4.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念 第2课时 等差数列的性质及应用 学习目标 1.掌握等差数列的性质及应用.(重点) 2.可由等差数列构造新数列. 3.能灵活设项解等差数列. 4.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用.(难点) 刘雨萌 复习回顾 1. 等差数列定义：an-an-1=d （n≥2，n∈N*）或 an+1-an=d (n∈N*) 2. 等差中项：a,A,b成等差数列 2A=a+b，（A叫a,b的等差中项） 3. 通项公式：an =a1+(n-1)d 推导公式：an=am+(n－m)d 4. 等差数列与一次函数：an= kn+b，其中k=d 等差数列图象：一次函数图像上均匀排开的一群孤立的点 新知探究 四、等差数列的判定与证明 学习笔记第10页 问题5 如果一个数列的前有限项是等差数列，那么这个数列是等差数列吗？ 提示　不一定，证明一个数列是等差数列，一定要体现出任意性. 思考：如何判断一个数列为等差数列？ 1. an-an-1=d （n≥2）或 an+1-an=d (n∈N*) {an}为等差数列. 2. 2an+1=an+an+2 {an}为等差数列. 3. an=kn+b ，an为n的一次函数 {an}为等差数列. 刘雨萌 举例：判断下列数列是否是等差数列． (1)an＝4n－3； (2)an＝n2＋n. 正解：(1)∵an＋1－an ＝[4(n＋1)－3]－(4n－3) ＝4， ∴{an}为等差数列． 易错辨析 错因剖析：易用特殊代替一般，验证前几项后就得出结论，等差数列在定义中的要求是“任意的后一项与前一项的差是常数”，不是“确定的后一项与前一项的差是常数”． (2)由an＝n2＋n 知 a1＝2，a2＝6，a3＝12， a2－a1 ≠ a3－a2， ∴{an}不能构成等差数列． 思考：关于等差数列的计算问题有哪些方法？ 1. 基本量法：将已知条件化为a1和d ，解方程(组) . 2. 等差数列通项的推广：an=am+(n－m)d. 3. 等差中项的应用： 2an+1=an+an+2 方法回顾 练习 书P15 等差数列的计算问题 4. 已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝ 12. 求a4. 跟踪训练 学习笔记第10页例4 　已知数列{an}满足a1=2，an+1=. (1)数列是不是等差数列？说明理由； 数列是等差数列，理由如下： ∵a1=2，an+1=， ∴==+， ∴-=， 即数列=，公差为d=的等差数列. (2)求an. 由(1)可知=+(n-1)d=， ∴an=，n∈N*. 刘雨萌 延伸探究 a1=4，an=4-(n>1)，记bn=. (1)试证明数列{bn}为等差数列； bn+1-bn=-=-=-==. 又b1==，∴数列{bn}是首项为的等差数列. (2)求数列{an}的通项公式. 由(1)知bn=+(n-1)×=. ∵bn=，∴an=+2=+2. ∴数列{an}的通项公式为an=+2，n∈N*. 刘雨萌 新知探究 学习笔记第11页 问题1 如果{an}是等差数列，a3=5，d=2，不求首项，你能求数列的通项公式吗？ 提示　由定义可知a3=a1+2d，an=a1+(n-1)d，两式相减得an-a3=(n-3)d，即an=a3+(n-3)d.所以an=2n-1. 问题2 若数列{an}是等差数列，公差为d，m+n=p+q(m，n，p，q ∈N*)，则am，an，ap，aq这四项之间有什么样的关系？ 提示　由等差数列的定义可知，am=a1+(m-1)d，an=a1+(n-1)d，ap=a1+(p-1)d，aq=a1+(q-1)d，容易发现am+an=2a1+(m+n-2)d，ap+aq=2a1+(p+q-2)d，因为m+n=p+q，故有am+an=ap+aq. 一、等差数列的性质 刘雨萌 例5 已知数列{an}是等差数列，p, q, s, t ∈N*，且 p＋q＝s＋t， 求证：ap＋aq＝as＋at . 证明：设数列{an}的公差为d，则 ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d ＝2a1＋(p＋q－2)d， as＋at＝a1＋(s－1)d＋a1＋(t－1)d ＝2a1＋(s＋t－2)d， 因为p＋q＝s＋t， 所以ap＋aq＝as＋at . 例题分析 书P17 等差数列的性质： 1. 性质1： 等差数列通项公式的推广 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， ②an＝am＋ d(m，n∈N*)， (n－m) 其中， ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等差数列任两项求公差. 知识梳理 学习笔记11页知识梳理 刘雨萌 2. 性质2：等差数列的 “下标和”性质 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q (m,n,p,q∈N*)， 则am＋an＝ . 特别地，若m＋n＝2p (m,n,p∈N*)，则有am＋an＝ . ap＋aq 2ap 知识梳理 学习笔记11页知识梳理 补 (1)推广：若m+n+p=x+y+z，则am+an+ap=ax+ay+az. 两项之和都相等， 刘雨萌 思考 1：已知数列{an}是等差数列， 由 ap＋aq＝as＋at 能推出 p＋q＝s＋t 吗？ 不能 易错辨析 反例 ： 常数列1，1，1，1... a1＋a100＝a2＋a3＝1+1=2 但1+100 ≠ 2+3 思考 2：已知数列{an}是等差数列， 由 m+n=p能推出am＋an＝ap吗？ 不能 举例： 在等差数列{an}中，已知a3=2，a6=5，求a9 . 错解: 因为3+6=9, 所以a9 = a3+a6 = 2+5 = 7. 提示: 性质ap+aq=as+at中必须是两项相加等于两项相加, 并不是 下标和相等即相等. 正解: 2a6=a3+a9 , 2×5=2+a9，故a9=8. 易错辨析 练1. 在等差数列{an}中， (1) 已知 a1+a9=4，求：a5； (2) 已知 a7+a8+a14+a15=20，求：a1+a21； (3) 已知 a3+a11=6，求：a6+a7+a8 . 练2. 在等差数列{an}中，已知 a1+a5+a9=π，求：sin(a2+a8). 10 9 举例应用 等差数列性质的应用 2 典例分析 学习笔记11页例1 (1)已知{bn}为等差数列，若b3=-2，b10=12，则b8=　　. 方法二　设等差数列的通项公式为bn=an+b(a，b为常数)， 则 ∴bn=2n-8，∴b8=2×8-8=8. 8 (2)已知数列{an}是等差数列，若a1-a9+a17=7，则a3+a15等于 A.7 B.14 C.21 D.7(n-1) √ 方法一　∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d， 则d===2， ∴bn=b3+(n-3)d=2n-8.∴b8=2×8-8=8. 刘雨萌 延伸探究 学习笔记12页延伸探究 在等差数列{an}中，a3+a7+2a15=40，求a10. 方法一　设数列{an}的公差为d. 则a3+a7+2a15=a1+2d+a1+6d+2(a1+14d)=4a1+36d=4(a1+9d)=4a10=40， ∴a10=10. 方法二　∵a3+a7+2a15=a3+a7+a17+a13=4a10=40，∴a10=10. (1)灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m=1，an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d，可以减少记忆负担. (2)等差数列运算的两种常用思路 ①基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量. ②巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m+n=p+q =2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am+an=ap+aq=2ar. 刘雨萌 本节内容结束 新知探究 学习笔记12页 问题3 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，在{an}中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？ 提示　设新数列为，公差为d'，则有b1=a1，b6=a2，所以b6-b1=a2-a1=d，故有5d'=d，所以d'=d. 刘雨萌 例4 已知等差数列{an}的首项a1 =2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式. 解：(1) 设数列{bn}的公差为d',则 b1= a1=2, b5 = a2=10 例题分析 书P16 如果插入k(k∈N*)个数，那么{bn}的公差是多少？ 等差数列的综合应用 例4 已知等差数列{an}的首项a1 =2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (2) b29是不是数列{an}的项?若是,它是{an}的第几项?若不是,说明理由. 解：(2) 由已知， an= a1+(n-1) d=2 +(n-1)×8 = 8n-6 又bn=2n ，∴ b29=2×29=58 令8n-6=58 ，解得 n=8 ∴ b29是数列{an}的第8项. 例题分析 书P16 例4 已知等差数列{an}的首项a1 =2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (2) b29是不是数列{an}的项?若是,它是{an}的第几项?若不是,说明理由. 例题分析 书P16 解法二：数列的各项依次是{bn}的第1，5，9，13，…项， 这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列， 则. 令解得 所以，是数列的第8项. 延伸探究 有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为 A.15 B.16 C.17 D.18 √ 易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2， 所以通项公式为an=12n-10， 所以12n-10≤190，解得n≤， 而n∈N*，所以n的最大值为16，即这个新数列的项数为16. 刘雨萌 跟踪训练 学习笔记12页例2 在无穷等差数列{an}中，首项a1=3，公差d=-5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}. (1)求b1和b2； ∵a1=3，d=-5，∴an=3+(n-1)×(-5)=8-5n. 数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…， ∴b1=a3=-7，b2=a7=-27. (2)求数列{bn}的通项公式； 设数列{an}中的第m项是数列{bn}中的第n项，即bn=am，则m=3+4(n-1)=4n-1，∴bn=am=a4n-1=8-5×(4n-1)=13-20n，即数列{bn}的通项公式为bn=13-20n. (3)数列{bn}中的第503项是{an}中的第几项？ 3+4×(503-1)=2 011，∴数列{bn}中的第503项是数列{an}中的第2 011项. 刘雨萌 探究1 两个等差数列5,8,11,… 和 3,7,11,…，求由它们相同的项构成的新数列的通项？ 解：设已知两个数列的所有相同的项将构成的新数列为{cn}， 又等差数列5,8,11，…的通项公式为an＝3n＋2， 等差数列3,7,11，…的通项公式为bn＝4n－1. ∴数列{cn}为等差数列，c1＝11，且公差d＝12. ∴cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1. 题型补充 两个等差数列的公共项构成新数列 2. 性质3： 等差数列构造的 “新数列” 的性质 d cd 2d 知识梳理 学习笔记12页知识梳理 刘雨萌 跟踪训练 学习笔记13页跟踪训练2 (1)已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1=2，d2=1，则数列{2an-3bn}的公差为 A.7 B.5 C.3 D.1 √ 2an+1-3bn+1-(2an-3bn)=2(an+1-an)-3(bn+1-bn)=2d1-3d2=4-3=1. (2)已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn=　　　；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是　　. 12n-1 25 由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4=12，又c1=11，故cn=11+12(n-1)=12n-1.又a100=302，b100=399，所以11≤12n-1≤302，解得1≤n≤25.25， 又n∈N*，故{cn}的项数为25. 刘雨萌 探究2 三数成递增等差数列，它们的和为18，平方和为116，求这三个数. 解：设这三个数分别为a-d，a，a+d, 则 (a-d)+a+(a+d)=18，即3a=18 ∴ a=6 又∵ (a-d)2+a2+(a+d)2=116，即3a2+2d2=116 解得 d=±2 又∵该数列为递增数列，∴d=2 ∴这三个数分别为4，6，8. 题型补充 等差数列中对称项设法 练P14 探究2 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两个数的积为40， 求这四个数. 解：设这四个数分别为a-3d，a-d，a+d, a+3d则 (a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=26，即4a=26 ∴ a= 又∵ (a-d)(a+d)=40，即a2-d2=40 解得 d=± ∴当d= 时， 这四个数分别为2，5，8，11. 当d=﹣ 时，这四个数分别为11，8，5，2. 题型补充 等差数列中对称项设法 练P14 几个数成等差数列的设项方法与技巧 (1) 当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1， 公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列. (2) 当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d. (3) 当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时 公差为2d. 方法总结 学习笔记13页反思与感悟 刘雨萌 跟踪训练 学习笔记13页例3 已知四个数成等差数列，它们的和为32，它们的平方和为276，求这四个数. 设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d. 则 解得 ∴这四个数为5，7，9，11或11，9，7，5. 刘雨萌 学习笔记13页 跟踪训练3 已知递增的等差数列{an}的前三项的和为21，前三项的积为231，求数列{an}的通项公式. 方法一　根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1+d，a1+2d， 则 即 解得 因为数列{an}为递增数列，所以 从而等差数列{an}的通项公式为an=4n-1. 刘雨萌 学习笔记13页 跟踪训练3 已知递增的等差数列{an}的前三项的和为21，前三项的积为231，求数列{an}的通项公式. 方法二　由于数列{an}为等差数列，因此可设前三项分别为a-d，a，a+d， 由题意得 即 由于数列{an}为递增数列，因此 从而an=4n-1. 刘雨萌 例题分析 书P16 等差数列的实际应用 例3 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少. 经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废. 请确定d的取值范围. 分析: 这台设备使用满n年时得价值构成 一个数列{an}. 由题意可知，使用满10年时， 这台设备得价值不小于(220×5％=)11万元； 而第11年底，这台设备的价值应小于11万元.可以利用{an}的通项公式列不等式求解. 刘雨萌 例题分析 书P16 等差数列的实际应用 例3 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少. 经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废. 请确定d的取值范围. 解: 设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}. 依题意得，数列{an}是一个公差为－d的等差数列，且a1＝220－d . ∴ an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得a10 ≥ 220×5％=11，a11 < 220×5％=11， 解决等差数列实际问题的基本步骤 (1) 将已知条件翻译成数学(数列)问题（设）； (2) 构造等差数列模型(明确首项和公差)； (3) 利用通项公式解决等差数列问题； (4) 将所求出的结果回归为实际问题（答）. 方法总结 学习笔记13页例4 已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d(d≠0)的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列. (1)若a20=40，求d； 依题意得，a10=10，a20=10+10d=40，所以d=3. (2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围； a30=a20+10d2=10(1+d+d2)(d≠0)，故a30=10， 当d∈(-∞，0)∪(0，+∞)时，a30的取值范围为. (3)续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，以此类推，把已知数列推广为无穷数列. 所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，a10n，a10n+1，…，a10(n+1)是公差为dn的等差数列. 刘雨萌 解决数列综合问题的方法策略 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项. (2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式. (3)利用函数或不等式的有关方法解决. 跟踪训练4 已知数列{an}是等差数列，a4=15，a7=27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率为 A.4 B. C.-4 D.- √ 跟踪训练 刘雨萌 课堂小结 1.知识清单： (1)等差数列的性质. (2)由等差数列构造新数列. (3)灵活设项解等差数列. (4)等差数列的应用. 2.方法归纳：公式法、构造法、解方程组法. 3.常见误区： (1)不注意运用性质而出错或计算烦琐. (2)实际问题中项数的确定. 刘雨萌 随堂演练 1.由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1+a3，a2+a4，a3+a5，…，下列说法正确的是 A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 √ 因为(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d， 所以数列a1+a3，a2+a4，a3+a5，…是公差为2d的等差数列. 刘雨萌 1 2 3 4 2.等差数列{an}中，若a2，a2 024为方程x2-10x+16=0的两根，则a1+a1 013+a2 025等于 A.10 B.15 C.20 D.40 √ ∵a2，a2 024为方程x2-10x+16=0的两根， ∴a2+a2 024=10， 由等差数列的性质得2a1 013=10，即a1 013=5， ∴a1+a1 013+a2 025=3a1 013=15. 刘雨萌 1 2 3 4 3.已知等差数列{am}满足am-1+am+1--1=0，且m>1，则a1+a2m-1=　　. ∵am-1+am+1=2am， ∴2am--1=0， 即(am-1)2=0，∴am=1， ∴a1+a2m-1=2am=2. 2 刘雨萌 1 2 3 4 4.三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为-24，则这三个数为　　 　　. 设这三个数分别为a-d，a，a+d. 由题意可得 解得 故所求三个数为-2，2，6或6，2，-2. -2，2，6或6，2，-2 刘雨萌 1.基础性作业 （1）必做题：教科书第17页练习第1-5题。 练透91页作业4 1-10 （2）选做题：教科书第24页习题4.2第1、2、 4、5、10题。 练透91页作业4 11-14 2.拓展性作业 练透91页作业3 15、16 课后作业 刘雨萌 本节内容结束 ③d＝(m，n∈N*，且m≠n). pd1＋qd2 ①若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列： (1){c＋an}(c为任一常数)是公差为 ___的等差数列； (2){c·an}(c为任一常数)是公差为 ______的等差数列； (3){an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为 ______的等差数列． ②若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn} (p，q是常数)是公差为 _______________的等差数列． $