精品解析：甘肃省张掖市甘州区甘州中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025秋学期期中考试试卷 九年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，若，则等于（ ） A. 7 B. 14 C. 8 D. 16 3. “敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组线段中是成比例线段的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 1cm，2cm，2cm，3cm C. 3cm，5cm，9cm，13cm D. 1cm，2cm，2cm，4cm 5. 如果，那么下列式子不成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 7. 已知函数的图像过点A(6，-1)，则下列点中不在该函数图像上的是（ ） A. (-2，3) B. (-1，-6) C. (1，-6) D. (2，-3) 8. ，，都在函数图象上，则，，的大小关系是（ ） ． A. B. C. D. 9. 某商品经过连续两次涨价，销售单价由原来162元涨到200元，设平均每次涨价的百分比为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，函数和的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 12. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.83 0.83 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率（结果保留两位小数）约是______． 13. 如图，在菱形ABCD中，AC与BD相较于点O，点P是AB的中点，PO=3，则菱形ABCD的周长是________． 14. 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高度为，那么它的下部应设计的高度为______． 15. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点C与x轴平行，且直线分别与反比例函数和的图象交于点P，Q，若的面积为8，则________． 16. 如图，小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1的竹竿的影长是1.5，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），她先测得留在墙壁上的影高为2，又测得地面的影长为6，请你帮她算一下，树高______． 三、解答题（共11小题，共96分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图所示，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为． （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将放大为原来的两倍（即新三角形与原三角形的位似比为），画出图形； （2）分别写出B、C两点的对应点、的坐标． 19. 小玲对航空航天非常感兴趣，她收集到了嫦娥五号、神舟十一号、北斗三号、天问一号的模型图，依次制成编号为A、B、C、D的四张卡片（背面完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小玲从中随机抽取一张卡片是“北斗三号”的概率为 ； （2）小玲先从四张卡片中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的概率． 20. 某单位为美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成．若矩形空地的面积为，求的长． 21. 某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）． （1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式． （2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？ 22. 百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 23. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及的面积； （3）求不等式的解集（请直接写出答案）． 24. 如图,在口ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE= CD (1)求证:△ABF∽△CEB (2)若△DEF的面积为2,求△CEB的面积 25. 如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，已知AC＝0.8米，BC＝0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，求旗杆MN的高度． 26. 如图，矩形的对角线相交于点，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的面积． 27. 某数学兴趣小组的同学在学习了《图形的相似》之后；对三角形的相似问题进行深入探究． 【感知问题】 如图1，在四边形中，点P在边上（点P不与A，B重合），．易证：．（不需要证明） 【探究问题】 如图2，在四边形中，点P 在边上（点P不与点A，B重合），．求证：． 【知识应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A，B重合），连接，作，与边交于点E． （1）当时，求的长； （2）当是等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025秋学期期中考试试卷 九年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的三视图，从正面看得到的图形是主视图，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、主视图是圆，故该选项正确； B、主视图是长方形，故该选项错误； C、主视图是三角形，故该选项错误； D、主视图是正方形，故该选项错误， 故选：A． 2. 如图，在中，，，若，则等于（ ） A. 7 B. 14 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由，可得，由此即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 3. “敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图如图： 共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3， ∴小刚、小强两人恰好选择同一场馆的概率, 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 4. 下列各组线段中是成比例线段的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 1cm，2cm，2cm，3cm C. 3cm，5cm，9cm，13cm D. 1cm，2cm，2cm，4cm 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，判断四条线段是否成比例，可通过检查最小线段与最大线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，据此判断即可． 【详解】解：在A中，最小线段1cm与最大线段4cm的乘积为，中间线段2cm与3cm的乘积为，，故 A不成比例； 在B中，最小线段1cm与最大线段3cm的乘积为，中间线段2cm与2cm的乘积为，，故 B不成比例； 在C中，最小线段3cm与最大线段13cm的乘积为，中间线段5cm与9cm的乘积为，，故 C不成比例； 在D中，最小线段1cm与最大线段4cm的乘积为，中间线段2cm与2cm的乘积为，，故 D成比例， 故选D． 5. 如果，那么下列式子不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质．根据比例的基本性质逐项判断即可； 【详解】解：A、由可得：；本选项不符合题意； B、由可得：；本选项不符合题意； C、由可得：；本选项符合题意； D、由可得：；本选项不符合题意； 故选：C． 6. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据是关于的一元二次方程，可知，根据一元二次方程有实数根，可得不等式，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 又有实数根， ， 解得：， 的取值范围为且． 7. 已知函数的图像过点A(6，-1)，则下列点中不在该函数图像上的是（ ） A. (-2，3) B. (-1，-6) C. (1，-6) D. (2，-3) 【答案】B 【解析】 【分析】先由图象经过点A（6，-1），确定k得出函数解析式，然后再确定所给点的坐标是否符合解析式，符合则是答案． 【详解】解：因为反比例函数中k=xy，由于图象经过点A（6，-1），故k=6×（-1）=-6，将选项中点的坐标入求值即可． A、-2×3=-6，在该函数图象上，不符合题意； B、-1×（-6）=6≠-6，故不在该函数图象上，符合题意； C、1×（-6）=-6，在该函数图象上，不符合题意； D、2×（-3）=-6，在该函数图象上，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上． 8. ，，都在函数图象上，则，，的大小关系是（ ） ． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由反比例函数解析式得反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，且当时，当时，据此解答即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，且当时，当时， ∵， ∴，， ∴， 故选：． 9. 某商品经过连续两次涨价，销售单价由原来162元涨到200元，设平均每次涨价的百分比为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平均每次涨价的百分比为x，则第一次涨价后的价格为：元，第二次涨价后的价格为：元，从而可得答案． 【详解】解：设平均每次涨价的百分比为x，则 故选： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用的增长率问题是解题的关键． 10. 在同一平面直角坐标系中，函数和的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中k的符号对函数图象的影响是解题的关键． 【详解】解：①当时，过一、二、三象限；位于一、三象限； ②当时，过二、三、四象象限；位于二、四象限． 观察图形可知，只有B选项符合题意． 故选B． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，设另一根为，根据两根之和为，进行求解即可． 【详解】解：设另一根为，则：， ∴； 故答案为：． 12. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.83 0.83 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率（结果保留两位小数）约是______． 【答案】0.83 【解析】 【分析】根据大量的实验结果稳定在0.83左右即可得出结论． 【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.83附近， ∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为0.83． 故答案为：0.83． 【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，因此可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，掌握上述内容是解题的关键． 13. 如图，在菱形ABCD中，AC与BD相较于点O，点P是AB的中点，PO=3，则菱形ABCD的周长是________． 【答案】24． 【解析】 【详解】解：因为在菱形ABCD中，P是AB中点，而， 所以，所以， 所以菱形ABCD周长 故答案为：24． 【点睛】本题考查菱形的性质，题目难度不大，关键在于知道直角三角形斜边的中线为此斜边的一半． 14. 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高度为，那么它的下部应设计的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，设它的下部应设计的高度为，则雕像的上部为，根据题意得到，解方程即可求解． 【详解】解：设它的下部应设计的高度为，则雕像的上部为， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴它的下部应设计的高度为， 故答案为：． 15. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点C与x轴平行，且直线分别与反比例函数和的图象交于点P，Q，若的面积为8，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由轴及函数图象可知，即，于是可得，由图象可知，于是得解． 【详解】解：轴， ， 即：， ， 而， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的性质，三角形的面积公式，绝对值方程，化简绝对值，等式的性质，等式的性质等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及反比例函数与几何综合是解题的关键． 16. 如图，小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1的竹竿的影长是1.5，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），她先测得留在墙壁上的影高为2，又测得地面的影长为6，请你帮她算一下，树高______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平行投影，解题的关键要知道竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高． 【详解】解：如图所示，过点D作于点C，连接， 由题意可得，，， 一根长为1的竹竿的影长是1.5， ， ， ， 故答案为：6． 三、解答题（共11小题，共96分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用因式分解法即可求解出方程的解； （2）运用直接开平方法即可求出方程的解． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得或 ； 【小问2详解】 ， ， ， 解得或 ． 18. 如图所示，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为． （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将放大为原来的两倍（即新三角形与原三角形的位似比为），画出图形； （2）分别写出B、C两点的对应点、的坐标． 【答案】（1） 如图是所求的三角形． （2）点的坐标是，的坐标是． 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题的关键． （1）直接利用位似变换的性质得出对应点的位置即可； （2）直接利用（1）中的图形得出对应点的坐标即可． 【小问1详解】 解：延长到，使得，延长到，使得，再连接， ∴就是所求的三角形． 【小问2详解】 解：∴点的对应点的坐标是， 点的对应点的坐标是． 19. 小玲对航空航天非常感兴趣，她收集到了嫦娥五号、神舟十一号、北斗三号、天问一号的模型图，依次制成编号为A、B、C、D的四张卡片（背面完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小玲从中随机抽取一张卡片是“北斗三号”的概率为 ； （2）小玲先从四张卡片中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到抽到的两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四张卡片，其中“北斗三号”卡片有1张， ∴小玲从中随机抽取一张卡片是“北斗三号”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解；画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中抽到的两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的结果数有2种， ∴抽到的两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的概率为． 20. 某单位为美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成．若矩形空地的面积为，求的长． 【答案】的长为10． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，掌握知识点是解题的关键． 设长为x米，根据题意列出一元二次方程，解出，再由，得到，则，即可解答． 【详解】解：设长为x米，依题意，得 ， ， 解得， ∵， ∴， ∴不符合题意，舍去 ∴． 答：的长为10． 21. 某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）． （1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式． （2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？ 【答案】（1）上升阶段的函数关系式为y=2x（0≤x≤4），下降阶段的函数关系式为（4≤x≤10）；（2）6 【解析】 【分析】（1）本题注意分段函数的解析似的求法，写出自变量的取值范围即可． （2）根据题意得出y=4在两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围． 【详解】解：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx， 将（4，8）代入得：8=4k， 解得：k=2， 故直线解析式为：y=2x， 当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y=， 将（4，8）代入得：8=， 解得：a=32， 故反比例函数解析式为：y=； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x（0≤x≤4）， 下降阶段的函数关系式为y=（4≤x≤10）． （2）当y=4，则4=2x，解得：x=2， 当y=4，则4=，解得：x=8， ∵8﹣2=6（小时）， ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，一次函数，根据题意得出函数解析式是解题关键． 22. 百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】每件童装应降价元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：设每件童装应降价元，由题意，得： ， 解得：或， ∵要尽快减少库存， ∴； 答：每件童装应降价元． 23. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及的面积； （3）求不等式的解集（请直接写出答案）． 【答案】（1）， （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，以及和不等式相结合的问题，正确理解函数的图象的坐标，函数与自变量的关系是解决本题的关键． （1）将代入，即可得到m，从而得到反比例函数解析式，然后将A、B代入，即可得到一次函数的解析式； （2）在一次函数上，当时，即可得到的坐标，从而得到的长，然后由求出的面积； （3）根据图象即可求出的解析，即不等式的解集． 【小问1详解】 解：反比例函数经过点， ， ， 将，代入反比例解析式得：， ， 将与坐标代入一次函数解析式得： ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：在直线中，当时，， ，即， ； 【小问3详解】 解：由图象知：当或时，， 故不等式的解集是或． 24. 如图,在口ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE= CD (1)求证:△ABF∽△CEB (2)若△DEF的面积为2,求△CEB的面积 【答案】 （1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A=∠C，AB∥DC ∴∠ABF=∠CEB ∴△ABF∽△CEB； （2）18. 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，AB∥DC，然后根据平行线的性质可得∠ABF=∠CEB，最后根据相似三角形的判定定理可得△ABF∽△CEB； （2）根据已知条件即可得出DE=EC，利用平行四边形的性质和相似三角形的判定可得△DEF∽△CEB，最后根据相似三角形的性质即可求出△CEB的面积. 【详解】解：（1）略． （2）∵DE= CD ∴DE=EC ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC ∴△DEF∽△CEB ∴ ∵△DEF的面积为2 ∴S△CEB=18 【点睛】此题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质定理和相似三角形的判定定理及性质定理是解决此题的关键. 25. 如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，已知AC＝0.8米，BC＝0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，求旗杆MN的高度． 【答案】14米 【解析】 【分析】根据题意，得，，，；根据相似三角形的性质，通过证明，计算得；通过证明四边形为矩形，得，从而完成求解． 【详解】根据题意，得，，， ∵Rt△ABC ∴ ∵ ∴ ∴ ∵AC＝0.8米，BC＝0.5米，AE＝20米 ∴米 ∵，， ∴四边形为矩形 ∴米 ∴米． 【点睛】本题考查了矩形、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解． 26. 如图，矩形的对角线相交于点，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质． （1）根据菱形的判定证明即可； （2）作交延长线于点，根据菱形的性质和三角函数解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 在菱形中， ∴均为等边三角形， ∴， 如图，作交延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴△EBC的面积 27. 某数学兴趣小组的同学在学习了《图形的相似》之后；对三角形的相似问题进行深入探究． 【感知问题】 如图1，在四边形中，点P在边上（点P不与A，B重合），．易证：．（不需要证明） 【探究问题】 如图2，在四边形中，点P 在边上（点P不与点A，B重合），．求证：． 【知识应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A，B重合），连接，作，与边交于点E． （1）当时，求的长； （2）当是等腰三角形时，求的长． 【答案】 【探究问题】证明：由三角形外角的性质可得： ， ， ， 又， ； 【知识应用】（1）或（2）或 【解析】 【分析】探究问题：利用三角形外角的性质，得到，即可求解； 知识应用：（1）通过三角形外角的性质，得到，利用相似三角形的性质，求解即可；（2）分两种情况，、，分别求解即可． 【详解】【探究问题】略； 【知识应用】 解：（1）设，则， ，， ，，， ，， ， ， ， 即， 化简可得：， 解得或， 即或； （2）由（1）可得，， ， 则为等腰三角形，有两种情况，或， ① 当时， 由（1）可得，，， ， ， ； ② 当时， 可得， 则， ， 设，则， ， 由可得， ， 即 解得， ， 综上，或. 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解一元二次方程，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $