数列{an}是以-21为首项，4为公差的等差数列. 由an≥0，得4n-25≥0，即n≥6， ∴数列{an}中前6项均小于零，从第7项起均大于零， ∴当n≤6时，|a1|+|a2|+…+|an| =-(a1+a2+…+an) =-=-2n2+23n. 当n≥7时，|a1|+|a2|+…+|an| =-(a1+a2+…+a6)+(a7+a8+…+an) =(a1+a2+…+an)-2(a1+a2+…+a6) =-21n+×4-2× =2n2-23n+132. 故数列{|an|}的前n项和 Sn= 刘雨萌 35 课堂小结 回顾本节课的探究过程，你学到了什么？ 1、等差数列{an}的前n项和公式： 2、求数列前n项和的一种方法： “倒序相加”法 3、求等差数列的前n项和的最值方法 ①通项公式法 ②前n项和法 刘雨萌 求等差数列的前n项和的最值方法： （1）通项公式法：an = a1 + (n – 1) d = dn + ( a1 – d )， ① 判断an 正负项情况；②求出最值时n值，Sn值； （2）前n项和法：Sn = n2 + (a1 – )n， ①根据d情况判断是否有最值；②求出最值时n值，S值； 刘雨萌 随堂演练 1.已知数列{an}的通项公式为an=2-3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn等于 A.-n2+ B.-n2-C.n2+ D.n2- √ 2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，且S12-S5=21，则S17等于 A.17 B.34 C.51 D.68 √ 3.已知数列{an}满足an=26-2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为 A.11或12 B.12 C.13 D.12或13 √ 4.已知数列{an}的通项公式为an=|19-2n|，n∈N*，则其前20项和为　　　. 202 刘雨萌 1.基础性作业 (1)整理本节课的题型； (2)课本P22-23的练习1——5题； (3)课本P24题4.2第6、7、8、9、10、12题. 2.拓展性作业 练透93页作业4 1-10必做，11-14选做，15、16拓展研究 课后作业 刘雨萌 本节内容结束 $