专题5 数学思想——数形结合&专题6 数学思想——分类讨论-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学上册期末必刷卷（北师大版·新教材）郑州专版

BS·七年级·数学 政专题 AI学习助手 在线答疑 1 专题5数学思想 数形结合 。 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.如图所示是2025年10月的日历，“U形”“十字形”两个阴影 邮 的女 图形分别覆盖其中五个数字(“U形”“十字形”两个阴影图形 翠字的 製 可以重叠覆盖，也可以上下左右移动)，设“十字形”覆盖的五 的製 个数之和为S. 架 敏 (1)若“U形”中最小的数为13，则最大的数为 州 (2)S的值可以是90吗？请说明理由 四 五 六 4 6 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 肉 26 27 28 29 30 31 叩 2.点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,A,B两点之间的距离表 示为AB=Ia-b1.动点P,Q分别从点A,C同时出发在数轴上 运动，点P以每秒4个单位长度的速度向左运动，点Q以每秒 5个单位长度的速度向右运动，设运动的时间为1秒. 如图，已知数轴上的点A,B,C分别表示有理数a,b,c,其中b 茶 是最大的负整数，且a,c满足(a+4)2+1c-11|=0, (1)请你直接写出a= ,b= ,C= 得 AC= (2)①点P表示的数是 (用含t的代数式表示)； ②当运动时间t为何值时，CP=BQ? BO A BO 备用图 题 数学七年级上册北师第1页共3页 3.综合与实践：制作一个无盖的长方体纸盒 七年级“探究小组”计划利用一张边长为20c的正方形纸板 制作一个无盖的长方体纸盒，按照如图1所示的方式先在纸板 四角剪去四个同样大的小正方形，再沿虚线折起来就可以做 成一个无盖的长方体纸盒 【特例探究】(1)若剪去的小正方形的边长为1cm,求长方体 纸盒的容积； 【一般探究】(2)若剪去的小正方形的边长为xcm(0<x< 10),求长方体纸盒的容积（用含x的代数式表示）； 【拓展延伸】(3)“探究小组”把剪去的小正方形的边长x的值 按整数值依次增大，计算出对应的长方体纸盒的容积V的变 化情况，并绘制折线统计图（如图2），请根据统计图写出两条 结论 ↑V/em3 600 20 cm 500 400 300 200 100 0123456789x/cm 图1 图2 数学七年级上册北师第2页共3页 4.【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以 将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律： 若数轴上点A,B表示的数分别为a,b,则A,B两点之间的距离 AB=a-b1,线段AB的中点表示的数为+b 2 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为-4，点B表示的数 为6，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向 终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度 的速度向左匀速运动，点Q到达点A后，再立即以同样的速度 返回点B,当点P到达终点后，P,Q两点都停止运动，设运动时 间为t秒(t>0) A B -5-4-3-2-101234567 【综合运用】 (1)填空：A,B两点间的距离AB= ,线段AB的中点 表示的数为 (2)当t为何值时，P,Q两点间的距离为3？ (3)若M为AQ的中点，N为BP的中点，当点Q到达点A之前， 在运动过程中，探索线段MN和AP的数量关系，并说明理由. 数学七年级上册北师第3页共3页 一专题5 BS·七年级·数学 政专题 专题6数学思想 —分类讨论 编者按：聚焦期末高频及重难考点，专题训练，提升能力！ 1.在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思 想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细 阅读，并回答问题， 【提出问题】三个有理数a,b,c满足abc>0,求al+h+lcl a b c 的值， 【解决问题】 解：由题意，得a,b,c三个有理数都为正数或其中一个为正数， 另两个为负数 ①当a.6c都是正数.即a>0,6>0,e>0时，则1g+女+ lcl=0+6+9=1+1+1=3: ②当a,b,c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a>0, 6<0c<0.则8++1-8++e-1+(-1)+ c a (-1)=-1. 综上所述，la+h+lc的值为3或-1. 【探究】请根据上面的解题思路回答下面的问题： (L)三个有理数a,6e满足k<0,求日+伦+的值： a (2)若a,c为三个不为0的有理数.且合+合+合=-1， 求血的值 专题6之 数学七年级上册北师第1页共3页 2.如图，A,B两点在数轴上对应的数分别为-20,40，点C在A,B 两点之间.在A,B,C三点处各放一个挡板，M,N两个小球都 同时从点C处出发，M小球向数轴的负方向运动，N小球向数 轴的正方向运动，碰到挡板后则向反方向运动，一直如此下去 (当N小球第二次碰到B挡板时，两小球均停止运动). (1)若两个小球的运动速度相同，当M小球第一次碰到A挡板 时，N小球也刚好第一次碰到B挡板，求点C所对应的数； (2)若点C所表示的数为25，M,N小球的运动速度分别为2个 单位长度/秒，3个单位长度/秒，则N小球前三次碰到挡板的 时间依次为a,b,c秒，设两个小球的运动时间为t秒； ①请直接写出下列时间段内N小球所对应的数（用含t的代 数式表示)：当0≤t≤a时，N小球对应的数为 ；当 a<t≤b时，N小球对应的数为 ;当b<t≤c时，N小 球对应的数为 ②当M,N两个小球的距离等于30时，求1的值 (3)若点C所表示的数为25，移走A,B,C三处的挡板，点P从 点A出发，以6个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时点 Q从点B出发，以4个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动.已 知E为AP的中点，点F在线段BQ上，且QF=4BQ,问出发 多少秒后，点E到点F的距离是点E到原点O的距离的4倍？ A B -20 0 40 数学七年级上册北师第2页共3页 3.数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角板进行“玩转三 角板”的探究活动. (1)老师将三角板ABC和三角板CDE按如图1所示的方式摆 放在直线MN上，边AC,CD落在直线MN上，∠ABC=∠CDE= 90°，∠ACB=45°，∠DCE=60°，则∠BCE= 多 (2)奋进小组将图1中的三角板CDE绕点C逆时针旋转进行 探究，当边CD首次落在直线MN上时停止旋转，若以每秒5° 的速度旋转，设三角板CDE旋转的时间为t秒，提出下列问 题，请你帮忙解答； 1 ①t=秒，边CE落在边BC上； ②当边CD平分∠ACB时，t= 秒. 1 (3)如图2，勤学小组受奋进小组的启发继续进行探究：在三角 板CDE绕点C以每秒5的速度逆时针旋转的同时，将三角板 ABC也绕点C以每秒15的速度顺时针旋转，当三角板ABC的 边BC首次落在直线MN上时停止旋转，同时三角板CDE也停 止旋转.求t为何值时，∠BCE=60°. 图1 图2 备用图 得 数学七年级上册北师第3页共3页河洛芸熙·期末考试必刷卷 由折叠的性质可知，∠A'EN=2∠AEA,∠B'EM= 2 -∠BEB. 因为∠A'EA+∠B'EB-FEG=180°，∠FEG=26°， 所以∠A'EA+∠B'EB=180°+∠FEG=180°+26°=206. 所以∠MEN=∠A'EN+∠B'EM-LFEG=)(∠AEA+ ∠BEB)-LFEG=7×206-26°=79 综上所述，∠MEN的度数为103或7° 专题5数学思想—数形结合 1.解：(1)22 （2)S的值不可以是90.理由如下： 设“十字形”中正中心的数为a,则其余的数为a-7,a-1, a+1,a+7. 所以a+(a-7)+(a-1)+(a+1)+(a+7)=90. 解这个方程，得a=18. 观察日历可得，18不会在S的正中心， 所以S的值不可以是90. 2.解：(1)-4-11115 (2)①-4-4t ②因为点P表示的数为-4-4t,点C表示的数为11， 所以CP=111-(-4-4t)I=15+4t. 因为点Q以每秒5个单位长度的速度从点C向右运动，且 数轴上点C表示的数为11， 所以点Q表示的数为11+5t. 所以BQ=1-1-(11+5t)1=12+5t. 所以15+4t=12+5. 解得t=3. 3.解：(1)(20-2)2×1=324(cm3). 所以长方体纸盒的容积为324cm. (2)若剪去的小正方形的边长为xcm(0<x<10), 则长方体纸盒的容积为x(20-2x)2cm3. (3)①当x从1到3时，容积随小正方形边长x的增大而增大； ②当x从3到9时，容积随小正方形的边长x的增大而减小； ③当x=3时，长方体纸盒的容积最大.（答案不唯一，合理 即可) 4.解：(1)101 (2)当点P与点B重合时，t=10÷1=10; 当点Q与点A重合时，t=10÷2=5; 当点Q返回到点B时，t=5×2=10. 分两种情况：①当0<t≤5时，点P表示的数是-4+t,点Q 表示的数是6-2t 因为P,Q两点间的距离为3，即PQ=3, 所以6-2t-(-4+t)=3或-4+t-(6-2t)=3. 解得1号 9 河派苍侧 ②当5<t≤10时，点P表示的数是-4+t,点Q表示的数 是-4+2(t-5)=2t-14. 因为P,Q两点间的距离为3，即PQ=3, 所以-4+t-(2t-14)=3或2t-14-(-4+t)=3. 解得t=7或13（不符合题意，舍去） 综上所述，当：为了或号或7时，P,Q两点间的距离为3， (3)MN=多AP理由如下： 当点Q到达点A之前，即0<t≤5. 因为M为AQ的中点，N为BP的中点， 所以点M表示的数是-4+)6-24=1-6 2 点N表示的数是4+i+6=+2 2 2 所以MN=生2-(1-)=子 3 2 因为AP=,所以MN=多AP 专题6数学思想—分类讨论 1.解：(1)因为abc<0, 所以a,b,c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数 ①当a,b,c都是负数，即a<0,b<0,c<0时， 则g++=2++-1-1-1-3 a c a ②当a,b,c中有一个为负数，另两个为正数时，设a<0,b> 0,c>0, 则g+冬+只2+台+兰1+1+11 a 签上所述，日+女+的值为-3或1 (2)因为a6,c为三个不为0的有理数，且合+合+ b 1cs-1, C 所以a,b,c中负数有2个，正数有1个. 所以>0所以临盖=1山 2.解：(1)设点C所对应的数为x, 由题意，得x-（-20)=40-x.解得x=10 所以点C所对应的数为10. (2)①25+3t55-3t3t-5 解析》当0<t≤a时，V小球对应的数为25+3t; 当a<t≤b时，N小球对应的数为40-3(t-5)=55-3t: 当b<t≤c时，W小球对应的数为25+3(t-10)=3t-5. ②由题意可知，M,N两个小球的运动时间为t秒，在15秒 内，N小球先到达挡板B.分三种情况： 河派言型 ①若0≤t≤5，则，点M对应的数为25-2t,点N对应的数为 25+3t 所以MW=(25+3t)-(25-2t)=30. 解得t=6(不符合题意，舍去) ②若5<t≤10，则点M对应的数为25-2t,点N对应的数 为55-3t. 所以MW=(55-3t)-(25-2t)=30. 解得t=0(不符合题意，舍去)· ③若10<t≤15，则点M对应的数为25-2t,点N对应的数 为3t-5. 所以MW=(3t-5)-(25-2t)=30. 解得t=12, 综上所述，当M,N两小球的距离等于30时，t的值为12. (3)设点P,Q的运动时间为t秒，则点P对应的数为 -20+6t,点Q对应的数为40-4t. 所以点E对应的数为-20+（一20+62=-20+3， 2 点F对应的数为40-4+子×4=40-3弘 所以EF=I-20+3t-(40-3t)1=I6t-601,E0=1-20+3t1 因为点E到点F的距离是点E到原点O的距离的4倍， 所以16t-601=41-20+3t1. 解得：=9或码 所以出发9或码秒后，点E到点F的距离是点E到原点0 的距离的4倍 3.解：(1)759 (2)①15②31.5 (3)当三角板ABC的边BC首次落在直线MW上时，所需要 的时间为(180-45)÷15=9（秒） 分两种情况：①当边BC与边EC相遇前，∠BCE=60°时， 5+15=75-60,解得1=子：②当边8C与边BC相遇后， 27 ∠BCE=60时，5t+15t=75+60,解得t=4 综上所述，当的值为子或时，∠BCB=60 专题7数学思想—归纳 1.解：(1)11112 (2)59 (3)n(n-3) 2 (435解析》当n=10时，n-3》=10×(10-3》】=35, 2 2 所以十边形有35条对角线. 北师版·七年级·数学·上册 2.解：(1)n2 (2)如图所示 n(n+1)解析)由图形可得，2=1×2,2+4=2×3,2+ 4+6=3×4,2+4+6+8=4×5,所以2+4+6+8+…+ 2n=n(n+1). 3.解：(1)2m+8相等 (2)设正中心的数为x,则“十”字框中其余的4个数分别为 x-7,x-1,x+1,x+7. 所以这5个数的和为(x-7)+(x-1)+x+(x+1)+(x+ 7)=5x. 所以图2中当“十”字框任意移动位置时，这5个数之和总 是5的倍数. (3)他的说法正确.理由如下： 设“H”形框的中心位置的数为x,则另外六个数分别为x 8,x-6,x-1,x+1,x+6,x+8. 由题意，得x+(x-8)+(x-6)+(x-1)+(x+1)+(x+ 6)+(x+8)=133. 整理，得7x=133.解得x=19. 所以“H”形框的中心位置的数位于第三行第六列，这7个 数的和可以是133. 4.解：探究一：5 探究二：7 探究三：9 解析》当五边形内有3个点时，可分得5+2×3-2= 9(个)三角形. 【问题解决】(2n+3) 解析》由探究一可知，当五边形内有1个点时，可分得5+ 2×1-2=5(个)三角形； 由探究二可知，当五边形内有2个点时，可分得5+2×2- 2=7(个)三角形： 由探究三可知，当五边形内有3个点时，可分得5+2×3- 2=9(个)三角形： … 10