上海市徐汇区2025-2026学年高三上学期学习能力诊断卷（一模）数学试卷

参考答案 一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 15: 2.(12): 3.[-2,2]: 4.x3: 5.1: 6.131 7.960: 8.5: 9.329460: 10.2: 11.0.54: 12.6 10.【解析】设f(x)=f(x)=f(x)=p∈(0,2]， L-p p 2-=p→x=2+p 故5=-pN4-p=-g(p) x-2=p x3=2+p 2 y=卫 利用装本不等式：g(p)=pN4-P≤D+A-DY=2 当且仅当p=√2时取等，故最小值为2. 11.【解析】令∠ACB=a,即求cOs0最小值. CA.CB 1-2(sine+cos0) cosa =f(0),因为求cosa最小值，显然地可以取负值，故 CCB (5-4cos0)(5-4sine) 接下米议考虑o)s0.换元，令1=sm0+co0e[万 则2sin0cos0=2-1. f()=- 而，酒季0 再换元，令a=41-5∈[-3,4W2-5 4t-5 2 则 872-201+17 2g,显然，a=45-5,即0=号时取最做。 a+- a 有a2器a,aa6一2g2 ≈0.54 5-2W2 12.【解析】记S=a,+a2+…+a,T,=ak1+ak2++4o :对{an},均满足S,≤T 1 二先满是必要性，a,-0,1均为1时，S=0+1+2++k-1--丛 2 Z=k+(+)+(k+2)++9=00-k)k+9 2 :飞-kg00-kk+9:k2-k-45≤0，解得k≤7 2 2 当k=7,n≤k-1时，令an-aa1=2,n2k时，a。-a1=1 则S2=0+2+4+6+8+10+11=41,T,=12+13+14=39 此时S,>T,,不满足题意，去∴k≤6 0123456789 当k=6时，考虑两个数列。 02468101山121314 得(T6)n=6+7+8+9=30,(S)=0+2+4+6+8+10=30 此时S6≤T6(实际山于后续整休调整，S。<T。)∴kx=6 二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分.第15、16题每题5分，满分18分） 13.B 14.B 15.D 16.C 16.【解析】由石·b=b+b2+…+bn=m:对于①，n=3,b+b2+b=m= 2 3 f(0):C=1个b:f(0):C=3个b:f(2:C=3个b；f(0):C=1个6 共1+3+3+1=8个6，①正确 0 C 1 对于②，九+九+…+b2x={2: C()-C+C+C+C 2k-1:C (0+x)=C9x°+C4x+Cx2+…+Cx24+Cx2 令x=l,22=C94+C4+C4+…+C+1:∴C94+C24+C+…+C=2-1,②错误 选C 2 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）， 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 解0烟为o2C=手·所以1-2nC=号结合snC>0,解得s如C=D 10 所以Sc=，absinC=V1o, 2油金宽思2-号合m>0,所烈n1.互 2bc 4 由、Q b sinA sinB sinC =2R,得2R=a=16 sinA万 ,所以R=8 7 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 解(1)由题意知，(0.030+0.020×2+0.015+2m+m)×10=1,所以m=0.005. 该校高一年级参加下一轮竞赛的人数估计为1000×(0.020+0.005×2)×10=300人. (2)因为x=91,所以x+x2+…+x。=10×91=910. 所以子产=G+写++】9=，所以+后+…+名=83060. 别除其中的96和86这2个分数，剩余8个分数为x,,出，，，均数与标准差分别为，5。， 则剩余8个分数的平均数石=占++5十+丛-910-96-86 91 8 8 方蔻=专+++)-912=专83060-962-86）-912=25. 所以剩余8个分数的平均数为91，方差为25 19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1个题满分6分，第2个题满分8分 解：由EF/平面BCD,EFC平面ACD、平面ACD BCD=CD,结合线面平行的性质定理， 有EF //CD,因为E是AC中点，所以EF为△ACD中位线，所以F为AD中点 因为C为BD中点且直径BD=2,所以∠BCD=90,进而BC=BD=√2 因为过点C的直线AC垂直于⊙O所在的半面，所以AC是四面体A-BCD以△BCD为底面的高， 所以m=北m8wac=名合x5x5小2=号 3 (2)如图，作CH⊥BD于H,联结AH:因为AC⊥平面BCD, 所以CH为AH平面BCD上的投影，由三重线定理 得，AH⊥BD, 所以∠AHC即二面角A-BD-C的平面角： 因为AC⊥平面BCD,CHC平面BCD 所以AC⊥CH,所以tan9=4C=2≥2 =2 CH CHI 于是有B≥arctan2,且当C为BD中点时 B O=arctan2,所以0的最小值为arctan2. 20.(木题满分18分)木题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 解(1)将点E(4,4)代入抛物线「，得16=2p×4,解得p=2, 所以焦点下的坐标为L,0),直线EF的斜率为手引行 4-04 (2)设点P(-1,1)）,圆M的切线方程为y-1=k(x+I),即-y+k+1=0, 枚点M20到直线红-y+k+1=0的距离d=头+丛=1.即8财+6的+-1=0， Vk2+1 设直线P%PB的斜率分别为人，：则名+名=兰k=二 -1 8 把x=0代入-y+k+1=0,得y=k+1, 则5T=k+-k+=k-=属+-4k=6 2P-1VP+8 24 故当1=0时，57取得最小值为5 3)法一：设点Q(-1,n），:y=k(x+)+n,y=k(x+1)+n,显然kk≠0 将1方程与抛物线方程联立，消去x并化简可得：ky2-4y+4k+4n=0, 又C5,),D(,）,则由书达定理可符从=长+加，同理可得从，=长+n k k 4 又4与圆N:(x-m)+y2=1(m>0)相切，则4到例心的距离为1， 则k0+m+=1→(r+2m)k+2n(m+1k+m-1=0, Vk+司 同理有(m2+2m)k+2n(m+1)k+n2-1=0, 则k,k为方程(m2+2m)k2+2n(m+1)k+n2-1=0的两根， 山书达定理可得：太+k= 2n(m+1 n2-1 m(m+2 ,kk3= m(m+2) 则=161+ -2n2(m+1)+n2(m+2)m n2-1 =16+16m.m-2 n2-1 注意到当n=±1时，切线中有一条与x轴平行，合题意，则n2-1≠0. 要使，为定值，m2-2=0,m>0,则m=√2 故存在圆M:(x-V2+y2=1,使得当点N运动时，以，为定值。 法二：设点Q(-1,n),直线垂直于y轴，与抛物线只有一个交点，不符题意， 故可设：4：x=r(y-n)-1,4:x=5(0y-n)-1, 将（方程与抛物线方程联立，消去x并化简可得：y2-4ry+4rn+4=0, 又C(s,),D(s2,2),则由韦达定理可得h2=4rn+4,同理可得以=4n+4, 则1=(4rn+4(4n+4)=16[nr5+n(G+5)+1] 又4与圆N:(x-m)+y2=1(m>0)相切，则4到例心的距离为1， 则m+n+=1,整理得(-)+2(m+)所+m2+2m=0, V+刊 同理有(n2-1)5+2(m+1)m2+m2+2m=0: 则，5为方程(n2-)r2+2(m+1)r+m2+2m=0的两根， 同理行(n2-1)5+2(m+1)m,+m2+2m=0: 则，5为方程(n2-1)r2+2(m+1)m+m2+2m=0的两根， 由书达定理可得：片+5=一 2n(m+1）m(m+2） n2-1 ,53= n2-1 5 则，=(4n+44sn+4到=16[i5+n6+5)+1]=16”imm+2-2m(m+ +16 n2-1 =16+16n2m-2 注意到当n=±1时，切线中有一条与x轴平行，合题意，则n2-1≠0. n2-1 婴使以，为定值，m2-2=0,m>0,则m=V2.故存在圆M:(x-√2+y2=1,使得当点 N运动时，44为定值。 2L.【解折】0(=在(0+∞)严格减，故)是“S函数 5(x)=e严格增，故5(x)不是“S函数” 2)已知{b,}是公差为d(d>0)的等差数列 .ban=b+d.ba2=b+2d,bav3=b +3d 要证g(6)-g(b2)<g(b)-g(b.),即证g(6n+3d)-g(b.+2d)<g(b.+d)-g(b.) 设h(0)=g(1+d)-g(0),1>0,因{b}各项为正，需证h()严格递减 对h(d求导，得(=g(t+d)-g() g(x)是“S函数”，且g(x)在(0，+∞)严格减，1+d>1 g(u+d)<g'()H()=g'(t+d)-g'()<0,h()在(0，+∞)严格减 ∴h(6+2d)<h(b) ∴g(6n+3d)-g(b.+2d)<g(6.+d)-g(b),即g(b-)-g(b+）<g(b)-g(6n) (3)假设y=F(x)不是严格减 F(x)>0的解集为(-o,0) ∴y=F(x)不可能严格增，否则解集中必包含正无穷人∴y=下(x)只能有增有减 ∴3x使得F'(x)=0 y=F(x)严格减 当xe(-o,xo)时，F'(x)>0y=F(x)严格增 当x∈(，+∞)时，F(x)<0,y=F(x)严格减 取x<。,求x=x处切线方程：F(x)>F(x)=0 6 g(x)-F(x)=F(x)(x-x).g(x)=F(x)(x-x)+F(x): -F(+ 令g因)=0得= 构造函数P(x)=g(x)F(x)=F'(x)(x-x)+F()-F(x),P(x)=0 p'(x)=F(s)F(xy=F()严格减 当x>x时，p'(x)=F"(x)F(x)>0,y=p(x)严格增 当x<x时，p(x)=F'()-F(x)<0,y=p(x)严格减 ∴P(x)≥p(x)=0,即g(x)-F(x)20,即g(x)≥F(x)(当x=x时，取等 而g(x)=0,结合F'(x)>0,得y=g(x)严格增 ·当x<x时，F(x)≤g(x)<g(x)=0 与F(x)>0的解集为(-0,0)矛盾：.假设不成立，即y=F(x)严格减 72025学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学 试卷 2025.12 考生注意： 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分. 2、每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息 3.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题所有作答务必填涂在答 题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分， 一填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）考生 应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1.设复数z=2+i(其中i为虚数单位)，则z= 2.设集合A=（-2,2),B=(1,+∞)，则A∩B= 3.函数y=sinx+cosx的值域为 4.若幂函数y=f(x)的图像经过点(5,3)，则该幂函数的表达式为y= 5.设向量a=(-1,-2),方=(-3,4)，则a在i上的数量投影为 6.相关部门在上海市随机调查了10户居民六月份的用电量（单位：kWh),从小到大排列依 次为31、74、78、99、101、107、127、131、208、223，则这10户居民用电量的第75百分 位数为 7.已知(1+2x)°=a+a4x+a2x2++a4ox0，则4= 8.一个底面积为1的正四棱柱的所有顶点都在同一球面上，若该球的表面积为4π，则该正四 棱柱的高为 9.从20名男生和18名女生中选取5人组成一个宣传小组，其中男生和女生都不少于2人的 选法有 种， lx-2,x20 10.设f(x)= 0 若实数为满足<为<为，旷)=f)=f的)，则V当 的最小值为 11.某城市核心区域可看作一个平面，市中心为点O,城市有两个交通枢纽站点A、B,其中 站点A在市中心O的正东方向，距离O点4公里，站点B在市中心O的正北方向，距离O点 徐汇区高三数学本卷共5页第1页 也是4公里.为了动态调整交通信号，相关部门计划在距离中心O点2公里的位置，设置一个 移动数据采集点C,通过监测∠ACB的大小来优化信号.当∠ACB最大时， sin∠ACB= 、(结果精确到0.01) 12.已知数列{a}满足：a=0，,对任意的正整数n均有an-an-1∈{1,2，若存在正整数 k(1≤k≤9)，使得所有数列{a}均满足a+a2+…+ak≤akH+ak2+…+40,则飞的最大值为 二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）海每 题有且只有一个正确选项，考生应在答题卷的相应编号上，将代表正确选项的小方格涂黑。 13.已知x为实数，则“x2是有理数”是“x是有理数的（)条件 7 A.充分非必要B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要 8 69 14.用简单随机抽样的方法抽取某个品种的小麦样本13株，测得麦穗长度 9 16778 (单位：cm),以其整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”绘制茎叶图如右 10 026 图所示.用该样本数据估计此品种小麦麦穗长度平均为().（结果精 11 27 确到0.1cm) A.9.9cm B.9.8cm C.9.7cm D.9.6cm 15.设P为椭圆云+二=1上一动点，M、N分别为圆G:x+3}+y2=1和圆 2516 C2:(x-3)2+y2=4上的动点，则PM+PW不可能为（). A.7.5 B.9.5 C.11.5 D.13.5 16.已知neN,集合R.={求=(：，x2,x,,xbxe0,1,1≤i≤n,ieN(x为n维向 量).若a=(4,4,4,5,a)eB,其中4=11≤i≤%ieN,石=(6,4,4，b)eR,定义a-i=∑44 设满足a·b=m的万的个数为f(m).关于下列两个命题的判断：①当n=3时，则∑f()=8: ®当m=2k,k是正整数时，则登fm例=2叫.说法正确的是（) A.①和②均为真命题 B,①和②均为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 徐汇区高三数学本卷共5页第2页 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤， 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a=4,b±5. 4 1)若cos2C=行，求△M8C的面积： (2)若内角C的对边c=6,求角A的正弦值及△ABC外接圆的半径R, 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 某校高三年级学生参加了一次时政知识竞赛，为了了解 ◆频率/组距 本次竞赛的成绩情况，从所有答卷中随机抽取100份作 0.030 为样本进行统计，将样本的成绩（满分100分，成绩均 0.020 0.015 为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)， 2m m …,[90,100]得到如图所示的频率分布直方图. 405060708090100成绩 (1)求实数m的值：若年级准备选取80分及以上的学生进入下一轮竞赛，己知该校高三年 级有1000名学生，估计该校高三年级参加下-轮竞赛的人数： (2)王老师抽取了10名参加竞赛的学生，他们的分数为：：，0·己知这10个分 数的平均数x=91,标准差5=5，若别除其中的96和86这2个分数，求剩余8个分数的平均 数与方差。 徐汇区高三数学本卷共5贞第3页 19.(本题满分14分)本趣共有2个小题，第1小题满分6分，第2小趣满分8分. 如图，已知BD是⊙O的直径，点C是⊙O上异于B、D的一点.设过点C的直线AC垂直于 ⊙0所在的平面，且AC=BD=2. (1)若C为BD中点，E为线段AC的中点，F为线段AD上一点， 且EF∥平面BCD.求证：F为线段AD中点，并求三棱锥F-BCD E 的体积： (2)记二面角A-BD-C的平面角为日，求0的最小值，并指出其 取得最小值时点C的位置： 20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满 分8分. 己知抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为1. (1)若点E(4,4)在抛物线T上，求EF所在直线的斜率： y↑ (2)若准线1：x=-1,点P为抛物线厂准线l上的一个 动点，过点P作圆M:x2-4x+y2+3=0的两条切线， 切点分别为A、B,若两条切线PA、PB与y轴分别交于 点S、T,求ST的最小值： 第(2)题图 (3)若点F到准线1的距离为2，过抛物线Γ的准线1上一点Q作圆 N:(x-m)2+y2=1(m>0)的两条切线1,2，且l,2分别与Γ交于C(s,),D(s2,t2)两点 和G(S3,4),H(s4,l4)两点。问：是否存在某个圆N,使得当点2运动时，t4为定值？ 若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由. 徐汇区高三数学本卷共5页第4页 21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满 分8分. 已知函数y=∫(x)的定义域为D,若其导函数y=∫'(x)在D上是严格减函数，则称f(x)是 一个“S函数” (1)设f(x)=nx,2(x)=c.分别判断y=(x)y=2(x)是否为“S函数”，并说明理由： (2)已知数列仍}是公差为d(d>0)的等差数列，且{亿，}的各项都为正数，若定义在(0，+∞) 上的函数y=g(x)是“S函数”，求证：g(亿)-g(b2)<g(伯1)-g(色)： (3)已知“S函数”y=F(x)的定义域为R，,不等式F(x)>0的解集为(-∞，0).证明：函数 y=F(x)在R上是严格减函数 徐汇区高三数学本卷共5页第5页