4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（人教A版）

第四章 数列 4.2 等差数列 1 4.2.2 等差数列的前项和公式 第1课时 等差数列的前 项和公式 2 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑 中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺 成（如图），最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板， 从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈. 试想，文中所提到的石板一共有多少块？本节课我们一起来探究. 返回导航 新课导入 3 1.了解等差数列前 项和公式的推导过程． 2.掌握等差数列的前 项和公式． 3.了解等差数列前 项和公式与二次函数的关系． 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 等差数列前 项和公式 思考1 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了这个问题： 等于多少？ 提示：5 050. 思考2 高斯在求和过程中利用了什么方法？其方法利用了数列的什么性质？ 提示： . 设，在计算中利用了等差数列的性质：若 ,则 . 返回导航 7 思考3 试求解 . 提示：, ,两式 相加，，得 . 返回导航 8 思考4 类比上述方法，试推导等差数列的前 项和 的公式. 提示： ,① ,② 得 , 由此得等差数列的前项和公式为 （公式一）. 将代入公式一中，得 （公式二）. 返回导航 9 ［知识梳理］ 等差数列的前 项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 _ _______ _ _____________ 推导方法 倒序相加法 返回导航 10 ［例1］ （对接教材例6）在等差数列 中： （1）,,求 ; 【解】设等差数列的公差为,则 ,所以 . 故 . （2）,求 ; 解：因为 , 所以 . 返回导航 11 （3）,,,求和 . 解： , 解得 ， 又 , 所以 , 所以, . 返回导航 12 求等差数列的基本量的方法 等差数列的通项公式和前<m></m>项和公式中有五个量<m></m>,<m></m>,<m></m>,<m></m>和<m></m>,这五个 量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量<m></m>和<m></m>的方程组，解出<m></m>和 <m></m>,便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. 返回导航 13 ［跟踪训练1］ （1）已知为等差数列的前项和,,,则数列 的公差 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 √ 解析：选B.由题得 解得 返回导航 14 （2）计算： _ ______. 解析：由题意，易得数列 为等差数列，所以 . 返回导航 应用点1 由 的公式判断等差数列 ［例2］ 已知数列的前项和为，求数列 的通项公式， 并判断数列 是否为等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由. 【解】 当时， ； 当时， , 经检验，当时， 满足上式， 故 . 又因为 , 所以数列 是等差数列. 返回导航 16 母题探究 若数列的前项和为 ,求数列 的通项公 式，并判断数列 是否为等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由. 返回导航 17 解：因为 ,① 当时， , 当时， ,② 得 , 经检验当时， 不满足上式， 故 故数列不是等差数列，数列 从第2项起是以4为公差的等差数列. 返回导航 18 在判断是否为等差数列时，务必验证是否满足 的 情形. （1）若适合，则 , （2）若不适合,则 注意 若数列的前项和为的形式，则 是等差数列； 若，则 不是等差数列. 返回导航 19 ［跟踪训练2］ 已知数列的各项均为正数，其前项和为 ，且满足 ，.证明：数列 是等差数列. 证明：当时，，得 （负值已舍去）， 当时， ， 又 ， 两式相减得， ， 整理得 ， 因为，所以 ， 所以数列是以1为首项， 为公差的等差数列. 返回导航 20 应用点2 数列的前 项和 ［例3］ 若等差数列的首项,公差 ，记 ，求 . 返回导航 21 【解】 因为, , 所以 . 令，得 , 又因为,所以 ， 则当 时， ； 记等差数列的前项和为 . 当 时， 返回导航 22 . 所以 返回导航 已知等差数列，求的前 项和的步骤： （1）确定 的通项公式； （2）求解时， 的取值范围； （3）去掉数列中各项的绝对值，转化为的前 项和求解； （4）将的前 项和写成分段函数的形式. 返回导航 24 ［跟踪训练3］ 已知在等差数列中，, . （1）求数列 的通项公式； 解：设等差数列的公差为 ， 则有解得 ， 所以 . （2）设，求 . 解：因为当时,;当时, ， 所以 . 返回导航 25 PART 02 课堂巩固 自测 26 1.已知等差数列，0，， ，则其前10项的和为( ) A. B. C. D. 解析：选C.设该等差数列为,其前项和为,由题意， ， ，所以 ,所以 .故选C. √ 返回导航 27 2.（多选）已知数列为等差数列，为其前项和，若, ， 则( ) A. B. C. D. 解析：选.由,可得 解得故A正确，B错误； ，故C正确； ，D错误. √ √ 返回导航 28 3.设等差数列的前项和为，若，则 ____. 45 解析：在等差数列中，因为，所以 ， 解得,又,所以 . 返回导航 29 4.已知数列是等差数列，且公差为，其前项和为 . （1）若,，求 ； 解：因为数列是等差数列，且 , ，所以 , 则 , 所以 . 返回导航 30 （2）若，，，求 . 解：因为，解得 ， 又因为 ， 解得 . 返回导航 31 1.已学习：（1）等差数列前 项和公式的推导及应用； （2）利用等差数列前 项和公式判断等差数列； （3）含绝对值的数列的前 项和. 2.须贯通：（1）利用公式求和要会灵活选择求和公式； （2）推导求和公式应用了倒序相加法. 3.应注意：由求通项公式时，忽略对 的验证. 返回导航 32 $