三角函数概念与同角公式综合专项练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

三角函数的概念与同角公式综合练习 知识梳理 知识点1任意角的三角函数定义 1、单位圆定义法： Px,y） 如图，设α是一个任意角，a∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y) ①正弦函数：把点P的纵坐标y叫做a的正弦函数，记作sina,即y=sina A(1,0) ②余弦函数：把点P的横坐标x叫做a的余弦函数，记作Cos,即x=cosa ③正切函数：把点P的纵坐标与横坐标的比值Y叫微a的正切，记作tana,即上=tand(x≠0) 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 2、终边上任意一点定义法： 在角终边上任取一点P(x,y),设原点到P(x,y)点的距离为 r=OPx2+y2 ①正弦函数：sina=y ②余弦函数：cosa=X ③正切函数：tana=上(x≠0) 知识点2三角函数值在各象限的符号 sinu,coso,tana在各象限的符号如下：（口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”） sin a cos a tan 为1贝共15贝 知识点3特殊的三角函数值 角度 15 30° 45 60 75 90° 120 135 150° 180° e 弧度 π π π-3 5π π 2π 3π 5π 元 C 12 6 4 12 2 3 4 6 正弦 0 √6-√2 1 √2 3 √6+√2 √2 1 0 值 2 2 2 4 2 2 2 sina 余弦 1 6+√2 √3 2 1-2 √6-√2 0 1 V2 5 -1 值 4 2 2 4 2 2 cosa 正切 0 3 1 5 -V5 -1 0 值 3 tan o 知识点4同角三角函数的基本关系 1、平方关系：sin2a+cos2a=1 2商数关系：sina =tana（a≠kr+T,keZ) cosa 知识点5关系式的常用等价变形 sin2a=1-cos2a台sino=±V1-cos2a 1、sin2a+cos2a=1→ cos2a=1-sin2a台cosa=±V1-sin2a sina tana cosa 2、 sina =tana台 sina cosa cosa= tano 第2页共13页 考点精析 考点一利用三角函数的定义求三角函数值 【例1】己知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点F 则sina=( ) A. 5 B. √5 c.25 D.25 5 5 【答案】C 【详解】 P 在单位圆上即 -5 +m=1m=1m=±2 终边在第三象限所以m<0， m= 25 ,所以P V525 5 所以sma=m=-2 5 故选：C 1V3 变式1：设角的终边与单位圆的交点坐标为 22 则sina=() A. 2 B. c.3 D.1 2 【答案】C 2 5 【详解】由题意得sina= 13 2 ,故选：C V44 变式2：已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若α的终边与圆心在原点的单位圆交于 4m 且a为第四象限角，则sina=() B.- 3 4 5 C. D.- 4 5 【答案】B 4 【详解】：A 5.m 在单位圆上， +m2=1,解得m=±3 a为第四象限角， m<0,则m= 3 ∴.sina= 3 5' 故选：B 考点二由终边或终边上点求三角函数值 【例2】己知角a的终边落在直线y=2x上，则sina的值为() A.25 B.5 c._25 5 D.±25 5 5 弟3贝共13贝 【答案】D 【详解】设直线y=2x上任意一点P的坐标为(m,2m)(m≠0)， 则0P=Vm2+(2m)=V5m(O为坐标原点)， 根据正弦函数的定义得：sina=上-2m=2m r OP 5 m' m>0时，sinu= 2W5 ;m<0时，sina=- 2V5 所以选项D正确，选项A,B,C错误，故选：D 5 5 变式1：若角a的终边经过点(-3,4)，则cosa=() 4 B.- 4 C. 3 D.- 3 A.- 5 5 【答案】D 【详解】设P(-3,4),则点P到原点的距离为V(-3)2+42=5, 则cosa=3-3 5=-5 故选：D 变式2：（多选题）已知角O的终边上有一点P(a,2a,若a<0,则() A.sin=- 5 5 B.sin9=-25 5 C.tane 1 D.tan0=2 【答案】BD 【详解】由题知，因为a<0,所以点P(a,2a在第三象限， 2a 所以sin0= 2V5 ，an0=2a=2, 故选：BD Va2+(2a) a 考点三 由三角函数值求终边上的点或参数 【例3】已知角α的终边上有一点P(m,V5,且cosa=V2m,则实数m取值为】 4 【答案】0或±√5 【详解】因为角α的终边上有一点Pm,V5), 所以cosa= m+3=,解特m=0或5 故答案为：0或±5. 变式1：已知角O的终边经过点P(-8m-3列，且cos0=-号，则实数m的值是() A 9 B. 32 c占或号 9 9 D. 32或32 【答案】A -8m -8m 4 【详解】由三角函数的定义得cos0= V64m2+9’ 64m产+9行m>0解得m=号 故选：A 第4负共13负 变式2：已知角a的终边经过点2a+la-2,且c0sa=?则实数a= 【答案】-2 2a+1 3 【详解】由题意，根据余弦数的定义，可得2a++a-2了一5 2 整理得11a2+20a-4=0,解得a=-2或a= 11 又因为c0sa<0,所以2a+1<0,即a<-2: 1 所以a=-2. 考点四三角函数值符号的运用 【例4】已知P(sinl,cos2),则点P所在象限为( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【详解】因为1(rad)是第一象限角，2(rad)是第二象限角， 所以sinl>0,cos2<0,所以点P所在象限为第四象限.故选：D. 变式1：己知点P(cos0,-tan0)是第三象限的点，则O的终边位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【详解】点P(cos0,-tan0)是第三象限的点，.cos0<0,tan0>0, 由cos0<0可得，O的终边位于第二象限或第三象限或x轴的非正半轴： 由tan0>0可得，O的终边位于第一象限或第三象限， 综上所述，Θ的终边位于第三象限. 故选：C 考点五同角三角函数的基本关系 【例5】己知0是第二象限角，且cosa= 3,则tana的值是( A司 √2 C.② D.-22 3 4 【答案】D 【解方法a为二象限角六a=oma写2 22 tana=sina」 cosa 3=-22. 1 3 ,角a终边上一点P的坐标为(-1,2万)，则ana-25.-2N2.放选：D 1 方法二：c0sa=- 3 -1 第5页共13页 变式1：若am0-号0e0,,则c0s0的值为() A. c D.-4 5 【答案】A 【详解】因为m0-号，所以。手 cose 3 因为sin26+c0s20=1,所以16cos29+c0s20=1,解得c0s0=±2 9 因为an9=手>0.0e0,,所以0∈0 3 2/ 所以cos0=3 故选：A 变式2：若a是第四象限的角，且tana=-√3，则cosa= 【答案】05 【详解】因为o是第四象限的角，且tana=-√5， 所以a=-T+2km,k∈Z, 所以cosa=c0s +2k 3 故答案为：号 考点六平方关系 【例6】（已知sin0,cos0是关于x的方程5x2-x+5m=0的两根，则实数m= 【路】号 sin+cos0=1 5 【详解】由sin0,cos0是关于x的方程5x2-x+5m=0的两根，所以sin0cos0=m, △=1-100m>0 由(sin0+cos0)=l+2sin0cos0,可得 1 5 =1+2m,则m=-12 51 经检验符合题意，所以实数m的值为- 12 25 故答案：号 变式1：（多选题）下列命题是真命题的是() A.若sina=m,则cosa=V1-m2 B.若sina=m,则cosa=±-m 1 C.若tana=m,则cosa= V1+m2 D.若tana=m,则sina= V1+m2 【答案】BD 第6页共13页 【详解】对于AB,当sina=m时，cos2a=1-sin2a=1-m2，cosa=±V-m，A错误，B正确： sina tana= =m sina=t_ m 对于CD,由 cosa得：cosa=± ,C错误，D正确.故选：BD. sin2a+cosa =1 V1+m2 1+m2 考点七已知正弦， 余弦，正切中其一求另外两个量 【例7】若sino=- ,且a为第三象限角，则ana=( 3 A B. 3 C. D. 3 3 【答案】D 4 【详解】，sina= 亏，且a为第三象限角，“cosa=-V-sin'a=- 3 .tand=sina =53 故选：D cosa 4-4 3 变式1：己知sina= 5’ae0, 则cosa=() A. 3 5 8.3 5 C.4 D.-4 5 变式2：已知cosu=- ,且<a<受，则anu- 3 【答案】√2 【详解】因为cosa= √5 ,且π<a<3 ,所以sina=--cos'a=- 3 则tana=sina=V2. 故答案为：√2 cosa 考点八已知tana,求关于sina和cosa的齐次式的值 1 【例8】己知tana= 3 则ima+2cos0的值为( 5cosa-sina A.-1 B.1 5 C. D. 5 16 【答案】c 所以sina+2cosa-tana+2 1x2 【详解】因为tana=- 1 =3 T= 3 5 故选：C 5cosa-sina 5-tana 5-3 1616 3 第7页共13页 变式1：已知an0=2,则os6-2sin0-（) cos0+sin0 A.0 1 B. 3 C.-1 D. 【答案】C 【详解】由题知，tan0=2, cos0 2sin0 则cos0-2sin0 cos0 cos0 1-2tan0 cos0 sin 1-2×2--3=-1. 故选：C cos0+sin0 1+tan 1+23 cos0 cos0 考点九利用sina+cosa,sina-cosa与sina cosa之间的关系求值 【例9】若cosx-sinx= 3,则cos2x-sin3x= 【答】号 【详解】cosx-sinr=},两边平方得1-2si血cosx- 4 cos'sin(cosx-sin)(cosx+sin xcosx+sin)=113 1+ 39-27 故答案为： 13 27 变式1：己知sina-cosa= 则tan a= 【答案】2或 【详解】由sina-cosa= 5两边平方得sin2a-2 s+cosa=1-2 sno=5 解得sincos=亏 sin产a+cos2 tan'a+15,即2an'a-5tana+2=0, sina cosa tana 2 所 解得ana=2或5 故答案为：2或 考点十应用同角三角函数的基本关系式化简 【例10】已知 ina+cosa=2,且a是第三象限的角， 则 1+sina 1-sina sina -cosa -sina V1+sina 【答案】-6 【详解】因为 ina+cosa-2,则ana+-2,解得aa=3, sina-cosa tana-1 又因为 1+sina 1-sina (1+sina)2 (1-sina）2 (1+sina )2 (1-sina)2 I-sina I+sina (1-sina)(1+sina) (1+sina)(1-sina) cos'a cos-a 且a是第三象限的角，则1+sina>0,l-sina>0,cosa<0, 第8页共13页 所以 1+sina 1-sina (1+sina 12 (1-sina 1 V1-sina V1+sina =-1+sina+1-sina=-2tana=-6:故答案为：-6， cos-a cos-a cosa cosa 1 变式1： snr13则+sinx」 COSx cosx 【答) 【详解】因为Csx=-1 sinx一13’显然sinr≠1， 1+sinx (1+sin x)(1-sinx)1-sin2x cos-x cosx__ cosx I 则 cosx cosx(1-sinx)cosx(1-sinx)cosx(1-sinx) 1-sin x sin x-1 3' 故答案为：3 分层提分 1.若角O的终边经过点(-2,3)，则sin0=() A. 言而 c分 【答案】D 3 3W13 【详解】因为角0的终边经过点(-2,3)，则sin0= -22+313.故选：D 2.角a的终边上一点P的坐标为N5,),且sina=2≠0，则ana=（） A.±V2 B.±V6 C.√2 D.6 【答案】A t 【详解】sina= 22=23+,解得：1=士6，所以na=±y6=士5.故选：A V3+7 3.已知角a的顶点与原点0重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点(1，-2)，则sia的值为() A.3 B.-2V3 3 C.5 D.-25 3 5 5 -2 2W5 【答案】D【详解】由题意，sina= V12+(-22 5故选：D. 4.若cos8=cos0,an0l=-tan0,则9的终边在() A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、三象限或在x轴的非负半轴上 D.第二、四象限或在x轴上 第9页共13页 【答案】D 【详解】因为cos0=cos0,可得cos0≥0，则O是第一、四象限或x轴正半轴， 又因为tan0=-tan0,可得tan0≤0，则O是二、四象限或x轴， 所以日是第四象限或x轴正半轴，所以k·360°+270°<0≤k·360°+360°，k∈Z, 可得k-180°+135°<9sk-180°+1809，k∈Z, 令k=2nm∈Z,可得n-360°+135<9≤n-360+180°，n∈Z, 2 则在二象限或x锥负半轴， 令k=2n+1neZ,可得n-360°+3150<9sn-360+360,neZ, 2 则在四象限或x轴正半轴，综上可得， 的终边在第二、四象限或在x轴上故选：D. 2 5.sinl.sin2sin3sin4的符号为() A.正 B.0 C.负 D.无法确定 【答案】C 【详解】由1弧度为第一象限角，2弧度为第二象限角，3弧度为第二象限角，4弧度为第三象限角， 则sin1>0,sin2>0,sin3>0,sin4<0,所以sinl.sin2sin3sin4<0,故选：C. 6.已知sinB=-5,-<B<0,则cosB=（) 5 2 A.5 2W5 B.± c._25 D.25 5 5 5 5 【答案】D 【详解】由-子B<0,得msB>0.面smB=5,所以cm月=r-(-25放选：0 5 5 7已知ma=分关中ue（50小ma的值为() A.-V3 B.-I c.3 2 D.2 2 【答案】A【详解】因为a∈ 为第四象限角，所以sinu=-V1-cos2a= 了5故选：A 8.当x为第二象限角时， sinx_lcosxl=() sin x cosx A.1 B.0 C.2 D.-2 【答案】c 第10页共13页三角函数的概念与同角公式综合练习 知识梳理 知识点1任意角的三角函数定义 1、单位圆定义法： 如图，设α是一个任意角，a∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y) P(x.v ①正弦函数：把点P的纵坐标y叫做a的正弦函数，记作sina,即y=sina A(1,0)元 ②余弦函数：把点P的横坐标x叫做a的余弦函数，记作cosC,即x=cosa ③正切函数：把点P的纵坐标与横坐标的比值Y叫微a的正切，记作tana,即上=tana(x≠0) 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 2、终边上任意一点定义法： 在角终边上任取一点P(x,y),设原点到P(x,y)点的距离为 r=OPx2+y2 ①正弦函数：sina=上 ②余弦函数：cosa=X ③正切函数：tana=上(x≠0) 知识点2三角函数值在各象限的符号 sina,coso,tano在各象限的符号如下：（口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”） sin cos a tan 第1页共8页 知识点3特殊的三角函数值 角度 0 15 30° 45 60 75 90° 120 135 150 180 C 弧度 0 π π 5π 2n 3π 5π a 12 6 4 3 12 2 3 4 6 正弦 0 √6-2 1 2 3 √6+√2 1 1 0 值 4 2 2 2 4 2 2 sina 余弦 V6+√2 3 2 1 √6-√2 0 1 2 3 -1 值 4 2 2 4 2 2 coSo 正切 0 5 5 -V3 1 V3 值 3 3 tan a 知识点4同角三角函数的基本关系 1、平方关系：sin2a+cos2a=1 2、商数关系0C=an&（a≠kr+ -keZ) cosa 知识，点5关系式的常用等价变形 sin2a=1-cos2a台sina=±V1-cos2a 1、sin2a+cos2a=1台 cos2a =1-sin2a cosa =tv1-sin2a sina tana cosa sina 2、 =tanc台 sina cosa cosa= tana 第2页共8页 考点精析 考点一利用三角函数的定义求三角函数值 【例1】己知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点P 则sina=( A.5 B.5 c.25 D.25 5 5 5 5 变式1：设角的终边与单位圆的交点坐标为 1V3 22 则sina=( ) A 8.② c.3 D.1 变式2：已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若的终边与圆心在原点的单位圆交于 4m小，且a为第四象限角则5n（) A.3 B. 3 C.4 5 5 5 D.-4 5 考点二由终边或终边上点求三角函数值 【例2】己知角a的终边落在直线y=2x上，则sina的值为( A. 2W5 B.5 c.-25 5 5 D.±25 变式1：若角a的终边经过点(-3,4)，则cosa=() 变式2：（多选题)已知角O的终边上有一点P(a,2a,若a<0,则() A.sin=- 5 5 B.sin0=-25 c.m0= D.tan0=2 第3页共8页 考点三由三角函数值求终边上的点或参数 【例3】已知角a的终边上有一点P(m,V),且cosa=2m,则实数m取值为】 变式1：已知角9的终边经过点P-8以-3，且cas0=一专，则实数m的值是(） A. 9 B. 32 或、9 D.9 32 变式2：已知角a的终边经过点2a+la-2),且cosa=-},则实数a= 考点四三角函数值符号的运用 【例4】己知P(sin1,cos2),则点P所在象限为( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 变式1：己知点P(cos0,-tan0)是第三象限的点，则O的终边位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点五 同角三角函数的基本关系 1 【例5】己知a是第二象限角，且cosa&= 3， 则tana的值是( A.3 1 B.-5 C.2 D.-22 3 4 变式1：若am0-手，0e0,,则cos0的值为() 5 C.4 D. 5 变式2：若a是第四象限的角，且tana=-√3，则cosa= 第4页共8页 考点六平方关系 【例6】已知sin0,cos0是关于x的方程5x2-x+5m=0的两根，则实数m= 变式1：（多选题）下列命题是真命题的是() A.若sina=m,则cosa=-m B.若sina=m,则cosa=±V-m 1 C.若tana=m,则cosa= V1+m2 D.若tana=m,则sina=±m +m2 考点七已知正弦，余弦，正切中其一求另外两个量 3 【例7】若sina=-。,且a为第三象限角，则tana=( 5 A 4 C. D. 4 3 4 3 变式1：己知sina=三，∈0， 5 (2 ,则cosa=() 3 A. 3 B.- c D. 4 5 5 变式2：已知cosa=5,且元<a< ,则tana= 3 2 考点八已知tana,求关于sina和cosa的齐次式的值 1 【例8】己知tana= 3则na+2cosa 的值为() 5cosa-sina A.-1 B.1 C. 5 D. 16 4 变式1：已知tan0=2,则os6-2sin0 =() cos0+sin0 A.0 8.5 C.-1 D. 3 第5页共8页 考点九利用sinu+cosa,sina-cosa与sina cosa之间的关系求值 1 【例】若cosx-sinx=3,则cos'x-sin'x=一 变式1：已知sna-cosa=5 则tana= 5 考点十应用同角三角函数的基本关系式化简 【例10】已知ina+cosc=2,且a是第三象限的角，则 1+sina 1-sina sina-cosa V1-sina V1+sina sinr3则+sinx、 变式1：设cosx=_1 cosx 分层提分 1.若角O的终边经过点(-2,3)，则sin0=() A而 后而 c合 。合 2.角a的终边上一点P的坐标为(5，)，且sina=2≠0，则ana=（) A.2 B.±6 C.√2 D.6 3.已知角u的顶点与原点0重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点(1，-2)，则sia的值为() A.3 B.-25 C.5 D.-25 3 3 5 5 4.若eos0=co:0,am0=-tm0,则号的终边在(） A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、三象限或在x轴的非负半轴上 D.第二、四象限或在x轴上 5.sinl.sin2sin3sin4的符号为() 第6页共8页 A.正 B.0 C.负 D.无法确定 6.已知si血B=-5,-<B<0,则csB=() 5 2 A.5 B.±25 c.-25 D.25 5 5 5 7.已知cosa=}， 。,其中-号，0，sna的值为) A.-V3 。1 C.3 2 B.一2 2 D2 8.当x为第二象限角时， sinx lcosxl=() sin x cosx A.1 B.0 C.2 D.-2 3 9.已知tana= S1之S之 sina-cosa A.2 B.3 C.4 D.5 10.若ae0,2ina+cosa-号则ana=（) A.3 8.-4 c o. 1 11.(多选题)己知c0s0= 3, 则O可能是() A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 12.（多选题)若是第四象限角， 则点oco 2,tan. 在第(）象限. 2 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 13.（多选题)已知a∈(0，，且sina+cosa=5,则（ B.sina cosa=- 12 25 C.cosa-sina= > D.cosa-sina = 5 5 14.（多选题)已知tan0=-4,则下列结果正确的是( A.sin20=16 17 B.cos20-sin20=-15 7 C.3sin0 cos0=-12 7 0.c0s20=6 7 15.已知a为第二象限角，sna+cosu=-弓则sna-cosu- 第7页共8页 16,已潮角以0sas2r)的降边过点Psm号os号 3 则a 第8页共8页