累乘法在数列中的应用 专题训练-2026届高三数学一轮复习

专题训练 累乘法在数列中的应用（解析版) 一、单选题 1．若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 【答案】D 【知识点】累乘法求数列通项 【分析】由已知条件变形可得，然后累乘法可得，即可求出. 【详解】由，得， ， . 故选：D. 2.已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【知识点】累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项、由递推关系式求通项公式 【分析】根据题意，利用与的关系，推得，结合累乘法，即可求得的值，得到答案. 【详解】数列中，满足，当时，可得， 两式相减，可得，即，所以， 又由，则. 故选：B. 3．在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】累乘法求数列通项 【分析】根据所给数列递推式，利用累乘法（迭代法）即可求得数列通项. 【详解】因，则 ， 当时，符合题意，故数列的通项公式为. 故选：C. 4．已知数列满足，，则的前6项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】累乘法求数列通项、裂项相消法求和 【分析】首先，利用递推求出的通项公式，再根据裂项相消法即可求出结果. 【详解】由， 当时， ， 显然，对于时也成立， 所以， 则的前6项和为. 故选：C. 5．设数列的前项和为，且，则满足时，的最小值为（    ） A．49 B．50 C．99 D．100 【答案】D 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、由递推关系式求通项公式 【分析】根据的关系求出的表达式，进一步解不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 当时，，所以， 即，此时 ； 也满足该式， 故， 若，解得，故所求为100. 故选：D. 6．已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用an与sn关系求通项或项、累乘法求数列通项 【分析】先应用得出，再应用累乘法得出通项公式，代入即可求值. 【详解】由题得，即， 所以， 将上面个式子两端分别相乘， 可得， 即， 所以． 故选：B. 7．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列，或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64，……是一阶等比数列，则该数列的第10项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】累乘法求数列通项、等比数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、数列新定义 【分析】根据题意，为等比数列，求得，利用累乘法可求得，进而求得答案． 【详解】设数列为，且为一阶等比数列， 设，所以为等比数列，其中，，公比， ， 则，， . 故选：D. 8．已知正项数列的前项和为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、累乘法求数列通项 【分析】由已知等式变形为，利用累乘法求出数列的通项公式，即可得出的值. 【详解】因为正项数列的前项和为，，且， 可得，则， 所以，，，，，， 上述等式相乘得， 则， 故当且时，，且满足， 对任意的，，故. 故选：A. 二、多选题 9．已知数列满足，（且），则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】累乘法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】对题干已知条件多写出一个等式，推出，然后用累乘法求数列通项. 【详解】，， 当时，．A选项正确， 当时，， 两式相减得，即， 即，B选项错误， ，，…，， 累乘得，C选项错误， ．又符合上式，故，D选项正确. 故选：AD 10．已知数列满足，，的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】累乘法求数列通项、错位相减法求和 【分析】累乘法可计算出数列的通项公式，再使用错位相减法计算出即可得. 【详解】，则、、、， 累乘得：， 又，故，故B正确； 则，故A正确； ， 则， 有 ， 即，故D错误； ，故C正确. 故选：ABC. 11．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，设它的第n项，若序列的所有项都是2，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】求等差数列前n项和、数列新定义、累乘法求数列通项 【分析】设，根据累乘法求出，进而求出即可． 【详解】设， 序列的所有项都是2， ，即， ， ， ，解得：， ，，， ，， 故选：BC． 三、填空题 12．若数列满足，，则 ． 【答案】/ 【知识点】由递推关系式求通项公式、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】利用累乘法求得数列通项公式，可得答案. 【详解】由，则， 所以， 显然，满足上式，故. 故答案为：. 13．已知数列 满足 ，则 的通项公式为 【答案】 【知识点】累乘法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】通过递推公式得到相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式. 【详解】已知，将换为，可得， 那么（）. 利用累乘法求（）， 由（）可得： 观察发现，约分后可得（）. 当时，，与已知相符. 所以，. 故答案为：，. 14．已知数列中，，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式 【分析】根据递推公式，利用累乘法，结合已知条件，求解即可. 【详解】由题可知：，当时，， ， 经检验，当时也符合，故. 故答案为：. 四、解答题 15．已知数列的首项，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】构造法求数列通项、累乘法求数列通项、裂项相消法求和、由递推关系式求通项公式 【分析】（1）解法一：利用累乘法求解； 解法二：利用构造法求解； （2）利用裂项相消法求出，进而可得答案． 【详解】（1）解法一：累乘法 依题意：， 当时，； 当时，符合，故. 解法二：构造法 依题意：，则数列为常数数列， 则. （2）， 故， 由题意，， 故满足条件的最大整数的值为8. 16．已知数列 的前n项和为 ，且满足 . (1)求数列 的通项公式； (2)已知函数 ，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项、导数的运算法则、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）将代入等式得到，然后利用累乘法求出，进而得到数列的通项公式. （2）先求出的表达式，然后求导，利用裂项相消法求出结果即可. 【详解】（1）因为，， 所以当时，，化简得， 所以，利用累乘法，， 将代入得. 所以当时，. 当时，符合上式，所以数列的通项公式为. （2）因为，求导得 . 所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题训练 累乘法在数列中的应用（学生版) 一、单选题 1．若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 2.已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 3．在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，，则的前6项和为（   ） A． B． C． D． 5．设数列的前项和为，且，则满足时，的最小值为（    ） A．49 B．50 C．99 D．100 6．已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 7．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列，或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64，……是一阶等比数列，则该数列的第10项是（   ） A． B． C． D． 8．已知正项数列的前项和为，，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知数列满足，（且），则（   ） A． B． C． D． 10．已知数列满足，，的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 11．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，设它的第n项，若序列的所有项都是2，且，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．若数列满足，，则 ． 13．已知数列 满足 ，则 的通项公式为 14．已知数列中，，，则数列的通项公式为 . 四、解答题 15．已知数列的首项，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数的值. 16．已知数列 的前n项和为 ，且满足 . (1)求数列 的通项公式； (2)已知函数 ，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $