5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（分层作业）数学人教A版2019必修第一册

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 知识点1 正、余弦函数的周期性 1．下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正余弦型的三角函数的周期公式求解，要注意C项是绝对值函数的周期特点. 四个选项中的函数周期分别为，，，，故选：D． 2．（24-25高一下·北京石景山·期末）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：为偶函数，故A错误； 对于B：的最小正周期为，故B错误； 对于C：，最小正周期，且为奇函数，故C正确； 对于D：，则，故为偶函数，故D错误；故选：C 3．（24-25高一下·河南驻马店·月考）（多选）下列函数中，以为周期的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，因，而，而，故A错误； 对于B，因，则函数的最小正周期为，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为偶函数，则，其最小正周期为，故D错误． 故选：BC． 4．（24-25高一下·山西运城·月考）若函数的最小正周期为，则 ． 【答案】 【解析】因的最小正周期为，则，结合可得， 则，得. 知识点2 正、余弦函数的奇偶性 1．（24-25高一下·上海·月考）的奇偶性是（    ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【解析】令，， 又， 所以函数是偶函数.故选：A. 2．（24-25高一下·辽宁·月考）下列函数既是奇函数又在区间内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A项，由可得，， 所以，函数的定义域为关于原点对称. 又，所以函数为偶函数.故A错误； 对于B项，易知函数的定义域为R关于原点对称. 又，所以函数为奇函数. 又，所以. 正弦函数在上既有增区间又有减区间，不满足题目要求，故B错误； 对于C项，易知函数的定义域为R关于原点对称. 又， 所以，函数为偶函数.故C错误； 对于D项，易知函数的定义域为R关于原点对称. 又，所以函数为奇函数. 又，所以. 正弦函数在上单调递增，故D正确.故选：D. 3．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数是奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为奇函数， 则，则.故选：D 4．（24-25高一下·江西上饶·月考）已知函数是奇函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由是奇函数，则是偶函数， 所以，即， 故当时，，故选：A． 知识点3 正、余弦函数的对称性 1．（25-26高一·江西南昌县·月考）函数的图象的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得，解得， 则函数图象对称轴为， 结合选项得为函数图象的一条对称轴．故选：A 2．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）已知函数的最小正周期为，则图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知,则，可得， 根据余弦函数对称轴方程得，解得得．故选：B. 3．（24-25高一下·上海·月考）函数的图象的对称中心的坐标是 . 【答案】， 【解析】方法一：图象变换法： 函数的对称中心是形如的点，其中为整数. 变换后的函数分析：函数是由原函数经过横向压缩3倍、 向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的. 对称中心的变换： 横向压缩3倍后，原对称中心的横坐标变为 向左平移个单位后，横坐标变为 . 向上平移1个单位后，纵坐标变为1. 函数 的图像的对称中心的坐标为：,. 方法二：利用正弦函数的性质直接求解法: 求解对称中心：对称中心的横坐标满足方程 ， 解得,纵坐标恒为1. 最终，函数 的图象的对称中心的坐标为：：,. 故答案为：,. 4．（24-25高一下·广东中山·月考）写出函数的一个对称中心 ． 【答案】（答案不唯一，） 【解析】函数中，令，解得， 取，则该函数的一个对称中心为. 知识点4 正、余弦函数的单调性 1．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）的单调增区间 【答案】 【解析】由，解得， 所以所求单调增区间为. 2．（24-25高一下·上海普陀·月考）函数，的单调减区间为 . 【答案】和 【解析】由题意知， 所以函数的单调减区间就是的单调增区间， 已知得单调增区间为， 得，解得， 当时，增区间为，当时，增区间为， 所以在上的单调增区间为和， 即在上的单调减区间为和， 故答案为：和. 3．（25-26高一上·安徽合肥·月考）函数在上的单调递减区间是 ． 【答案】， 【解析】当时，.注意到在上递减， 又，， 则在上的单调递减区间是：，. 4．（24-25高一下·陕西渭南·月考）函数的单调增区间为 . 【答案】 【解析】函数，即， 则，解得， 所以函数的单调增区间为. 知识点5 根据正、余弦函数的单调性求参数 1．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）若函数在上单调递减，在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，函数的图象经过原点，且在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 又，，解得.故选：B. 2．（24-25高一下·山东淄博·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】， 又函数在单调递增， 所以，解得. 3．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为 . 【答案】 【解析】当时，， 函数在上是严格减函数，则， 则，解得，所以的最大值为. 4．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则， 由函数在区间上单调递减，可知，解得. 综上可知，的取值范围是.故选：D 知识点6 比较正、余弦函数值的大小 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）下列不等式中，正确的有（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【解析】由于，且函数在区间内单调递减，则，①正确； 由于，且函数在区间内单调递减， 则，②错误； 由于，则，③正确； 由于，且函数在区间内单调递增，则，④错误．故选：B 2．（24-25高一下·山东日照·月考）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，，故A错误； 对B，，， 因为，则，即，故B错误； 对C，，， 故，故C错误； 对D，， ， 因为，则，即，故D正确.故选：D. 3．（24-25高一下·山东聊城·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，， ，又， 因为在单调递减， 所以，即，所以.故选：D. 4．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）（多选）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，因，故A正确； 对于B，因，因，函数在上单调递减， 故，故B正确； 对于C，因， 因，函数在上单调递增，则， 故，即C错误； 对于D，因， 故，即D正确.故选：ABD. 知识点7 求正、余弦函数的最值 1．（24-25高一上·云南红河·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，则， 故，故的值域为.故选:C. 2．（24-25高一下·广西桂林·月考）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 令，由，得，变为． 该二次函数开口向下，对称轴，在递增，递减． 当时，时，，所以值域为.故选：C. 3．（24-25高一下·天津红桥·月考）函数 在区间 上的最大值为 . 【答案】3 【解析】当，则，则， 则的值域为，所以函数的最大值为3. 4．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）（1）若，求的值域． （2）求函数的值域． 【答案】； 【解析】（1）因为，所以，则令， 所以. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为， 所以时，函数单调递增， 则当时，， 当时，. 综上，函数的值域为. （2）因为，所以，且. 又因为，所以，即， 整理得，解得或， 综上，函数的值域为. 知识点8 函数y=Asin(ωx+φ)的综合 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）设函数. (1)求函数的最小正周期，及对称轴，对称中心. (2)求函数在区间上的值域. (3)求函数时，x的取值范围？ 【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为，对称中心为；(2) (3) 【解析】（1）的最小正周期为， 令，解得，故对称轴方程为， 令，解得，故对称中心为， （2），则，故， 因此，故值域为 （3）由可得，继而， 所以，解得， 故时，. 2．（24-25高一上·安徽合肥·月考）设a为常数，函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围； 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意， 令，则， 当时，， 所以当时，取最大值； 当时，取最小值， 所以的值域为； （2）由题意函数在区间上有两个不同的零点， 即函数在上仅有一个零点，因为， 由零点存在性定理，只需，得； 所以实数a的取值范围为. 3．（24-25高一下·湖北宜昌·月考）已知函数，其中，，，若的图像相邻两最高点的距离为，且有一个对称中心为. (1)求和的值； (2)若，求的单调递增区间； (3)若，且方程有解，求的取值范围. 【答案】(1)，；(2)；(3). 【解析】（1）依题可得：，则， 又函数图像的一个对称中心为， 所以，则，， 又，则； （2）由（1）知， 当时，由，得，， 得函数单调递增区间为； （3）若，， 由得， ，，， 要在时有解，则. 1．（24-25高一上·山东烟台·期末）已知函数，则（    ） A．为偶函数，且在上单调递增 B．为偶函数，且在上单调递减 C．为奇函数，且在上单调递增 D．为奇函数，且在上单调递减 【答案】A 【解析】因为的定义域为，并且 ， 又， 所以为偶函数； 设、，并且，则，， 所以，，， 于是， 即，所以在上单调递增，所以A正确，BCD错误.故选：A. 2．（24-25高一下·河南·期中）设函数，若，满足，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】，且， ，分别为最大值点和最小值点， 又，，，整理得， 又，，，整理得，， 又，的最小值为4.故选：B 3．（25-26高三上·河北邢台·月考）设函数，若在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由可得：， 因为正弦函数的单调递增区间是， 所以，解得：， 由解得：， 因为，所以当时，有， 当时，有， 故答案为： 4．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知函数的周期为，为它的一个对称中心. (1)求函数的解析式及其单调增区间； (2)若关于的方程在上有实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调增区间： ；(2) 【解析】（1）由，得， 当时，因为为它的一个对称中心,所以， 所以， 又，所以，所以； 当时，因为为它的一个对称中心,所以， 所以， 又，所以，所以； 令，， 所以单调增区间： ； （2）由，得，故， 因此函数的值域为. 设，则， 要使关于的方程在上有实数根， 即在时有实数根，令， 则在时有实数根， 即与在有交点，由图像可知. 1．（24-25高一下·江西抚州·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且， 所以， 则，即．故选：D 2．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知曲线与垂直于y轴的条直线：，，且为常数，在区间内共有2025个交点，则（    ） A． B．1013 C． D．1012 【答案】A 【解析】由题意知，曲线与直线在区间内共有2025个交点， 由曲线在区间内的图象， 可得当时，方程分别有两个不同的实根，且各根均不同， 要使得在区间内共有2025个交点，则满足， 解得．故选：A． 3．（24-25高一下·河南驻马店·期中）已知函数，则函数的最小正周期为 ． 【答案】 【解析】由正弦函数的图象与性质，可得的最小正周期为，的最小正周期为， 可得， ， 所以函数的一个正周期为. 设是函数的正周期， 则， 当时，， 当时得，无解. 所以的最小正周期只能是的任意正整数倍， 但上面已经证明不是函数的周期，是函数的周期， 所以函数的最小正周期为. 故答案为：． 4．（24-25高一下·河北保定·期末）平面直角坐标系中，将函数的图象上满足，的点，称为的“正格点”．若，，的图象与函数，的图象存在“正格点”交点，则 ． 【答案】 【解析】因为，，的图象 与函数，的图象存在“正格点”交点， 所以（为正整数）有正整数解， 因为值域内的正整数只有1和2， 当时，由，解得， 则为方程的正整数解， 所以，即，因为，所以， 则，； 当时，由，解得不是正整数，故舍去， 综上，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 知识点1 正、余弦函数的周期性 1．下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京石景山·期末）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南驻马店·月考）（多选）下列函数中，以为周期的函数有（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山西运城·月考）若函数的最小正周期为，则 ． 知识点2 正、余弦函数的奇偶性 1．（24-25高一下·上海·月考）的奇偶性是（    ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 2．（24-25高一下·辽宁·月考）下列函数既是奇函数又在区间内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数是奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江西上饶·月考）已知函数是奇函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 知识点3 正、余弦函数的对称性 1．（25-26高一·江西南昌县·月考）函数的图象的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）已知函数的最小正周期为，则图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·月考）函数的图象的对称中心的坐标是 . 4．（24-25高一下·广东中山·月考）写出函数的一个对称中心 ． 知识点4 正、余弦函数的单调性 1．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）的单调增区间 2．（24-25高一下·上海普陀·月考）函数，的单调减区间为 . 3．（25-26高一上·安徽合肥·月考）函数在上的单调递减区间是 ． 4．（24-25高一下·陕西渭南·月考）函数的单调增区间为 . 知识点5 根据正、余弦函数的单调性求参数 1．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）若函数在上单调递减，在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东淄博·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 3．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为 . 4．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 知识点6 比较正、余弦函数值的大小 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）下列不等式中，正确的有（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 2．（24-25高一下·山东日照·月考）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东聊城·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）（多选）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 知识点7 求正、余弦函数的最值 1．（24-25高一上·云南红河·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广西桂林·月考）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·天津红桥·月考）函数 在区间 上的最大值为 . 4．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）（1）若，求的值域． （2）求函数的值域． 知识点8 函数y=Asin(ωx+φ)的综合 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）设函数. (1)求函数的最小正周期，及对称轴，对称中心. (2)求函数在区间上的值域. (3)求函数时，x的取值范围？ 2．（24-25高一上·安徽合肥·月考）设a为常数，函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围； 3．（24-25高一下·湖北宜昌·月考）已知函数，其中，，，若的图像相邻两最高点的距离为，且有一个对称中心为. (1)求和的值； (2)若，求的单调递增区间； (3)若，且方程有解，求的取值范围. 1．（24-25高一上·山东烟台·期末）已知函数，则（    ） A．为偶函数，且在上单调递增 B．为偶函数，且在上单调递减 C．为奇函数，且在上单调递增 D．为奇函数，且在上单调递减 2．（24-25高一下·河南·期中）设函数，若，满足，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（25-26高三上·河北邢台·月考）设函数，若在上单调递增，则的取值范围是 ． 4．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知函数的周期为，为它的一个对称中心. (1)求函数的解析式及其单调增区间； (2)若关于的方程在上有实数根，求实数的取值范围. 1．（24-25高一下·江西抚州·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知曲线与垂直于y轴的条直线：，，且为常数，在区间内共有2025个交点，则（    ） A． B．1013 C． D．1012 3．（24-25高一下·河南驻马店·期中）已知函数，则函数的最小正周期为 ． 4．（24-25高一下·河北保定·期末）平面直角坐标系中，将函数的图象上满足，的点，称为的“正格点”．若，，的图象与函数，的图象存在“正格点”交点，则 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $