三角函数二倍角公式与和差公式综合 专项练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

三角函数二倍角公式与和差公式综合练习 知识梳理 知识点1：三角恒等变换 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(a- cos(a-p)=cosa cos B+sina sin B a,B∈R 两角和的余弦公式 C(a+B) cos(a+B)=cosa cos B-sina sin B a,B∈R 两角和的正弦公式 S(a+B) sin(a+B)=sina cos B+cosa sin B a,B∈R 两角差的正弦公式 S(a-B) sin(a-β)=sina cosβ-cosa sinβ a,B∈R 两角和的正切公式 T(a+B) tan(a+B)= tan a tan B a,B,a+B≠kr十π2(k∈Z) 1-tana tan B 两角差的正切公式 T(a-P) tan(a-B)= tana -tan B a,B,a-≠km+π2(k∈Z) 1+tana tan B 二倍角的正弦公式 S2a sin2a=2sinacosa a∈R 二倍角的余弦公式 C2a cos2a=cos2a-sin2a a∈R 2tand 2aufr十元2且a时km+π2(k∈ 二倍角的正切公式 T2a tan2a= 1-tan'o Z 知识点2：半角公式 -cosa ②cos 1+cosa 1-cosa 1-cosa sina ①sin =土 2 2 ③tan2 2 V1+cosa sina 1+c0S0 知识点3：辅助角公式： asinx±bcosx=√a2+b2sin(x±p)(其中tanp b 第1页共5页 考点精析 考点一和差公式 【例1】计算cos105=( A.2-v6 B.2-V6 c.2+v6 D.2+V6 2 4 2 4 变式1、已知0<a<B<,且sma= 3,cosB= 9,则cosa-B)=() A.-1 15 B.13 D.24 15 C.-4v14 15 15 变式2、已知ama+3,则anu=（) 1 A.2 B. C.-2 D.2 变式3、已知tana=2,tan5=4,则tan(a+B)=（) A. 6 B.. c.. D.7 考点二降幂公式 【例2】已知cos?+a=4 4 则sin2a=() 4 A. 3 B.、3 D 5 变式1：已知2n号+sin0-号，则sn20的值是 2 变式2：已知uea小，osa=-子则eas侣+引 变式3：函数f(x=(1+cos2x)sin2x的最小正周期是 第2页共5页 考点三简单的三角恒等变换 【例3】化简sin2 a-+sin'a+ 6 +6-sina. 变式1：己知函数f(x=2 sinx.(v3cosx+sinx-1. (1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的单调递增区间； 2诺a-号ae0写引，求ws2a的值： 变式2：已知函数f(x)=cos2x+√3 sinxcosx+1,xeR· (1)求函数y=∫(x)的最小正周期和对称轴方程； 2球引月 时，函数y=f(x)的值域。 第3页共5页 考点四 辅助角公式的应用 【例4】函数f(x)=sinxcosx+ 3 cos2x的最小正周期是( 2 A.π B.π C.2π D. 3π 2 2 变式1：已知函数f(x)=cos2x- 3+2cos'x. (1)求f 的： (2)求函数f(x)的单调递增区间. 变式2：函数f(x=cos2x+sin xcosx的单调减区间为 变式3：函数f(x)=2cos2x-V3sin2x的最大值为 考点五三角函数的实际应用 【例5】如图，在半径为R、圆心角为于的扇形AB弧上任取一点P,作扇形的内接矩形PM0,使点Q在OA 上，点M、N在OB上，则这个矩形面积的最大值为() A.(2-V5)R2 B. R 6 D. 3 第4页共5页 分层提分 1.函数f(x=sin xcosx+cos2x的最小正周期为() A子 C.n D.2π 2.求值：cos5红-5sin57=（ 12 12 A.0 B.√2 C.2 D.√2 3.下列函数中，最小正周期为2的偶函数是() A.y=sin 2x+cos2x B.y=sinπx+cosπx C.y=simπx+2 D.y=cos2x 42o0omo-)9则m0-引() 1 A. B.7 3 9 C.3 则如号等子() A.10 B.-V10 5 5 c.2v6 D.25 5 5 6已知ma+号 ma-）4,那么mB+骨到为() A尽 8.3 3 23 c 7.若c0s0=3,且270<0<360，则o9.() 2 A.3 B.V6 3 3 C.±6 D.6 3 8.若sina+sinB=2 2 A.2 B.月 C.-2 9.函数y=-V5sinx+cosr在-刀， 6’6 上的值域是一 第5页共5页三角函数二倍角公式与和差公式综合练习 知识梳理 知识点1：三角恒等变换 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(a- cos(a-p)=cosa cos B+sina sin B a,B∈R 两角和的余弦公式 C(a+B) cos(a+B)=cosa cos B-sina sin B a,B∈R 两角和的正弦公式 S(a+B) sin(a+B)=sina cos B+cosa sin B a,B∈R 两角差的正弦公式 S(a-B sin(a-β)=sina cosβ-cosa sinβ a,B∈R 两角和的正切公式 T(a+B) tan(a+B)= tan a +tan B a,B,a+B≠kr十π2(k∈Z) 1-tana tan B tana -tan B 两角差的正切公式 T(a-P) tan(a-B)= a,B,a-≠km+π2(k∈Z) 1+tana tan B 二倍角的正弦公式 S2a sin2a=2sinacosa a∈R 二倍角的余弦公式 C2a cos2a=cos2a-sin2a a∈R 2tand 2aufr十元2且a时km+π2(k∈ 二倍角的正切公式 T2a tan2a= 1-tan'o Z 知识点2：半角公式 -cosa ②cos 1+cosa 1-cosa 1-cosa sina ①sin =土 2 2 ③tan2 2 1+cosa sina 1+c0S0 知识点3：辅助角公式： asinx±bcosx=√a2+b2sin(x±p)(其中tanp b 第1页共10页 考点精析 考点一和差公式 【例1】计算cos105=( A. 2-6 B.2-v6 c.2+V6 D.2+v6 2 4 2 4 【答案】B 【解折1cos105-cos45+60)=6os45cos60-5in455血60=2×52x5-2-6故选：B 22224 变式1、已知0<a<号<月<，且m&= 3,cosB=7 ,则osa-B)=() B.3 15 C._4i D.214 15 15 【答案】A 【解析】：0<a<子<B<x,sina= 2 3,cosB= 5 cosa--sin'a ,73V2 93,simB=-cos2B=1-25=5 cos(a-)=cosa cosB±sina sinB×(Y)+Y2x3y2-故选 3 5 35 变式2、已知tana+? 4 =3,则tana=() B.2 C.-2 D.2 【答案】B 【解析】由tan(a+乃)=3， 4 得tan(a+)= m0+a立-anaL=3,解得ama号故选：B 4 1-tand tanz 1-tanc 4 变式3、已知tana=2,tanB=4,则tan(a+B)=（) A.9 6 B.-7 C..5 D.7 【答案】B 【解析】因为tana=2,tanB=4, tan a tan B 2+4 6 所以tan(a+B)= 1-tand.tan B1-2×42-7故选：B 考点二降幂公式 第2页共10页 【例2】已知cos2 4 A.3 B c.1 D.-1 【答案】B 【详解】 c0s2 + _1-sin2a-4,解得：sim2a=-3.故选：B 5 4 2 2 5 变式1：已知2sin 2+sin0= 5,则sin20的值是 【答案】 1610.64 2 8 【详解】由题得1-cos6+sin0=则sim8-cos0-} 两边时时半方可等1-血29=号改n29-治故答案为： 25 变式2：已知a小，oa=}则eos名+ 【答案】/0.1 10 【胖解】解，由ae0小，ou=子背温a=-os云- 9-4 255 π 所以s侣 1+cos a+2 1-sina I- 51. 故答案为：10 2 210 变式3：函数f(x=(1+cos2xsin2x的最小正周期是 【答案】 【详解】因为fx)-1+c0s2x1-cos2y_1-c0s22x-sim22x.1-cos4x 2 2 2 4 所以，函数f(x)的最小正周期为T=2弧=刀 42 故答案为：2 考点三简单的三角恒等变换 π 【例3】化简sin a-6+sina+ -sin2a. 6 【答案】 【详解】法1：由倍角公式cos2a=1-2sin'a,得sin'a=1-cos20 2 第3页共10页 2 22cos2acos-cos2a月 法2：sa引a+-ma 5 12 2sina-」 -sina +-cosa -sin2a 1 sincosa-sin 变式1：已知函数f(x)=2sinx(5cosx+sinx-1 (1)求函数f(x)的最小正周期及∫(x)的单调递增区间； a诺fa)-子a0引求ms2a的， 【答案】(1)最小正周期为刀，单调递增区间为 +a子#keZ 6 2)3v5-4 10 【详解】(1)f(x=2sinx:V3cosx+sinx-1=V3sin2x+2sin2x-1=V3sin2x-cos2x =22-君 故孔到的最小正月期为经=x 令-+2as2r-名号+2eZ,解得-音+asxs号x,kez, 62 3 因为a》所以2君司引 所以eow2a=s2a+引=sm2如名+】 第4页共10页 -ma引m经如引m子}号4 变式2：已知函数f(x)=cos2x+V3 sinxcosx+1,xeR. (1)求函数y=f(x)的最小正周期和对称轴方程： a峨c 时，函数y=f(x的值域。 【答案】(1)最小正周期为刀，对称轴为x=+亚，k∈Z 261 【详解】(1)f(x)=cos2x+V3 sinxcosx+1 3 以x的最小正周期为行了 由2x+君=a+号解得x=红 2 6 所以f(x)的对称轴为x=征+工，k∈Z. 26 2)f引，2xe0,,2x+e[后7 666 所以sin2x++3e 即∫(x的值域为 考点四 辅助角公式的应用 【例4】函数f(x)=sin xcosx+ cos2x的最小正周期是( A.π B. C.2元 D. 3π 2 【答案】A 【样解1由-os+osa2-2+号s2x-n2+引 故函数的最小正周期为受，放选：A 变式1：已知函数f(x=cos2x-刀 +2c0s2x. 3 (1)求f 的值： (2)求函数f(x)的单调递增区间. L12 第5页共10页 【详解】(1)由题意可得 +1, 6 42 即)1 -3+2cosx可得， (2)由f(x)=cos2x- co2 con inaxinoin 3 令-元+2km≤2x+Ts+2km,k∈Z,解得-征+km≤x<正+km,k∈Z: 2 32 12 12 即函数∫(x)的单调递增区间为 12 变式2：函数f(x)=cos2x+sinxcosx的单调减区间为 【答案】 ,k∈Z; 8 详解】因为fx=cosx+sinxcos=2+2Sm2x-V2。/ 2 m2+到 则函数的单调减区间为：+2kπ≤2x+无≤”+2阮，k∈Z 42 解得：+k红≤x≤+k红，keZ. 5π 故答案为： ,k EZ. 8 8 变式3：函数f(x)=2cos2x-V3sin2x的最大值为_ 【答案】3 【详解】依题意，f)=1+cos2x-√3sin2x=1+2cos(2x+, 所以当2x+T=2km,k∈Z,即x=km-元，k∈Z时，f(x)r=3. 3 61 故答案为：3 考点五三角函数的实际应用 【例5】如图，在半径为R、圆心角为T的扇形AB弧上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使点Q在OA 上，点M、N在OB上，则这个矩形面积的最大值为() 04 M 第6页共10页 A.(2-√5)R2 e.3 6 C.R D. 4 3 R 【答案】B 【详解】设∠POB=a,矩形PWMQ面积为S, :扇形B的半径为R,圆心角为号 所以QM=PN=Rsina,ON=Rcosa,OM=OM tan-5 Rsina, 63 所以5=Rsina Rcose-5 Rsina-5R2sn2a-5Rl-cos2a 3 2 3 2 化简得：S=5Rsin2a+-5R,aeo, 3 66 3 当a=名即∠40p=时， S取最大值5R, 故选：B. 6 h 分层提分 1.函数f(x=sin xcosx+cos2x的最小正周期为() A.元 B.π C.n 4 D.2π 【答案】C 【详解】由二倍角公式和辅助角公式化简∫(x)=sinxcosx+cos2x可得 f1)-分8n2x+cos2x=5 1 in(2x+p),其中tanp=2, 由三角函数的周期公式可得最小正周期T=2π=元.故选：C 2 求值：os-V3sm 12 in5r=(） 12 A.0 B.-√2 C.2 D.2 【答案】B 【】o…资语-语语-cn语 .5π °12 3s12-sin sin 3 12 =2o写+仍=2cow证=万，放选：B 312 3.下列函数中，最小正周期为2的偶函数是() 为/贝共1U贝 A.y=sin 2x+cos 2x B.y=sinπx+cosπx C.y=sin元x+7月 D.y=cos2x 【答案】c 【详解】A选项：y=八=sin2x+eos2x=5sm2x+ 函数的周期为π，A不正确： 因为y=g到=sinx+c0=5sm+号到 函数的周期为2，但8--5n-2x+星 ≠g(x,不是 偶函数，B不正确； 因为y=F(x=sinπx+ 2 cosπx,函数的周期为2，且F(-x)=cos(-πx)=cosπx=F(x),是偶函数，C 正确； 因为y=cos2x,函数的周期为π，是偶函数，D不正确；故选：C 4已w0+em0引9则w0-}-() 6 8.7 c.-7 D.- 1 9 9 3 【答案】A 【详解】cos0+co0-=as0+os9+5n0 1 2 故选：A 5,已知aa2小则sn号梦于《) A.V10 B.-V10 5 5 c.26 D.25 5 5 【答案】A 【详解】：ae cosa =1-2sin2=1 25' (4,πsin 1-cosa 10 故选：A 2V2 3 第8页共10页 A发 B.13 C. 3 23 【答案】C 【详解】因为ma+=，ama-， 引oo-品c 7.若c0s0=了，且270<0<360，则cos9=（ A.3 B.v6 3 3 C.±6 D.-6 3 【答案】D 【详解】因为c0s日=2cos9-1 23 因为270<0<360，则135<9<180，所以，c0s9-E-6 25=-3 故选：D 8若sma+血B-得，csa+osB-5 则am生P的值为（ ) 2 A.2 C.-2 D._1 2 【答案】A 【i详解】由sina+sinB=sin+B+a,)+sin(义+B_a,B)=2sina+Ecos&-E_12 2 2 22 22131 cosa+cosB-cos+cosBB)-2c0scos6 22 22 2 213 12 两式相除得ana牛B=及=2.故选：A 2 6 13 9.函数y=-V5sinx+cosx在-不， 上的值域是 L66 【答案】[o,5 【详解】y=-5sim+cos=2o+写引 [引m到 所以y=2co+e[同， 第9页共10页 故函数y=-5sinx+cosx在-天，上的值域是[0，V] 6'6 故答案为：[0,5] 第10页共10页