22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第2课时 课件 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

九年级·数学·人教版·全一册册 导学案课堂同步导学 22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式 会利用待定系数法求二次函数的解析式. ◎重点:用待定系数法求二次函数的解析式. ◎难点:用待定系数法求二次函数的解析式. 预习导学 请你回忆:确定一次函数的解析式需要函数图象上几个点的坐标?这几个点需要满足什么条件?请你猜想:确定二次函数的解析式需要几个点的坐标?这几个点需要满足什么条件?这节课,我们将重点研究这个问题. 用待定系数法求二次函数的解析式 请你阅读课本“探究”的内容,总结用待定系数法求二次函数的解析式的一般步骤. 说一说:几个点可以确定二次函数的解析式?这几个点需要满足什么条件? 答:三个点可以确定二次函数的解析式,这三个点需不在同一直线上. 归纳总结　请你根据课本中求二次函数解析式的过程,总结用待定系数法求二次函数解析式的步骤. 答:1.找出不在同一直线上的三个点的坐标;2.将三点坐标代入y=ax2+bx+c中,列出三元一次方程组;3.解出方程组,求得a、b、c的值,得出二次函数解析式. 单击此处编辑母版文本样式 导入新课 情景引入 给我几个点的坐标，我就能求出对应的二次函数解析式，你会吗？ 那有什么难的？不就和求一次函数解析式一样的吗？ 看到下面的对话，你还记得求一次函数解析式的方法吗？ 单击此处编辑母版文本样式 1. 一次函数 y = kx + b (k≠0) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？ 2. 求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 2个 2个 待定系数法 (1) 设：解析式 (2) 代：坐标代入 (3) 解：方程(组) (4) 还原：写出解析式 单击此处编辑母版文本样式 新课讲授 用一般式法求二次函数的解析式 探究归纳 问题 (1) 由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？ 3个 由两点 (连线不与坐标轴垂直) 的坐标，可以确定一次函数的解析式；类似地，由三点 (不在同一条直线上) 的坐标，可以确定二次函数的解析式. 合作探究 已知三点求解析式 1.已知抛物线经过(1,4),(－2,2)和(0,4)三点. (1)求这条抛物线的解析式. (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 单击此处编辑母版文本样式 这种已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ① 设函数解析式为 y = ax2 + bx + c； ② 代入已知的三点的坐标后得到一个三元一次方程组； ③ 解方程组得到 a，b，c 的值； ④ 把待定系数用所求得的值换掉，写出函数解析式. 归纳总结 一般式法求二次函数解析式的方法 单击此处编辑母版文本样式 想一想 确定二次函数的这三点应满足什么条件？ 任意三点不在同一直线上，其中两点的连线可垂直于 y 轴，但不可以垂直于 x 轴. 已知顶点求解析式 2.已知二次函数的图象的顶点是(－1,4),且经过点(1,2),求该二次函数的解析式.(用两种方法) 单击此处编辑母版文本样式 归纳总结 顶点法求二次函数的方法 这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点法. 其步骤是： ① 设函数解析式是 y = a(x - h)2 + k； ② 先代入顶点坐标，得到只含一个参数 a 的解析式； ③ 将另一点的坐标代入解析式求出 a 的值； ④ 将 a 用所求得的值换掉，写出函数解析式. 2.已知二次函数的图象的顶点是(－1,4),且经过点(1,2),求该二次函数的解析式.(用两种方法) 方法归纳交流　求二次函数y=ax2+bx+c的解析式,关键是要求出　 　的值.由已知条件列出　 　,求出　 　的值;求抛物线y=a(x－h)2+k的解析式,只要知道　 　和图象上　 　的坐标即可.  待定系数a、b、c 关于a、b、c的方程组 a、b、c 顶点坐标 异于顶点的任意一点 已知与x轴的交点求解析式 3.已知抛物线与x轴的两个交点为(－8,0)、(2,0),与y轴交于点(0,4),求抛物线的解析式. 单击此处编辑母版文本样式 归纳总结 交点法求二次函数解析式的方法 这种已知抛物线与 x 轴的交点，求解析式的方法叫做交点法. 其一般步骤是： ① 设函数解析式为 y = a(x - x1)(x - x2) (其中 x1，x2 分别是两交点的横坐标)； ② 将抛物线经过的第三点的坐标代入到解析式中，得到关于 a 的一元一次方程； ③ 解方程得出 a 值； ④ 将 a 用所求得的数值换掉，写出函数解析式. 方法归纳交流二次函数的解析式有三种形式,一是一般式　 　,需知道抛物线上的三点(不在一条直线上)即可求得;二是顶点式　 　,需知道抛物线的顶点和异于顶点的另外一点即可求得;三是交点式　 　,需知道抛物线与x轴的交点及异于交点的另外一点即可求得.  y=ax2+bx+c y=a(x－h)2+k y=a(x－x1)(x－x2) 单击此处编辑母版文本样式 练一练：下面是我们用描点法画二次函数的图象时所列表格的一部分： x −3 −2 −1 0 1 2 y 0 1 0 −3 −8 −15 试求出这个二次函数的解析式. 单击此处编辑母版文本样式 ① 选取 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3) 三点，试求出这个二次函数的解析式. 解：设这个二次函数的解析式是 y = ax2 + bx + c，把 (-3，0)，(-1，0)， (0，-3) 代入 y = ax2 + bx + c 得 9a - 3b + c = 0， a - b + c = 0， c = -3. 解得 a = -1， b = -4， c = -3. ∴所求的二次函数的解析式是 y = -x2 - 4x - 3. 待定系数法 步骤: 1.设： 解析式 2.代： 坐标代入 3.解： 方程(组) 4.还原： 写出解析式 练一练 已知一个二次函数有最大值 4，当 x＞5 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＜5 时，y 随 x 的增大而增大，且该函数图象经过点 (2，1)，求该函数的解析式． 解：由题意得该二次函数图象的顶点坐标为 (5，4)， 设解析式为 y = a(x − 5)2 + 4，把 (2，1) 代入，得 1 = 9a + 4， 解得 ∴ 二次函数的解析式为 当题目中有最值、对称轴等条件时，可由此得出顶点坐标，利用顶点式求解析式 即 变式演练　 已知在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(－1,0)、C(0,3)、B(2,－3)三点. (1)求抛物线的解析式. (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标. 变式演练　 抛物线的图象如图所示,其中A为顶点. (1)写出点A,B的坐标. (2)求出抛物线的解析式. 解:(1)观察图象可知,A(2,－4),B(0,4). (2)∵A为顶点,A(2,－4), ∴设抛物线的解析式为y=a(x－2)2－4, 把B(0,4)代入得4a－4=4, 解得a=2, ∴抛物线的解析式为y=2(x－2)2－4. 变式演练　 1.已知二次函数y=ax2+bx+c中的x、y满足下表,求这个二次函数的解析式. x … －2 －1 0 1 2 … y … 4 0 －2 －2 0 … 解:(1)∵抛物线经过点A(－3,0),B(1,0), ∴设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x－1). ∵抛物线经过点C(0,3), ∴3=－3a,解得a=－1, ∴抛物线的解析式为y=－(x+3)(x－1)=－x2－2x+3. ∵y=－x2－2x+3=－(x+1)2+4, ∴抛物线的顶点坐标为(－1,4). 分层作业 1一个二次函数的图象的顶点坐标是(2,4),且过点(0,－4),则这个二次函数的解析式为 ( ) A.y=－2(x+2)2+4 B.y=－2(x－2)2+4 C.y=2(x+2)2－4 D.y=2(x－2)2+4 B 2若抛物线经过(0,1)、(－1,0)、(1,0)三点,则此抛物线的解析式为 ( ) A.y=x2+1 B.y=x2－1 C.y=－x2+1 D.y=－x2－1 C 3已知抛物线的顶点是(－3,2),且经过点(1,－14),求该抛物线的函数解析式. 解:∵抛物线的顶点是(－3,2), ∴可设抛物线的函数解析式为y=a(x+3)2+2. ∵抛物线经过点(1,－14), ∴－14=a(1+3)2+2,解得a=－1, ∴抛物线的函数解析式为y=－(x+3)2+2. 4如图,这是某二次函数的图象,则其解析式为 ( ) A.y=x2－2x+3 B.y=x2－2x－3 C.y=x2+2x+3 D.y=x2+2x－3 B 5求下列二次函数的表达式. (1)已知二次函数的图象的顶点为(2,0),且经过点(－2,4). (2)已知二次函数的图象经过点(3,0),(－2,0),(0,6). (2)由题意,设二次函数的表达式为 y=a(x－3)(x+2), 又∵过点(0,6), ∴当 x=0 时,y=6, ∴6=a(0－3)(0+2), ∴a=－1, ∴二次函数的表达式为 y=－(x－3)(x+2)=－x2+x+6. 6已知二次函数y=ax2+bx+c中的x,y满足下表: x … －1 0 1 2 y … 3.5 1 －0.5 －1 x 3 4 5 … y －0.5 1 3.5 … (1)求这个二次函数的解析式. (2)利用上表,在平面直角坐标系中画出二次函数的图象. (2)函数图象如图所示. 7二次函数的部分图象如图所示,对称轴是直线x=－1. (1)求该二次函数的解析式. (2)求该图象的顶点坐标. (2)∵y=－(x+1)2+4, ∴该图象的顶点坐标为(－1,4). B 9在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线经过点A(3,0)、B(2,－3)、C(0,－3). (1)求该抛物线的函数解析式. (2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点,如果点D的横坐标为－2,试求点E的坐标. 解:(1)设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c. 由题意得9a+3b+c=0,4a+2b+c=－3,c=－3, ∴a=1,b=－2. ∴该抛物线的函数解析式为y=x2－2x－3, (2)由(1)得y=x2－2x－3, ∴该抛物线的对称轴是直线x=1. ∵D与E是抛物线上关于对称轴对称的两点,点D的横坐标为－2, ∴点E的横坐标是4, ∴当x=4时,y=16－8－3=5, ∴E(4,5). 10已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象过点(－1,0),(3,0). (1)求这个二次函数的解析式. (2)求当－2≤x≤2时,y的最大值与最小值的差. (3)若点P(－3,y1),Q(q,y2)在该二次函数的图象上,且y1<y2,请直接写出q的取值范围. (2)∵y=x2－2x－3=(x－1)2－4, ∴当x=1时,y有最小值－4. ∵当x=－2时,y=5;当x=2时,y=－3, ∴当－2≤x≤2时,y的最大值与最小值的差为5－(－4)=9. (3)∵P(－3,y1)在y=x2－2x－3上, ∴y1=12, 令y=12,可得x2－2x－3=12, 解得x=5或x=－3. ∵y=x2－2x－3的图象开口向上,且y1<y2, ∴q的取值范围为q<－3或q>5. END 感谢观看 下节课再会 $