第1讲 圆（5个知识点+八个易错点+40题强化练习）六年级数学寒假专项提升（北师大版）

第1讲 圆 （5个知识点+八个易错点+40题强化练习） 知识回顾 知识点一、圆的认识 1.圆的定义：平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的封闭图形 2.各部分名称： 圆心（o）：确定圆的位置 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小 直径（d）：通过圆心并且两端都在圆上的线段 3.半径与直径的关系： 在同圆或等圆中，d=2r 或 r= 同圆或等圆中，所有半径都相等，所有直径都相等 知识点二、圆的性质 1.对称性：圆是轴对称图形，有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是对称轴 2.特征： 圆上任意一点到圆心的距离都等于半径 圆内最长的线段是直径 圆有无数条半径和直径 知识点三、圆的画法 1.圆规画圆三步法： 定圆心：固定圆规针尖 定半径：调整两脚间距离 旋转一周：画出封闭曲线 2.其他方法：绳子画圆法、实物描画法等 知识点四、圆的周长 1.定义：围成圆的曲线的长度，用字母C表示 2.圆周率（π）： 定义：圆的周长与直径的比值（π=C÷d） 性质：无限不循环小数，通常取3.14 3.计算公式： 已知直径：C=πd 已知半径：C=2πr 半圆周长：C=πr+2r=r(π+2)（注意：不是πr） 知识点五、圆的面积 1.定义：圆所占平面的大小，用字母S表示 2.面积公式推导： 将圆平均分成若干扇形，拼成近似长方形 长方形的长=圆周长的一半（πr），宽=半径（r） 因此：S=πr×r=πr² 3.计算公式： 已知半径：S=πr² 已知直径：S=π()² 半圆面积：S=πr² 圆环面积：S=πR²-πr²=π(R²-r²)（R为外圆半径，r为内圆半径） 易错点剖析 易错点一、半圆周长计算误区： 错误：只计算圆周长的一半（πr） 正确：需加上直径（πr+2r），因为半圆是封闭图形 易错点二、半径与直径关系的条件限制： 错误：直接说"直径是半径的2倍" 正确：必须强调"在同圆或等圆中"，不同圆之间不适用 易错点三、π的取值问题： 错误：所有题目都用3.14计算π 正确：根据题目要求，有时需"保留π"或取不同精度（如3.1416） 易错点四、半径变化对面积的影响： 错误：半径扩大n倍，面积也扩大n倍 正确：面积扩大n²倍（如半径扩大3倍，面积扩大9倍） 易错点五、圆环面积计算： 错误：直接用（R-r）²×π计算 正确：应使用π(R²-r²)，注意是半径平方差 易错点六、圆与正方形组合问题： 在正方形内画最大的圆：圆的直径=正方形边长 在圆内画最大的正方形：正方形对角线=圆的直径 易错点七、单位换算问题： 计算时注意单位统一（如厘米、分米、米） 面积单位是平方单位，周长单位是长度单位 易错点八、实际应用题的审题： 区分"周长"和"面积"概念（如给花坛围栅栏是求周长，给桌面铺玻璃是求面积） 注意"占地面积"通常指底面积，"表面积"在圆柱等立体图形中使用 强化练习 一、选择题 1．在一张长6cm、宽4cm的长方形纸上画一个最大的半圆，半圆的半径是（    ）。 A．4cm B．6cm C．3cm D．2cm 2．以大圆的半径为直径画一小圆，大圆的面积是小圆面积的（    ）倍。 A．2 B．4 C．6 D．8 3．如图，从A地出发到B地，路线①和路线②的长度相比（    ）。 A．路线①长 B．路线②长 C．一样长 D．无法确定 4．汽车车轮的半径是0.3米，滚动10圈，前进（    ）米。（π取3.14） A．18.84 B．2.826 C．28.26 D．9.42 5．下面图形中，轴对称图形有（    ）。 A．①③⑤ B．①②⑤ C．③⑤ D．①⑤ 6．一个半圆的半径r厘米，这个半圆的周长是（    ）厘米。 A．πr B．πr＋2r C．πr＋r D．2πr＋2r 7．一个钟表的分针长8厘米，时针从3时走到4时，分针针尖走过的路程是（    ）厘米。 A．40.192 B．20.096 C．50.24 D．25.12 8．如图所示，把半径为6cm的圆分成若干等份，拼成一个近似的平行四边形，这个平行四边形的底是（    ）cm。 A．6 B．12 C．6π D．π 9．我国古代数学家祖冲之是世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后第7位的人。通常圆周率保留两位小数约是（    ）。 A．3.13 B．3.14 C．3.15 D．3.16 10．一辆表演杂技用的独轮车，车轮的直径是0.4米，要骑过一条长12.56米的钢丝绳，车轮至少要转（    ）。 A．9圈 B．10圈 C．11圈 D．21圈 二、填空题 11．乐乐有一张长10厘米，宽8厘米的长方形纸，如果他在上面画一个最大的圆，这个圆的周长是 平方厘米；如果他在上面画一个最大的半圆。这个半圆的面积是 平方厘米。 12．如图，圆的半径是 cm，长方形的长是 cm，长方形的面积是 cm2。 13．雷锋志愿服务小队的同学为小树穿“防寒衣”。他们用一条19米的草绳在一棵小树的树干上围了30圈，草绳还剩下0.16米。这棵小树的树干直径是( )米。 14．李浩在推导圆的面积公式时，把一个圆分成16等份后，拼成近似的梯形（如图）。如果用C表示圆的周长，r表示圆的半径，那么拼成的梯形的上底可以表示为( )，下底可以表示为( )，高可以表示为( )。因为梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，所以圆的面积＝ 。 15．如图，从甲地到乙地有两条路可走，这两条路的长度相比，A( )B。（填“＞”“＜”或“＝”） 16．丫丫要在一个边长是6厘米的正方形内画最大的圆，圆规两脚间的距离应是 厘米；如果她在长是8厘米，宽是6厘米的长方形中画一个最大的半圆，所画半圆的直径是 厘米，半径是 厘米。 17．在长8cm、宽6cm的长方形中剪下一个最大的圆，这个圆的直径是 cm，周长是 cm，面积是 cm2。 18．如图，长方形的长是( )cm，宽是( )cm。 19．古代数学家用“周三径一”粗略表示圆周率，“径一”指直径1尺，“周三”指周长约( )尺；如果按此计算，半径为2尺的圆，周长约为( )尺。 20．广场有一个直径为8m的圆形喷水池，喷水池周边有一条2m宽的小路，这条小路的面积是( )m2。 三、判断题 21．在我国首先是由魏晋数学家祖冲之得出了较精确的圆周率的值。( ) 22．圆沿直线滚动时，中心点运动的痕迹在一条直线上。( ) 23．“圆，一中同长也”描述的是圆心到圆上的距离一样长。( ) 24．自行车的车轮在地上滚动一周，自行车前进的路程实际上就是车轮外圆的周长。( ) 25．一个半圆形的周长是20.56cm，这个半圆所在的圆的周长是41.12cm。( ) 四、计算题 26．求阴影部分的面积．(单位：cm) (1) (2) 27．求下图阴影部分的周长和面积。 28．如图，求阴影部分的面积． 29．求阴影的周长。 五、解答题 30．杂技演员独轮走钢丝，车轮直径为30厘米，要骑过18.84米长的钢丝，车轮要转多少圈？ 31．一个圆形花坛的直径是10m，它的周围是5m宽的草坪。草坪的占地面积是多少平方米？ 32．垃圾分类有利于改善城乡环境，保障人体健康，维护生态安全。阳光小区为宣传垃圾分类，要在小区宣传栏内张贴宣传海报，设计的版面是由长方形和两个半圆组成（如图），这张海报的面积是多大？物业想给这张海报布置一圈灯带，一共需要多长灯带？ 33．如图，有4根直径都是2米的圆木头，如果用铁丝把它们捆在一起，捆一圈至少需要多长的铁丝？（接头处不计） 34．为了美化小区环境，明珠小区打算在小区中心广场修一个圆形喷泉，喷泉的直径12米，沿喷泉的边修一条宽2米的青花石路，这条青花石路的面积是多少平方米？ 35．下图是小枫家的一扇窗户，上面是一个半圆，下面是一个长方形（长1.6米，宽1.2米）。这扇窗户的面积大约是多少平方米？（结果保留一位小数） 36．如图是一个圆形火锅桌，它的直径是2米，中间放置火锅的部分直径是60厘米，其他部分是由实木板做成的桌面，制作这样一个桌面，至少需要多少平方米的实木板？ 37．神农公园有一个周长是31.4米的圆形草坪，准备在草坪上安装自动旋转喷灌装置，现有射程为20米、10米、5米的三种装置，你认为选哪种比较合适？应安装在哪个位置？ 38．为了更好地提高学生的核心素养，科学老师带领学生去观察树木，探求树木的生长情况。科学老师用一根20米长的绳子测一棵树的树干周长，绳子在树干上绕了6圈，还剩余1.16米。你能求出这棵树的树干的半径是多少米吗？ 39．公园中有一个半圆形的花坛（如右图所示），沿着花坛的一周围上篱笆，张红计算后认为篱笆长25.7米，半圆形花坛的占地面积是39.25平方米，你认为张红计算的结果正确吗？请写出你的思考过程。 40．打造低碳风尚，提倡绿色出行，共享单车成为越来越多人的出行选择。周末乐乐骑共享单车外出郊游，骑行40分，车轮平均每分旋转80周，车轮的半径是35厘米。乐乐骑行的路程是多少米？ 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 圆 （5个知识点+八个易错点+40题强化练习） 知识回顾 知识点一、圆的认识 1.圆的定义：平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的封闭图形 2.各部分名称： 圆心（o）：确定圆的位置 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小 直径（d）：通过圆心并且两端都在圆上的线段 3.半径与直径的关系： 在同圆或等圆中，d=2r 或 r= 同圆或等圆中，所有半径都相等，所有直径都相等 知识点二、圆的性质 1.对称性：圆是轴对称图形，有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是对称轴 2.特征： 圆上任意一点到圆心的距离都等于半径 圆内最长的线段是直径 圆有无数条半径和直径 知识点三、圆的画法 1.圆规画圆三步法： 定圆心：固定圆规针尖 定半径：调整两脚间距离 旋转一周：画出封闭曲线 2.其他方法：绳子画圆法、实物描画法等 知识点四、圆的周长 1.定义：围成圆的曲线的长度，用字母C表示 2.圆周率（π）： 定义：圆的周长与直径的比值（π=C÷d） 性质：无限不循环小数，通常取3.14 3.计算公式： 已知直径：C=πd 已知半径：C=2πr 半圆周长：C=πr+2r=r(π+2)（注意：不是πr） 知识点五、圆的面积 1.定义：圆所占平面的大小，用字母S表示 2.面积公式推导： 将圆平均分成若干扇形，拼成近似长方形 长方形的长=圆周长的一半（πr），宽=半径（r） 因此：S=πr×r=πr² 3.计算公式： 已知半径：S=πr² 已知直径：S=π()² 半圆面积：S=πr² 圆环面积：S=πR²-πr²=π(R²-r²)（R为外圆半径，r为内圆半径） 易错点剖析 易错点一、半圆周长计算误区： 错误：只计算圆周长的一半（πr） 正确：需加上直径（πr+2r），因为半圆是封闭图形 易错点二、半径与直径关系的条件限制： 错误：直接说"直径是半径的2倍" 正确：必须强调"在同圆或等圆中"，不同圆之间不适用 易错点三、π的取值问题： 错误：所有题目都用3.14计算π 正确：根据题目要求，有时需"保留π"或取不同精度（如3.1416） 易错点四、半径变化对面积的影响： 错误：半径扩大n倍，面积也扩大n倍 正确：面积扩大n²倍（如半径扩大3倍，面积扩大9倍） 易错点五、圆环面积计算： 错误：直接用（R-r）²×π计算 正确：应使用π(R²-r²)，注意是半径平方差 易错点六、圆与正方形组合问题： 在正方形内画最大的圆：圆的直径=正方形边长 在圆内画最大的正方形：正方形对角线=圆的直径 易错点七、单位换算问题： 计算时注意单位统一（如厘米、分米、米） 面积单位是平方单位，周长单位是长度单位 易错点八、实际应用题的审题： 区分"周长"和"面积"概念（如给花坛围栅栏是求周长，给桌面铺玻璃是求面积） 注意"占地面积"通常指底面积，"表面积"在圆柱等立体图形中使用 强化练习 一、选择题 1．在一张长6cm、宽4cm的长方形纸上画一个最大的半圆，半圆的半径是（    ）。 A．4cm B．6cm C．3cm D．2cm 【答案】C 【分析】在一张长6cm、宽4cm的长方形纸上画一个最大的半圆，半圆的半径＝这个长方形的长÷2，据此分析。 【详解】6÷2＝3（cm） 半圆的半径是3cm。 故答案为：C 2．以大圆的半径为直径画一小圆，大圆的面积是小圆面积的（    ）倍。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】假设大圆半径＝4，则小圆半径＝4÷2，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，分别计算大圆和小圆面积，用大圆面积÷小圆面积即可。 【详解】4÷2＝2 （3.14×42）÷（3.14×22） ＝42÷22 ＝16÷4 ＝4 大圆的面积是小圆面积的4倍。 故答案为：B 3．如图，从A地出发到B地，路线①和路线②的长度相比（    ）。 A．路线①长 B．路线②长 C．一样长 D．无法确定 【答案】C 【分析】 如图，路线①的长度是大圆周长的一半，路线②是3个圆周长的一半的和，根据圆周长的一半＝圆周率×直径÷2，分别用字母表示出路线①和路线②的长度，比较即可。 【详解】线路①：π×（d1＋d2＋d3）÷2 线路②：π×d1÷2＋π×d2÷2＋π×d3÷2＝π×（d1＋d2＋d3）÷2 路线①和路线②的长度相比一样长。 故答案为：C 4．汽车车轮的半径是0.3米，滚动10圈，前进（    ）米。（π取3.14） A．18.84 B．2.826 C．28.26 D．9.42 【答案】A 【分析】车轮滚动10圈，前进了10个周长的距离，根据C＝2πr计算解答。 【详解】2×3.14×0.3×10 ＝6.28×0.3×10 ＝1.884×10 ＝18.84（米） 汽车车轮的半径是0.3米，滚动10圈，前进18.84米。 故答案为：A 5．下面图形中，轴对称图形有（    ）。 A．①③⑤ B．①②⑤ C．③⑤ D．①⑤ 【答案】D 【分析】轴对称图形是指一个图形关于某条直线对称，即如果沿该直线折叠，图形的两部分可以完全重合，据此逐个分析图形是否是轴对称图形。 【详解】如下图所示，根据轴对称图形的概念，①⑤是轴对称图形（①有两条对称轴、⑤有无数条对称轴）。 故答案为：D 6．一个半圆的半径r厘米，这个半圆的周长是（    ）厘米。 A．πr B．πr＋2r C．πr＋r D．2πr＋2r 【答案】B 【分析】根据圆周长的一半加上一条直径等于半圆的周长，列式为：2πr÷2＋2r，再进行计算即可得出答案。 【详解】2πr÷2＋2r＝πr＋2r 据分析可知，一个半圆的半径r厘米，这个半圆的周长是（πr＋2r）厘米。 故答案为：B 7．一个钟表的分针长8厘米，时针从3时走到4时，分针针尖走过的路程是（    ）厘米。 A．40.192 B．20.096 C．50.24 D．25.12 【答案】C 【分析】时针从3时走到4时，分针走了1圈，根据圆周长公式：C＝2πr，代入数据解答。 【详解】3.14×2×8＝50.24（厘米） 分针针尖走过的路程是50.24厘米。 故答案为：C 8．如图所示，把半径为6cm的圆分成若干等份，拼成一个近似的平行四边形，这个平行四边形的底是（    ）cm。 A．6 B．12 C．6π D．π 【答案】C 【分析】据题意，把圆分成若干等份，剪拼成一个近似的平行四边形，那么平行四边形的底等于圆周长的一半，平行四边形高等于圆的半径； 根据圆的周长公式C＝2πr，求出圆的周长，再除以2，即是平行四边形的底。 【详解】2×π×6÷2＝6π（cm） 这个平行四边形的底是6πcm。 故答案为：C 9．我国古代数学家祖冲之是世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后第7位的人。通常圆周率保留两位小数约是（    ）。 A．3.13 B．3.14 C．3.15 D．3.16 【答案】B 【分析】圆的周长除以直径的商是个固定的数，我们把它叫作圆周率，用希腊字母π表示，约为3.1415926……，保留两位小数需要看第三位小数进行四舍五入。 【详解】因为圆周率约为3.1415926……，第三位小数是1，小于5应舍去。所以保留两位小数约是3.14。 故答案为：B 10．一辆表演杂技用的独轮车，车轮的直径是0.4米，要骑过一条长12.56米的钢丝绳，车轮至少要转（    ）。 A．9圈 B．10圈 C．11圈 D．21圈 【答案】B 【分析】用钢丝绳的长度除以车轮滚过一周的长度（周长）即求出车轮要转的圈数，据此解答。 【详解】C＝πd＝π×0.4＝3.14×0.4＝1.256（米） 12.56÷1.256＝10（圈） 车轮至少要转10圈。 故答案为：B 二、填空题 11．乐乐有一张长10厘米，宽8厘米的长方形纸，如果他在上面画一个最大的圆，这个圆的周长是 平方厘米；如果他在上面画一个最大的半圆。这个半圆的面积是 平方厘米。 【答案】 25.12 39.25 【分析】在长方形上画最大的圆时，圆的直径等于长方形的宽（8厘米），从而计算周长，对于最大的圆：长方形的宽是8厘米，因此圆的直径是8厘米。圆的周长公式为 ，取，计算周长；半圆面积公式为 ，对于最大的半圆，需要比较以长边为直径和以宽边为直径的半圆面积，其中以长边为直径（10厘米）的半圆面积更大，因为半径5厘米小于宽8厘米，可以容纳，且面积计算值更大。 【详解】（厘米） 所以圆的周长是25.12厘米。 以宽边为直径（8厘米），半径是4厘米，计算半圆面积： （平方厘米） 以长边为直径（10厘米），半径是5厘米，计算半圆面积： （平方厘米） 比较两者，39.25＞25.12，因此最大半圆是以长边为直径，面积是39.25平方厘米。 因此，乐乐有一张长10厘米，宽8厘米的长方形纸，如果他在上面画一个最大的圆，这个圆的周长是25.12平方厘米；如果他在上面画一个最大的半圆。这个半圆的面积是39.25平方厘米。 12．如图，圆的半径是 cm，长方形的长是 cm，长方形的面积是 cm2。 【答案】 4 20 160 【分析】看图可知，圆的直径是8cm，直径÷2＝半径，直径×2＋半径＝长方形的长，圆的直径＝长方形的宽，根据长方形面积＝长×宽，即可求出长方形的面积。 【详解】8÷2＝4（cm） 8×2＋4 ＝16＋4 ＝20（cm） 20×8＝160（cm2） 圆的半径是4cm，长方形的长是20cm，长方形的面积是160cm2。 13．雷锋志愿服务小队的同学为小树穿“防寒衣”。他们用一条19米的草绳在一棵小树的树干上围了30圈，草绳还剩下0.16米。这棵小树的树干直径是( )米。 【答案】 0.2 【分析】首先用草绳的长度减去剩下的0.16米，求出树干周长的30倍，进而求出树干的周长，然后根据圆的周长公式：，那么，据此可以求出这棵小树的树干直径。 【详解】 （米） 即这棵小树的树干直径是0.2米。 14．李浩在推导圆的面积公式时，把一个圆分成16等份后，拼成近似的梯形（如图）。如果用C表示圆的周长，r表示圆的半径，那么拼成的梯形的上底可以表示为( )，下底可以表示为( )，高可以表示为( )。因为梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，所以圆的面积＝ 。 【答案】 C C 2r πr2 【分析】根据题意，把圆分成16等份后，拼成近似的梯形，两个图形的面积相等。从图中可知，圆的周长平均分成了16等份，拼成梯形的上底占3份，下底占5份，一共占8份，可得出梯形的上、下底之和相当于圆周长的一半即πr；梯形的高相当于半径的2倍即2r；据此把含有字母的式子代入梯形的面积公式中，推导出圆的面积公式。 【详解】梯形的面积： （C＋C）×2r÷2 ＝C×2r÷2 ＝C×r ＝×2πr×r ＝πr2 所以，圆的面积＝πr2。 填空如下： 如果用C表示圆的周长，r表示圆的半径，那么拼成的梯形的上底可以表示为（C），下底可以表示为（C），高可以表示为（2r）。因为梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，所以圆的面积＝πr2。 15．如图，从甲地到乙地有两条路可走，这两条路的长度相比，A( )B。（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＝ 【分析】假设甲乙两地的距离为400米，即大半圆直径为400米，小半圆直径为400÷2＝200米； 路线A是一个大半圆的弧长，根据圆的周长公式C＝πd计算出圆的周长，再除以2即可计算出路线A的长度； 路线B由两个小半圆的弧长组成，即可组成一个圆，根据圆的周长公式C＝πd计算出圆的周长，即为路线B的长度。 最后将两条路的长度作比较。 【详解】假设甲乙两地的路线为400米。 3.14×400÷2 ＝1256÷2 ＝628（米） 3.14×（400÷2） ＝3.14×200 ＝628（米） 628＝628 所以这两条路的长度相比，A＝B。 16．丫丫要在一个边长是6厘米的正方形内画最大的圆，圆规两脚间的距离应是 厘米；如果她在长是8厘米，宽是6厘米的长方形中画一个最大的半圆，所画半圆的直径是 厘米，半径是 厘米。 【答案】 3 8 4 【分析】在一个正方形内画最大的圆，则这个圆的直径等于正方形的边长，根据圆的半径＝直径÷2，求出这个圆的半径，也就是圆规两脚间的距离； 如果在长是8厘米，宽是6厘米的长方形中画一个最大的半圆，因为8÷2＝4厘米，4＜6，所以最大半圆的直径等于长方形的长，进而求出这个半圆的半径。 【详解】6÷2＝3（厘米） 8÷2＝4（厘米） 丫丫要在一个边长是6厘米的正方形内画最大的圆，圆规两脚间的距离应是3厘米；如果她在长是8厘米，宽是6厘米的长方形中画一个最大的半圆，所画半圆的直径是8厘米，半径是4厘米。 17．在长8cm、宽6cm的长方形中剪下一个最大的圆，这个圆的直径是 cm，周长是 cm，面积是 cm2。 【答案】 6 18.84 28.26 【分析】长方形中剪下一个最大的圆，圆的直径＝长方形的宽，圆的周长＝圆周率×直径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，据此列式计算。 【详解】3.14×6＝18.84（cm） 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 这个圆的直径是6cm，周长是18.84cm，面积是28.26cm2。 18．如图，长方形的长是( )cm，宽是( )cm。 【答案】 15 10 【分析】观察图形可知，圆的半径是5cm，长方形的长等于圆半径的3倍，长方形的宽等于圆半径的2倍，据此求出长方形的长和宽。 【详解】5×3＝15（cm） 5×2＝10（cm） 长方形的长是（15）cm，宽是（10）cm。 19．古代数学家用“周三径一”粗略表示圆周率，“径一”指直径1尺，“周三”指周长约( )尺；如果按此计算，半径为2尺的圆，周长约为( )尺。 【答案】 3 12 【分析】古代数学家用“周三径一”，即直径为1，则周长是3；根据圆的周长＝直径×3，列式计算即可。 【详解】2×2×3＝12（尺） “径一”指直径1尺，“周三”指周长约3尺；如果按此计算，半径为2尺的圆，周长约为12尺。 20．广场有一个直径为8m的圆形喷水池，喷水池周边有一条2m宽的小路，这条小路的面积是( )m2。 【答案】62.8 【分析】求小路的面积，也就是求环形的面积，根据环形面积＝×（－），把数据代入公式进行解答。 【详解】8÷2＝4（m） （8＋2＋2）÷2 ＝12÷2 ＝6（m） 3.14×（－） ＝3.14×（36－16） ＝3.14×20 ＝62.8（） 所以这条小路的面积是62.8。 三、判断题 21．在我国首先是由魏晋数学家祖冲之得出了较精确的圆周率的值。( ) 【答案】× 【分析】圆周率是圆的周长除以直径的商，用字母π表示，它是一个无限不循环小数，圆周率约等于3.14。在我国，首先是由魏晋时期杰出的数学家刘徽得出了较精确的圆周率的值，祖冲之在刘徽的基础上，进一步改进了“割圆术”，将圆分割成正12288边形，计算出圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间，这是世界上第一次将圆周率计算到小数点后七位。据此解答即可。 【详解】在我国首先是由魏晋时期杰出的数学家刘徽得出了较精确的圆周率的值，所以原题说法错误。 故答案为：× 22．圆沿直线滚动时，中心点运动的痕迹在一条直线上。( ) 【答案】√ 【分析】由于圆心到圆上任意一点的距离都相等，所以圆沿一条直线滚动时，圆心也在一条直线上运动，据此解答。 【详解】由分析得： 圆沿一条直线滚动时，圆心也在一条直线上运动，即中心点运动的痕迹在一条直线上，所以本题说法正确。 故答案为：√ 23．“圆，一中同长也”描述的是圆心到圆上的距离一样长。( ) 【答案】√ 【分析】“圆，一中同长也”是我国古代对圆的定义。其中“一中”指的是一个中心，也就是圆心。“同长”指的是从这个中心到圆上各个点的距离都相等，这个距离就是圆的半径。 从圆的基本性质来看，圆上任意一点到圆心的距离都等于半径。 【详解】根据圆的定义和性质可知，“圆，一中同长也”描述的是圆心到圆上任意一点的距离（即半径）一样长。 故答案为：√ 24．自行车的车轮在地上滚动一周，自行车前进的路程实际上就是车轮外圆的周长。( ) 【答案】√ 【分析】测量自行车的车轮周长可采用化曲为直的方法，即车轮滚动一周，所行的路程就是这个车轮的周长。据此作答。 【详解】自行车的车轮在地上滚动一周，自行车前进的路程实际上就是车轮外圆的周长。原题干说法正确。 故答案为：√ 25．一个半圆形的周长是20.56cm，这个半圆所在的圆的周长是41.12cm。( ) 【答案】× 【分析】设这个半圆的直径为d，则根据半圆的计算方法可得：3.14d÷2＋d＝20.56，由此求出d的值，再利用圆的周长＝πd即可计算。 【详解】解：设这个半圆的直径为d，则可得： 3.14d÷2＋d＝20.56 1.57d＋d＝20.56 2.57d＝20.56 2.57d÷2.57＝20.56÷2.57 d＝8 整圆的周长是：3.14×8＝25.12（cm） 所以整个圆的周长是25.12cm，原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题考查了半圆＝πd÷2＋d与圆的周长＝πd的计算应用，重点是理解：半圆的周长等于圆周长的一半加直径。 四、计算题 26．求阴影部分的面积．(单位：cm) (1) (2) 【答案】(1) 6×2＝12(cm) 6÷2＝3(cm) 12×6－3.14×32×2 ＝72－28.26×2 ＝72－56.52 ＝15.48(cm2) (2) 12×2＝24(cm) 24×12－3.14×122÷2 ＝288－226.08 ＝61.92(cm2) 【详解】略 27．求下图阴影部分的周长和面积。 【答案】周长是12.56cm；面积是3.44cm2 【分析】4个的圆镶嵌在一个正方形中，可以判断4个圆的大小是一样的，圆的直径是4cm，半径是（4÷2）cm，因此阴影部分周长等于圆的周长，圆的周长C＝πd，把数据代入计算即可。空白部分也是一个半径是（4÷2）cm的圆，用正方形面积减去空白部分面积即是阴影部分面积，正方形面积S＝a2，圆的面积S＝πr2，把数据代入计算即可。 【详解】3.14×4＝12.56（cm） 2÷2＝2（cm） 4×4＝16（cm2） 2÷2＝2（cm） 3.14×22 ＝12.56（cm2） 16－12.56＝3.44（cm2） 28．如图，求阴影部分的面积． 【答案】3.14×122-3.14×82=251.2（平方厘米） 【解析】略 29．求阴影的周长。 【答案】38.84米 【分析】根据周长的意义可知，阴影部分的周长＝长方形的长×2＋直径是6米的圆的周长；据此解答。 【详解】10×2＋3.14×6 ＝20＋18.84 ＝38.84（米） 五、解答题 30．杂技演员独轮走钢丝，车轮直径为30厘米，要骑过18.84米长的钢丝，车轮要转多少圈？ 【答案】20圈 【分析】根据1米＝100厘米，统一单位。圆的周长＝圆周率×直径，据此计算出车轮周长，钢丝长度÷车轮周长＝车轮要转的圈数，据此列式解答。 【详解】18.84米＝1884厘米 1884÷（3.14×30） ＝1884÷94.2 ＝20（圈） 答：车轮要转20圈。 31．一个圆形花坛的直径是10m，它的周围是5m宽的草坪。草坪的占地面积是多少平方米？ 【答案】235.5平方米 【分析】根据圆环的面积公式：，先求出花坛以及草坪的半径，代入公式即可求解。 【详解】10÷2＝5（米） 3.14×[（5＋5）2－52] ＝3.14×[102－52] ＝3.14×[100－25] ＝3.14×75 ＝235.5（平方米） 答：草坪的占地面积是235.5平方米。 32．垃圾分类有利于改善城乡环境，保障人体健康，维护生态安全。阳光小区为宣传垃圾分类，要在小区宣传栏内张贴宣传海报，设计的版面是由长方形和两个半圆组成（如图），这张海报的面积是多大？物业想给这张海报布置一圈灯带，一共需要多长灯带？ 【答案】7626平方厘米；348.4厘米 【分析】海报的面积＝长方形的面积＋两个半圆的面积，两个半圆可以拼接成一个直径是60厘米的圆，根据圆的面积＝。长方形的长是80厘米，宽是60厘米，长方形的面积＝长×宽得出长方形的面积，最后相加即可； 灯带的长度＝长方形的两个长＋整个圆的周长，根据圆的周长＝πd得出圆的周长再加上两个长即可。 【详解】60÷2＝30（厘米） 3.14×302 ＝3.14×900 ＝2826（平方厘米） 60×80＝4800（平方厘米） 2826＋4800＝7626（平方厘米） 3.14×60＋80×2 ＝188.4＋160 ＝348.4（厘米） 答：这张海报的面积是7626平方厘米。一共需要348.4厘米。 33．如图，有4根直径都是2米的圆木头，如果用铁丝把它们捆在一起，捆一圈至少需要多长的铁丝？（接头处不计） 【答案】14.28米 【分析】由题意可得，用铁丝把4根直径都是2米的圆木头捆在一起，要求捆一圈需要的铁丝长度，就是求一个圆的周长加上4条直径长度，如下图，即可解答。 【详解】根据分析可得， 3.14×2＋2×4 ＝6.28＋8 ＝14.28（米） 答：捆一圈至少需要14.28米的铁丝。 34．为了美化小区环境，明珠小区打算在小区中心广场修一个圆形喷泉，喷泉的直径12米，沿喷泉的边修一条宽2米的青花石路，这条青花石路的面积是多少平方米？ 【答案】87.92平方米 【分析】求这条清华石路的面积，就是求圆环的面积，用直径12除以2，求出圆形喷泉的半径，用圆形喷泉的半径加上2，求出大圆半径；根据圆环的面积公式：面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），代入数据，即可解答。 【详解】3.14×[（12÷2＋2）2－（12÷2）2] ＝3.14×[（6＋2）2－62] ＝3.14×[82－36] ＝3.14×[64－36] ＝3.14×28 ＝87.92（平方米） 答：这条清华石路的面积是87.92平方米。 35．下图是小枫家的一扇窗户，上面是一个半圆，下面是一个长方形（长1.6米，宽1.2米）。这扇窗户的面积大约是多少平方米？（结果保留一位小数） 【答案】2.5平方米 【分析】由图可知：这个窗户由一个长方形和一个半圆组成，先根据长×宽求出长方形的面积。半圆的直径即长方形的宽是1.2米，半圆的半径则为1.2÷2＝0.6米，再根据半圆的面积＝求出半圆的面积，最后再把长方形的面积加上半圆的面积即可。 【详解】1.2÷2＝0.6（米） 1.2×1.6＋ ＝1.92＋1.57×0.36 ＝1.92＋0.5652 ＝2.4852 ≈2.5（平方米） 答：这扇窗户的面积大约是2.5平方米。 36．如图是一个圆形火锅桌，它的直径是2米，中间放置火锅的部分直径是60厘米，其他部分是由实木板做成的桌面，制作这样一个桌面，至少需要多少平方米的实木板？ 【答案】2.8574平方米 【分析】桌面剩下的面积实际上是一个环形，根据环形面积＝外圆面积－内圆面积计算即可解答。 【详解】60厘米＝0.6米 2÷2＝1（米） 0.6÷2＝0.3（米） 3.14×－3.14× ＝3.14×1－3.14×0.09 ＝3.14×（1－0.09） ＝3.14×0.91 ＝2.8574（平方米） 答：至少需要2.8574平方米的实木板。 37．神农公园有一个周长是31.4米的圆形草坪，准备在草坪上安装自动旋转喷灌装置，现有射程为20米、10米、5米的三种装置，你认为选哪种比较合适？应安装在哪个位置？ 【答案】选射程为5米的装置，安装在圆心位置 【分析】自动旋转喷灌装置旋转过程喷出的水形成一个圆形，若安装在草坪中央，那么能够将草坪全部喷灌到。神农公园的草坪周长已知，根据C＝2πr，求出半径，再用半径与喷灌设备的射程比较，射程最大程度接近半径即为可选的设备，据此解答。 【详解】 （米） 因为草坪半径是5米，所以选择射程是5米的喷灌设备即可，安装在圆形草坪的圆心处。 答：选择射程是5米的喷灌设备合适，安装在圆形草坪的圆心处即可。 38．为了更好地提高学生的核心素养，科学老师带领学生去观察树木，探求树木的生长情况。科学老师用一根20米长的绳子测一棵树的树干周长，绳子在树干上绕了6圈，还剩余1.16米。你能求出这棵树的树干的半径是多少米吗？ 【答案】0.5米 【分析】先算出绕树干6圈所用绳子的长度，然后除以6，就可以得到树干1圈的长度，也就是树干的周长，再根据r＝C÷π÷2，代入数据计算，就可以求出这棵树的树干的半径，据此解答。 【详解】（20－1.16）÷6 ＝18.84÷6 ＝3.14（米） 3.14÷3.14÷2＝0.5（米） 答：这棵树的树干的半径是0.5米。 39．公园中有一个半圆形的花坛（如右图所示），沿着花坛的一周围上篱笆，张红计算后认为篱笆长25.7米，半圆形花坛的占地面积是39.25平方米，你认为张红计算的结果正确吗？请写出你的思考过程。 【答案】正确 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，求出直径是10米的圆的周长，再除以2，求出圆的周长的一半，再加上直径的长度，即可求出这个半圆形花坛的周长，也就是用篱笆的长度，再进行比较即可； 根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出圆的面积，再除以2，即可求出半圆形花坛的面积，再进行比较即可。 【详解】3.14×10÷2＋10 ＝31.4÷2＋10 ＝15.7＋10 ＝25.7（米） 25.7米＝25.7米，篱笆长度的计算结果正确。 3.14×（10÷2）2÷2 ＝3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方米） 39.25平方米＝39.25平方米，面积计算结果正确。 张红的计算结果对正确。 答：张红的计算结果正确。 40．打造低碳风尚，提倡绿色出行，共享单车成为越来越多人的出行选择。周末乐乐骑共享单车外出郊游，骑行40分，车轮平均每分旋转80周，车轮的半径是35厘米。乐乐骑行的路程是多少米？ 【答案】7033.6米 【分析】根据公式：C＝2πr，先求出车轮的周长，然后用车轮的周长乘车轮每分钟旋转的周数再乘骑行的时间，即可计算出骑行的路程。 【详解】35厘米＝0.35米 （米） （米） 答：乐乐骑行的路程是7033.6米。 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $