精品解析：四川省成都市教育科学研究院附属中学2025-2026学年上学期八年级半期数学试卷

初2024级2025－2026学年（上）期期中学业质量检测 数学试题 满分：150分，考试时间：120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考试号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案编号． 3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将其答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． A卷（100分） 一．选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．） 1. 下列各数中，，，，，，，，无理数的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，理解定义是解题的关键， 根据无限不循环小数为无理数，其中无理数包括：，等；开方开不尽的数；以及像（每两个之间的个数依次加）等有这样规律的数． 根据无理数的定义分析判断． 【详解】解：，， 无理数有：，，，，共个； 故选：B 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式除法、加减法、二次根式化简，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式加法、减法、二次根式性质、除法运算法则解题即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确； 故选：D． 3. 由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（　　） A. B. C. ，， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和．根据勾股定理的逆定理可以判断A、B、C，根据三角形内角和可以判断D． 【详解】解：由，可得，则，即由线段，，组成的三角形是直角三角形，故选项A不符合题意； ，故选项中的三条线段可以构成直角三角形，故选项B不符合题意； ，故选项中的三条线段可以构成直角三角形，故选项C不符合题意； ，最大的，故选项D中的三角形不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 4. 八年级一班甲、乙、丙、丁四名学生本学期数学测验成绩的平均分都是分，方差分别是，，，，这四名学生成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性，根据方差越小，越稳定即可得到答案. 【详解】解：∵在平均数相同的情况下，方差越小，越稳定. ∴这四名学生成绩最稳定的是甲 故选：A 5. 已知点 , 都在直线 上，则, 的值的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点的横坐标-3<1,及k的值即可得到答案. 【详解】∵k=<0， ∴y随x的增大而减小， ∵-3<1， ∴， 故选：A. 【点睛】此题考查一次函数的增减性，熟记函数的性质定理即可正确解题. 6. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 三角形的一个外角大于任何一个内角 B. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C. 有理数与数轴上的点一一对应 D. 平面内点与点关于轴对称 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．直接根据数学常识分别判断即可． 【详解】解：A．三角形的一个外角大于任何与它不相邻的内角，故原命题为假命题； B．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题为假命题； C．实数与数轴上的点是一一对应的，故原命题为假命题； D．平面内点与点关于x轴对称，故原命题为真命题． 故选：D． 7. 我国古典数学文献《增删算法统宗，六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键．由乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，可得；由如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，可得，进而可列方程组． 【详解】解：∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍， ∴； ∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， ∴． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 8. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2x<ax+4的解集为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点A的坐标代入y=2x，即可求得m的值，由图象可得解集． 【详解】解：将A（m，3）代入中， 解得， 由图象可知在A点左边的区域满足要求不等式， 即． 故选A． 【点睛】本题考查一次函数与不等式，掌握它们的关系并会正确识图是解题的关键． 二．填空题（本题共5小题，每题4分，共20分．） 9. 若有意义，则能取的最小整数值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴能取得最小整数为1． 故答案为：1 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“被开方数大于等于0”是二次根式有意义的条件是解题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了各个象限内点的坐标特征，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，解题的关键是掌握第四象限内点的点横坐标为正，纵坐标为负，平面直角坐标系中的点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的距离． 设点P的坐标为，则，再根据到两坐标轴的距离，得出，即可解答． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P在第四象限， ∴， ∵P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 11. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米． 【答案】9． 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长． 【详解】在Rt△ABC中： ∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米， ∴AB＝＝＝15（米）， ∵CD＝10（米）， ∴AD＝＝6（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米）， 答：船向岸边移动了9米， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 12. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，通过将方程组中的两个方程相加，得到关于的表达式，再结合的条件，直接求出的值． 【详解】解：将方程组 中的两个方程相加，得， 即 ， 所以， 即， 由于， 得， 解得． 故答案为． 13. 如图，在长方形ABCD中，，，P为AD上一点，将沿BP翻折至，PE与CD相交于点O，且，则AP的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，根据翻折变换的性质用表示出、，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质可知， ，，， 在和中， ， ， ，， ， 设，则，， ，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质． 三．解答题（本题共48分） 14. （1）计算： （2）解方程组： （3）解不等式组：，并求出它的整数解． 【答案】（1） （2） （3），整数解为，0，1 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式计算； （2）先由①得，代入②，求得，代入，得即可； （3）分别求出两个不等式的解集，再求得不等式组的解集，从而可求得整数解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 由①得， 将代入②，得， 解得：， 将代入，得， 所以方程组的解为； （3）解： 解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为， 所以整数解为，0，1． 【点睛】本题考查了运用完全平方公式进行运算，二次根式的混合运算，代入消元法，求一元一次不等式组的整数解等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 15. “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中部、高中部各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 初中部：． 高中部：． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 初中部 8 a b 0.8 高中部 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：_______，_______． （2）求m的值． （3）综合表中数据，你认为是初中部的学生对“校园餐”的满意度更为一致还是高中部的学生？请说明理由． （4）若对“校园餐”的满意度的评分大于或等于8分的学生占比及以上，则“校园餐”可被评为“幸福餐”．已知该中学初中部有800名学生，高中部有600学生，请估计该校的“校园餐”能否被评为“幸福餐”． 【答案】（1）， （2） （3） 解：初中部的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由如下： ∵， ∴初中部的学生对“校园餐”的满意度的打分波动小于高中部的学生对“校园餐”的满意度的打分， ∴初中部的学生对“校园餐”的满意度更为一致； （4） 解：根据题意：（人） （人） ∵， ∴估计该校的“校园餐”能被评为“幸福餐”． 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，众数，平均数，方差的意义，用样本估算总体，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据高中部平均数即可求解； （3）根据方差的意义求解即可； （4）用初中部和高中部的学生数分别乘以样本中8分及以上人数所占比例，再求和，再求出达到“幸福餐”的人数，作比较即可解答． 【小问1详解】 解：初中部打分排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 打分出现次数最多的是8，则众数； 【小问2详解】 解：高中部打分的平均分为8分， 则， 即， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 16. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）请在图中画出平面直角坐标系； （2）画出与关于轴对称的； （3）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）如图，平面直角坐标系即为所求； （2） 如图，即为所求； （3）是直角三角形， 理由如下： ，，， ， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据，，的坐标确定平面直角坐标系即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，连接即可； （3）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 某商店销售一种产品，该产品成本价为元/件，售价为元/件，销售人员对该产品一个月（天）销售情况记录绘成图象．图中的折线表示日销量（件）与销售时间（天）之间的函数关系，若线段表示的函数关系中，时间每增加天，日销量减少件． （1）第天的日销量是______件，这天销售利润是______元； （2）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （3）日销售利润不低于元的天数共有多少天？销售期间日销售最大利润是多少元？ 【答案】（1）325；650 （2） （3）日销售利润不低于640元的天数共有18天，日销售利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据题意“线段表示的函数关系中，时间每增加天，日销量减少件”，已知第22天的销售量，可求第25天的销售量；在根据：日利润=单件利润×日销售量，求出当天总利润； （2）函数图象分为了两段，分别用待定系数法求出正比例函数和一次函数的表达式即可； （3）已知日销售利润，可求日销售量，根据日销售量确定日期范围，即可知道日销售利润不低于640元的天数；求出点D的坐标，代入即可求出最高销售量，即可求最大利润． 【小问1详解】 340-(25-22)×5=325(件)， 元； 故答案为：；． 【小问2详解】 设直线的函数关系式为， 将代入， 得：， 解得：． 直线的函数关系式为． 设直线的函数关系式为， 将、代入， ， 解得：， 直线的函数关系式为． 联立两函数解析式成方程组， ， 解得：， 点的坐标为． 与之间的函数关系式为． 【小问3详解】 件， 当时，有或， 解得：或， 天， 日销售利润不低于元的天数共有天． 折线的最高点的坐标为，元． 当时，日销售利润最大，最大利润为元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，熟练的掌握一次函数的图像和性质，会用待定系数法求函数的解析式，根据图像和性质求点的坐标是解题的关键． 18. （1）发现：如图1，和均为等边三角形，连结，且点A、D、E在同一直线上，连结，发现．请证明． （2）拓展：如图2，和均为等腰直角三角形，，，，且点A、D、E在同一直线上，若，，求的长度． （3）应用：如图3，P为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 【答案】 （1）证明：和均为等边三角形， ， ， 即， 在和中， ； （2）的长为； （3）的长为． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用． （1）根据等边三角形的性质，进而通过证明； （2）先证明，再通过勾股定理即可得解； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，则，进而证明，再通过勾股定理即可得解． 【详解】解：（1）略 （2）， 即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在中， ， 的长为； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，如图所示， ， 则， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 即D、P、E在同一条直线上， ， 在中， ， 的长为：． B卷（50分） 一．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．） 19. 如果，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，分母有理化，先由非负数的性质求出，，，再代入所求代数式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 20. 如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，先利用待定系数法求出的值，进而得到点的坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案，掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴关于，的方程组的解为， 故答案为：． 21. 如图，在过原点的直线上取一点，过点作轴于点，若点的坐标为，，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，依次进行下去......，则的长度为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的变化-旋转、规律型：点的坐标，根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，，于是得到结论． 【详解】解：∵轴，点B的坐标为，， ∴， ∴， 由旋转可知： ，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 22. 如图，在四边形中，，，，，点为的中点，连接、，则的面积的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，点和圆的位置关系，勾股定理等，延长相交于点，连接，可得，即得，得到点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，过E点作于，当与圆弧的交点和点重合时，的边上的高最短，此时的面积的最小，再利用直角三角形的性质和勾股定理可求得，即得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线并找出点的运动轨迹是解题的关键． 【详解】解：如图，延长相交于点，连接， ∵，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，如图所示， 过点作于，当与圆弧的交点和点重合时，的边上的高最短，此时的面积的最小，如图， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴， ∴的面积的最小值为， 故答案为：． 23. 1.在平面直角坐标系中，直线l过原点且经过一、三象限，直线l与x轴所夹锐角的度数为．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为点Q，若点Q的纵坐标为正数，且是以°的等腰直角三角形，则称点P为M，N的点． （1）如图，若点，，点P为M、N的点，连接，．则点的坐标为 ____________________； （2）已知，，若点为M，N的点，且点的横坐标为，则 _________________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了对称、一次函数点的坐标特征、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意过作轴于点，则根据等腰直角三角形的性质易求，，再根据，直线是一三象限的角平分线，且P和Q关于l对称，即可和是关于直线l的对称，由此得到P点坐标； （2）由可知，进而求出，根据和，利用直角三角形性质求出，，进而求出长即可求出． 【详解】解：（1）过作于点， ∵Q是以的等腰直角三角形， ∴， ∵点，， ∴，， ∴， ∴， 过作轴于点， ∵，则直线是一三象限的角平分线，且点关于直线l的对称点为点， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图，设中点为点，则在直线上，设与交于点，直线与轴交于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴. 即， 故答案为：． 三．解答题（本题共30分） 24. 某水果店11月份购进甲、乙两种水果共花费1800元，其中甲种水果10元/千克，乙种水果16元/千克．12月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果13元/千克，乙种水果18元/千克． （1）若该店12月份购进这两种水果的数量与11月份都相同，将多支付货款400元，求该店11月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？ （2）若12月份将这两种水果进货总量减少到130千克，设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，求w与a的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若甲种水果不超过80千克，则12月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？ 【答案】（1）该店11月份购进甲水果100千克，乙水果50千克；（2）w与a的函数关系式为w=－5a＋2340；（3）12月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1940元． 【解析】 【分析】（1）设11月进甲种水果x千克，乙种水果y千克，根据题意列二元一次方程组、解二元一次方程组即可； （2）设甲为千克，计算乙为千克，根据总货款=甲货款+乙货款，货款=单价进货量，据此解题； （3）根据一次函数的增减性解题即可． 【详解】（1）设11月进甲种水果x千克，乙种水果y千克，根据题意得： 解得 答：该店11月份购进甲水果100千克，乙水果50千克． （2）设甲为千克，则乙为千克， 由题意得： ； （3），w随的增大而减小，要货款w最少，则要最大， 即当时， 即12月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1940元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 25. 【操作思考】 （1）如图1，已知方格纸每个小方格都是长为1个单位的正方形，已知线段的端点均在正方形网格格点上，其位置如图所示．请在网格纸上画出以为斜边的所有互不全等的直角三角形，要求这些三角形的顶点均在正方形网格格点上． 【联系应用】 （2）如图2，在中，，，，是边的三等分点，连接，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知正方形的边长为3，当点是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点，求的长． 【答案】 （1）所画三角形如图所示： （2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）可通过勾股定理确定直角边长度及利用网格构造直角即可求解； （2）过点作，使，连接构造等腰，再证，得出问题即可求解； （3）由是的三等分点，分两种情况：当时，由翻折和全等三角形的判定和性质可证得，，在中，由勾股定理可求解：当时，同理可求解． 【详解】解：（1）略 （2）过点作，使，连接， ，，是边的三等分点， ， ，， ， ， ， 设，则，, ， ，， ， 在中，， ， ， ， 在正方形中，， ． （3）正方形的边长为3，是的三等分点，分两种情况： 当时，由翻折得，， ， ， ， ． 设，则， 在中，根据勾股定理， 即，解得． 当时，同理，设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，网格中作图，图形的翻折，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，构造等腰直角三角形，分类讨论是解题的关键． 26. 如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线交于点D． （1）求A，B两点的坐标； （2）如图1，点E是线段的中点，连接，点F是射线上一点，当，且时，在x轴上找一点P，当的值最小时，求出的面积； （3）如图2，若，过B点作，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查直线与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式及一次函数与几何的综合,勾股定理解直角三角形，熟练掌握直线与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数的解析式及一次函数与几何的综合是解题的关键． （1）根据题意列方程即可得出结论； （2）作点E关于x轴的对称点N，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，则与x轴的交点即为P点，进而求出的解析式，最后求解即可； （3）根据题意得到点C的坐标，如图，当点M在轴的左侧，设，过作，再由等面积法求，当点M在轴的右侧时，根据对称性即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：∵直线分别与x轴，y轴交于A，B两点， ∴当时，则有， ∴， 当时，则， ∴，； 【小问2详解】 由（1）可得，，， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， 过点F作轴于点H，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点H与点B重合， ∴，故点， 作点E关于x轴的对称点N，则，连接， 如图所示： 由轴对称的性质可得垂直平分，则有点P到点N、E的距离相等，再由两点之间线段最短可得即为的最小值，此时与x轴的交点即为P点， ∵解析式为， 将，代入得， ∴解析式为： 联立， 解得：， ∴点， 设的解析式为，则有： ， 解得：， ∴解析式为， ∴令时，则， 解得：， ∴当为最小值时，点P的坐标为, ； 【小问3详解】 存在，理由如下： ∵， ∴直线， ∵， ∴设的解析式为，把代入得， ， 所以直线的解析式为， 当时，即， ∴， ∴， 如图，当点M在轴右侧时， ， ， ， ， 设，过作， 则为等腰直角三角形，， ， 解得， 又， ， ， ，即， 整理得， 解得或（舍去），故此时； 当点M在轴左侧时，设此时对应点为， 则， 即与关于轴对称，故， 综上，存在或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2024级2025－2026学年（上）期期中学业质量检测 数学试题 满分：150分，考试时间：120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考试号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案编号． 3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将其答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． A卷（100分） 一．选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．） 1. 下列各数中，，，，，，，，无理数的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（　　） A. B. C. ，， D. 4. 八年级一班甲、乙、丙、丁四名学生本学期数学测验成绩的平均分都是分，方差分别是，，，，这四名学生成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 已知点 , 都在直线 上，则, 的值的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 下列四个命题中，是真命题的是（ ） A. 三角形的一个外角大于任何一个内角 B. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C. 有理数与数轴上的点一一对应 D. 平面内点与点关于轴对称 7. 我国古典数学文献《增删算法统宗，六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ） A. B. C. D. 8. 如图函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m，3)，则不等式2x<ax+4的解集为 A. B. C. D. 二．填空题（本题共5小题，每题4分，共20分．） 9. 若有意义，则能取的最小整数值是________． 10. 在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标是________． 11. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米． 12. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_____． 13. 如图，在长方形ABCD中，，，P为AD上一点，将沿BP翻折至，PE与CD相交于点O，且，则AP的长为______． 三．解答题（本题共48分） 14. （1）计算： （2）解方程组： （3）解不等式组：，并求出它的整数解． 15. “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中部、高中部各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 初中部：． 高中部：． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 初中部 8 a b 0.8 高中部 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：_______，_______． （2）求m的值． （3）综合表中数据，你认为是初中部的学生对“校园餐”的满意度更为一致还是高中部的学生？请说明理由． （4）若对“校园餐”的满意度的评分大于或等于8分的学生占比及以上，则“校园餐”可被评为“幸福餐”．已知该中学初中部有800名学生，高中部有600学生，请估计该校的“校园餐”能否被评为“幸福餐”． 16. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）请在图中画出平面直角坐标系； （2）画出与关于轴对称的； （3）判断的形状，并说明理由． 17. 某商店销售一种产品，该产品成本价为元/件，售价为元/件，销售人员对该产品一个月（天）销售情况记录绘成图象．图中的折线表示日销量（件）与销售时间（天）之间的函数关系，若线段表示的函数关系中，时间每增加天，日销量减少件． （1）第天的日销量是______件，这天销售利润是______元； （2）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （3）日销售利润不低于元的天数共有多少天？销售期间日销售最大利润是多少元？ 18. （1）发现：如图1，和均为等边三角形，连结，且点A、D、E在同一直线上，连结，发现．请证明． （2）拓展：如图2，和均为等腰直角三角形，，，，且点A、D、E在同一直线上，若，，求的长度． （3）应用：如图3，P为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． B卷（50分） 一．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．） 19. 如果，那么_____． 20. 如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为______． 21. 如图，在过原点的直线上取一点，过点作轴于点，若点的坐标为，，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，依次进行下去......，则的长度为___________． 22. 如图，在四边形中，，，，，点为的中点，连接、，则的面积的最小值是______． 23. 1.在平面直角坐标系中，直线l过原点且经过一、三象限，直线l与x轴所夹锐角的度数为．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为点Q，若点Q的纵坐标为正数，且是以°的等腰直角三角形，则称点P为M，N的点． （1）如图，若点，，点P为M、N的点，连接，．则点的坐标为 ____________________； （2）已知，，若点为M，N的点，且点的横坐标为，则 _________________． 三．解答题（本题共30分） 24. 某水果店11月份购进甲、乙两种水果共花费1800元，其中甲种水果10元/千克，乙种水果16元/千克．12月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果13元/千克，乙种水果18元/千克． （1）若该店12月份购进这两种水果的数量与11月份都相同，将多支付货款400元，求该店11月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？ （2）若12月份将这两种水果进货总量减少到130千克，设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，求w与a的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若甲种水果不超过80千克，则12月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？ 25. 【操作思考】 （1）如图1，已知方格纸每个小方格都是长为1个单位的正方形，已知线段的端点均在正方形网格格点上，其位置如图所示．请在网格纸上画出以为斜边的所有互不全等的直角三角形，要求这些三角形的顶点均在正方形网格格点上． 【联系应用】 （2）如图2，在中，，，，是边的三等分点，连接，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，已知正方形的边长为3，当点是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点，求的长． 26. 如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线交于点D． （1）求A，B两点的坐标； （2）如图1，点E是线段的中点，连接，点F是射线上一点，当，且时，在x轴上找一点P，当的值最小时，求出的面积； （3）如图2，若，过B点作，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $