精品解析：湖南省怀化市四校联考2025-2026学年八年级上学期期中数学试题

2025年下学期期中考试 八年级 数学 （满分120分 考试用时120分钟） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在式子、、、、、中，分式的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车的锂电池需要用到碳纳米管，我国已具备研制直径为0.000000049的碳纳米管，数据0.000000049用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 5. 解分式方程，去分母后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 若分式 的值为0，则x的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则计算的结果等于（ ） A. 1 B. C. D. 8. 若多项式可分解为，则（ ） A. 8 B. C. 4 D. 9. 已知关于x的分式方程．若这个方程无解，则m的值为（ ） A. 3或 B. 或 C. 3或或 D. 5或或 10. 已知多项式，下列说法正确的有（　　）个． ①若，则； ②若为整数，则整数x的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若，，，则，，的大小关系为______（用“＜”连接）． 12. 在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是 _____． 13. 与 是同类二次根式，n 可以取的数为4，6，8，12，16，32中的_____． 14. A，B为常数，如果，则_______，_______ 15. 甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为_____． 16. 按照如图所示的程序计算，若输出y的值是，则输入x的值是______． 17. 对于正数x，规定，如：则的值为_______ 18. 若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是______． 三、解答题（共66分） 19. （1）计算： （2）因式分解： 20. 计算： （1） （2）) 21. （1）解分式方程； （2）先化简，再求值： ，其中x为满足的整数． 22. 已知分式 （1）化简该分式； （2）若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值 23. 数学课上老师出了以下题目： 如图，数轴上点A表示的数是a，请化简代数式： 下面是小明和小颖的解答过程： 解：原式 解：原式 （1）填空： 的解法是正确的． （2）先化简，再求值：，其中m是5的算术平方根． 24. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的倍． （1）求每套《什么是数学》的价格； （2）学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？ 25. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知a、b、c分别是三边的边长且满足，请判断 的形状，并说明理由． 26. 阅读材料： 已知a,b为非负实数， ，当且仅当时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令a=x, ，则由，得 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ; （2）用篱笆围一个面积为100的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ （3）已知，则自变量x取何值时，代数式取到最值？最值为多少？ （4）若x为非零实数，代数式的值为m，则m范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期中考试 八年级 数学 （满分120分 考试用时120分钟） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算（积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方）以及完全平方公式，熟练掌握这些运算法则和公式是解题的关键．根据幂的运算法则（积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方）以及完全平方公式，对每个选项进行分析判断，即可解题． 【详解】解：，故选项A错误，不符合题意． ，故选项B正确，符合题意． ，故选项C错误，不符合题意． ，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 2. 在式子、、、、、中，分式的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【详解】解：、、是整式， 、、时分式． 故选：B． 3. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义．熟记因式分解的定义是解答本题的关键． 根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解”逐项判断即可． 【详解】解：A．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形符合因式分解的定义，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车的锂电池需要用到碳纳米管，我国已具备研制直径为0.000000049的碳纳米管，数据0.000000049用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数． 【详解】解：数据0.000000049用科学记数法表示为． 故选：A． 5. 解分式方程，去分母后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题的最简公分母是3x，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程． 【详解】解：方程两边都乘3x， 得1-3（2x+1）=69x． 故选C． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握去分母法则是解题关键． 6. 若分式 的值为0，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分式值为0需同时满足分子等于0，分母不等于0，根据这两个条件求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子，且分母， 解方程得， 由得， ∴． 7. 若，则计算的结果等于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过分式的乘方、乘除运算法则化简代数式，再结合已知条件求值即可． 【详解】解：原式， ， ， ， ，  原式． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的乘方、乘除运算，熟练掌握分式乘方、除法变乘法、约分的法则是解题的关键． 8. 若多项式可分解为，则（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用公式法因式分解、完全平方公式等知识点，掌握因式分解的定义是解题的关键． 由题意可得，即，进而得到． 【详解】解：∵多项式可分解为， ∴， ∴， ∴，． 故选：B． 9. 已知关于x的分式方程．若这个方程无解，则m的值为（ ） A. 3或 B. 或 C. 3或或 D. 5或或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，化分式方程为整式方程是解题的关键．原分式方程无解有两种情况，由分式方程化为的整式方程无解，或整式方程的解是原分式方程的增根，据此解答即可． 【详解】解： 方程两边同乘以得： ， 若，即时，方程无解，故原方程也无解； 若有解，但此解是原分式方程的增根，则原分式方程无解， 即， 解得或， 综上所述，或或时，原方程无解． 故选：C． 10. 已知多项式，下列说法正确的有（　　）个． ①若，则； ②若为整数，则整数x的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，分母有理化，数字规律探索，分式的混合运算，二次根式的性质化简等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．根据代数式求值对①进行判断即可；②将化为，根据式子为整数分析求解即可；③求出，即可得出最小值；④根据分母有理化算出，进而求解即可． 【详解】解：①当时，，故①正确； ②当整数时，则为整数， 为整数， 为整数，取整数， 当或或或时，为整数，故②错误； ③， 当时，的最小值为，故③错误； ④ ， ， ， ， ， ， 故④错误， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若，，，则，，的大小关系为______（用“＜”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，，比较即可． 【详解】∵，，， ∴， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的计算，负整数指数幂，实数大小比较，熟练掌握公式和大小比较的原则是解题的关键． 12. 在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据题意列出不等式求得结果即可； 【详解】解：由题意可知：， 解得：． 故答案为：． 13. 与 是同类二次根式，n 可以取的数为4，6，8，12，16，32中的_____． 【答案】8，32 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义．要化简为最简二次根式后再判断． 先化简二次根式，然后再判断是否与是同类二次根式． 【详解】解：，与不是同类二次根式； 与不是同类二次根式； ，与是同类二次根式； ，与不是同类二次根式； ，与不是同类二次根式； ，与是同类二次根式； 故答案为：8，32． 14. A，B为常数，如果，则_______，_______ 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值． 【详解】解：对左边通分：， 因为左边等于右边，所以分子需相等， ， 展开左边：， 比较等式两边的系数和常数项，得方程组： ， 解得：，． 故答案为：． 15. 甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 分解因式时指将一个多项式在实数范围内分解成几个因式的积的形式，该题运用十字相乘的方法，甲看错了的值，这意味着等于甲分解的两个因式乘积的常数项，而乙看错了的值，这意味着等于乙分解的两个因式乘积的一次项系数，据此得到正确的分解因式的结果． 【详解】解：甲乙完成因式分解时， 甲看错了的值，分解的结果是， 那么， 而乙看错了的值，分解的结果为， 那么， 因此原来的二次三项式为， 因式分解为． 故答案为：． 16. 按照如图所示的程序计算，若输出y的值是，则输入x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程、解一元一次方程，理解题意是解题的关键．根据程序分析即可求解． 【详解】解：设输入的值为时， 由题意得，， 整理得，， 解得（舍去）； 当时，根据题意得，， 整理得， 解得， 故答案为：． 17. 对于正数x，规定，如：则的值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，分式的混合运算，正确理解题意是解题的关键．根据已知规定，将拆分为，然后利用裂项相消法求和即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 18. 若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解和不等式组的整数解，理解题意是解题的关键． 先分别解分式方程和不等式组，再根据题意求出整数m的值，再求解． 【详解】解：分式方程可化为：， 解得：， ∵分式方程的解为整数， ∴为2的倍数，即m为奇数， 解不等式组，得， ∵关于y的不等式组有且仅有2个偶数解， ∴不等式组的偶数解为：2，0， ， 解得：， 满足条件的整数m的值为、、， 当时，，此时分式无意义，不合题意， ， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. （1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1）8；（2） 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值，乘方，零指数幂，负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减； （2）先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式，最后用积的乘方计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，完全平方公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式，零指数幂，积的乘方，负整数指数幂等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 20. 计算： （1） （2）) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，绝对值，掌握运算法则即可解题． （1）根据二次根式的混合运算法则进行化简即可； （2）根据二次根式的混合运算法则进行化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 21. （1）解分式方程； （2）先化简，再求值： ，其中x为满足的整数． 【答案】（1）；（2），1 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式混合运算的化简，掌握知识点是解题的关键． （1）根据解分式方程的步骤，逐步计算，最后检验x的值是否符合题意即可； （2）先将分式混合运算进行化简，再选取符合要求的的值，最后代入化简之后的式子即可得解． 【详解】解：（1）方程两边同乘以，得 ， 解得， 当时，， ∴是原方程的解． （2） ∵为满足的整数，由分式有意义可知且 ∴只能取 ∴当时，原式． 22. 已知分式 （1）化简该分式； （2）若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的约分与化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键． （1）根据平方差公式，十字相乘法进行因式分解，再约分即可； （2）先推导出且的值为整数，化简，得到，则或或，求出x的值，再根据且，即可解答． 【小问1详解】 解： 且． 【小问2详解】 ∵的值为整数， ∴且的值为整数， ∵ ， ∴或或， 解得， ∵且， ∴． 答：x的值为． 23. 数学课上老师出了以下题目： 如图，数轴上点A表示的数是a，请化简代数式： 下面是小明和小颖的解答过程： 解：原式 解：原式 （1）填空： 的解法是正确的． （2）先化简，再求值：，其中m是5的算术平方根． 【答案】（1）小明 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，关键是算术平方根的计算． （1）根据数轴上的点的位置可得，则，进而化简二次根式，即可求解． （2）先求得，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，则， ∴ ， ∴小明的解法是正确的． 故答案为：小明； 【小问2详解】 解：， ， ∵m是5的算术平方根， ∴， ∴， ∴， ∴原式， ∵m是5的算术平方根， ∴， ． 24. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的倍． （1）求每套《什么是数学》的价格； （2）学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？ 【答案】（1）50元 （2）《古今数学思想》最多能买20套 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是元，根据5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套建立方程求解即可； （2）根据（1）所求可求出《古今数学思想》的价格，设可以购进m套《古今数学思想》，则购进套《什么是数学》，根据购买费用不超过4000元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是元， 根据题意得：60， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每套《什么是数学》的价格是50元； 【小问2详解】 解：由（1）可得：每套《古今数学思想》的价格是2．5×50＝125（元）， 设可以购进m套《古今数学思想》，则购进套《什么是数学》， 根据题意得：， 解得， ∴m的最大值为20． 答：《古今数学思想》最多能买20套． 25. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）已知a、b、c分别是三边的边长且满足，请判断 的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的应用，平方的非负性，等腰三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）先分组，并根据完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）将化为，再根据平方的非负性，得到则，即可解答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ， ， ， ∴ 解得， ∴是等腰三角形． 26. 阅读材料： 已知a,b为非负实数， ，当且仅当时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令a=x, ，则由，得 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ; （2）用篱笆围一个面积为100的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ （3）已知，则自变量x取何值时，代数式取到最值？最值为多少？ （4）若x为非零实数，代数式的值为m，则m范围为 【答案】（1）， （2）当长和宽都为10米时，篱笆最短，最短长度为40米 （3）当时，代数式取最大值，最大值为 （4）或 【解析】 【分析】本题主要考察了“均值不等式”这一知识点，即对于非负实数、，有，当且仅当时等号成立．解题的关键在于根据题目所给代数式的形式，合理地将其转化为符合“均值不等式”的结构，通过设a、b的值，利用不等式求出最值，并确定取最值时自变量的值． (1)类比得出, 当时，即时，代数式取到最小值， 最小值为：; (2)设矩形的长为, 宽为, 可得出，当时取等号，进而求得及最值； (3)，由，时，取等号，进一步求最值； (4)，分情况讨论：当时，当时，求的取值范围． 【小问1详解】 解：， ，当时，即时，代数式取得最小值，最小值为：． 故答案为： 【小问2详解】 设矩形的长为, 宽为， ， 当时，即时，的最小值为20， 当长和宽均为10时，篱笆的长度最短，最短为； 【小问3详解】 ， ，时，取等号，的最小值为6， ∴的最大值为． 【小问4详解】 当时，，，即时，取等号， , 当时，，，，即时，取等号， ，， 综上，的范围为或． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $