精品解析：江西省南昌市立德朝阳中学2025-2026学年八年级上学期期中形成性测试数学试题

2025-2026学年第一学期期中形成性测试 八年级（初二）数学试卷 说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点P在∠ABC的平分线上，PD⊥BC于点D，若PD=4，则P到BA的距离为（　　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，是的角平分线，若P、Q分别是和边上的动点，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 正方形和正方形的边长分别为，用含的代数式表示阴影部分的面积___________；（要化简哟） 8. 已知n是正整数，且，则 ___________． 9. 如图，点D是边上的中点，将沿过点D的直线折叠，使点A落在边上点F处，如果，则_____． 10. 如图，在中，已知，根据图中的作图痕迹，的度数为___． 11. 如图，C为线段上一动点（不与 A，B两点重合），在同侧分别作等边三角形 和等边三角形，连接 与 交于点F， 与 交于点G， 与交于点H，连接．有下列结论：．其中正确的是________．（填序号） 12. 如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为秒，则当____秒时，与全等． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）如图，，，，求证：． 14. 如图，在中，，，D是的中点，于点E． （1）求的度数； （2）若，求的长． 15. 已知，．求代数式下列代数式的值： （1）； （2）． 16. 已知：如图，P、Q是边BC上两点，且，求的度数． 17. 如图是的正方形网格，网格中所标出的点都在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图（1），在线段上作点M，使； （2）如图（2），在线段上作点N，使． 18. 如图，在边长为m的正方形纸片中剪去一个边长为n的小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片． （1）如图1，通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式 （填选项前面的字母）； A、 B、 C、 D、 （2）请利用（1）中所选的结论，解答以下问题： ①如图2，大正方形的面积为，小正方形的面积为，且，求不规则四边形的面积； ②计算： 19. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 如图，已知在中，是边上的中线，分别以为直角边作直角和，其中，连接． （1）若，求的取值范围； （2）求证：． 五、（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． （1）当时，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变 　　（填“大”或“小”）； （2）当为何值时，，并说明理由； （3）在点D的运动过程中，若是等腰三角形，求的度数． 22. 如图，在四边形中，，对角线相交于点，点为边上一点，且． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：； （3）若，求的长． 六、（本大题共12分） 23. 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为．当模型中有相等的线段时，则模型中就有可能存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，，则与的数量关系是______． ②如图2，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，过点A作于点D．若，，则的长为______． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，，求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图4，在中，，，，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中形成性测试 八年级（初二）数学试卷 说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 根据轴对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意． 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，原选项计算错误，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项符合题意； D、，原选项计算错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握坐标关于轴对称的变化规律，即关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 故选：B． 4. 如图，点P在∠ABC的平分线上，PD⊥BC于点D，若PD=4，则P到BA的距离为（　　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的性质直接可以判断． 【详解】解：∵点P在∠ABC的平分线上， ∴点P到AB、AC的距离相等， ∵PD⊥BC于点D， PD=4， ∴P到BA的距离为4； 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题关键是熟记角平分线的性质并能熟练运用． 5. 如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，，正好是两边一夹角，即可得出答案． 【详解】解：∵在△ABO和△DCO中，， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键． 6. 如图，在中，，是的角平分线，若P、Q分别是和边上的动点，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作交，过点作交于Q，交于点P，由是的角平分线，可得点C与关于对称，则即为所求． 【详解】解：如图所示：过点D作交，过点作交于Q，交于点P， 是的角平分线，， 点C与关于对称， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到C点关于的对称点，再由垂线段最短是求解的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 正方形和正方形的边长分别为，用含的代数式表示阴影部分的面积___________；（要化简哟） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式加减的应用，单项式乘多项式．阴影部分的面积等于两个正方形面积之和减去和的面积，由此列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8. 已知n是正整数，且，则 ___________． 【答案】184 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，根据积的乘方对式子化简，再逆用幂的乘方进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： 9. 如图，点D是边上的中点，将沿过点D的直线折叠，使点A落在边上点F处，如果，则_____． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键． 先根据图形翻折不变性的性质可得，根据等边对等角的性质可得，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵是沿过点D的直线翻折变换而来， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 10. 如图，在中，已知，根据图中的作图痕迹，的度数为___． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理和角平分线的定义，先根据三角形的内角和定理求出的度数，然后根据作图可得平分，即可得到的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据作图可知，平分， ∴， 故答案为：． 11. 如图，C为线段上一动点（不与 A，B两点重合），在同侧分别作等边三角形 和等边三角形，连接 与 交于点F， 与 交于点G， 与交于点H，连接．有下列结论：．其中正确的是________．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可以得出，就可以得出，通过证明就可以得出，可以得出是等边三角形就可以得出，就可以得出，由就可以得出，就可以得出，根据而得出结论． 【详解】解：∵ 和 都是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴．故①正确； ∴． ∴ ． ∴是等边三角形． ∴， 即 ． ∴．故②正确； 又∵， ∴．故③错误； ∵， ∴．故④正确； ∵， ∴，即．故⑤正确． 综上，正确的是①②④⑤. 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角之间的关系的运用，平行线的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键． 12. 如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为秒，则当____秒时，与全等． 【答案】3或7或10 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分点E在线段上和点E在线段上两种情况，分别分成两种情况求解即可． 【详解】解：①点E在线段上，点E与点A重合时此时，当时，，则，不符合题意，舍去； 点E在线段上，，则， ， ∵动点从点出发以的速度沿射线运动， ； ②当点E在线段上，，则， ， ∵动点从点出发以的速度沿射线运动， ； 当点E在线段上，，则， ， ∵动点从点出发以的速度沿射线运动， ． 综上，当为3或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）如图，，，，求证：． 【答案】（1）； （2）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查整式的四则运算和全等三角形的判定，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）原式根据平方差公式和多项式乘以多项式运算法则将括号展开再合并； （2）根据“”证明即可． 【详解】解：（1） （2） 略 14. 如图，在中，，，D是的中点，于点E． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据等腰三角形的性质进行求解即可； （2）根据含角的直角三角形的性质，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 15. 已知，．求代数式下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式并灵活运用整体代入的思想是解题的关键． （1）根据完全平方公式得到，然后整体代入计算即可； （2）根据完全平方公式得到，代入计算即可得答案． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 ，， ， ． 16. 已知：如图，P、Q是边BC上两点，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质，得，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得，从而求解． 【详解】解：， ． 又， ， ． 答：的度数是120°． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．熟记相关性质是解题关键． 17. 如图是的正方形网格，网格中所标出的点都在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图（1），在线段上作点M，使； （2）如图（2），在线段上作点N，使． 【答案】（1） 点M即为所求， （2） 如图（2），点N即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了作图，包括作垂线与特定的角，等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握作图的要求是解决本题的关键． （1）根据垂直的作图方法作图即可； （2）根据特定的角度的作图方法作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：利用网格线构造等腰三角形，底角为，作腰的平行线， 18. 如图，在边长为m的正方形纸片中剪去一个边长为n的小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片． （1）如图1，通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式 （填选项前面的字母）； A、 B、 C、 D、 （2）请利用（1）中所选的结论，解答以下问题： ①如图2，大正方形的面积为，小正方形的面积为，且，求不规则四边形的面积； ②计算： 【答案】（1）C （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用、用平方差公式进行计算等知识点，熟知平方差公式以及数形结合思想是解题的关键． （1）分别表示出两幅图阴影部分的面积，再根据两幅图阴影部分面积相等即可得到结论； （2）①设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，再根据进行求解即可；②利用平方差公式进行裂项求解即可． 【小问1详解】 解：图1中，阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成长为，宽为的长方形，因此面积为， 因此， 故选：C； 【小问2详解】 ①设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，， ∵， ∴， ∴ ， 答：不规则四边形BGED的面积为15； ② 19. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴AD⊥BC； （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理： （1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，根据等腰三角形的三线合一性质即可证得结论； （2）由可得，由外角的性质可得，由可得，进而求出，由三角形内角和定理即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，已知在中，是边上的中线，分别以为直角边作直角和，其中，连接． （1）若，求的取值范围； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：因为， 所以， 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质； （1）延长至点，使，连接，证明，可得，再根据三角形三边关系即可解答． （2）根据可得，推出，等量代换得到，再证明，得到，进而可得结论． 【小问1详解】 证明：如图，延长至点，使，连接， 因为是边的中线， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 【小问2详解】 略 五、（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． （1）当时，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变 　　（填“大”或“小”）； （2）当为何值时，，并说明理由； （3）在点D的运动过程中，若是等腰三角形，求的度数． 【答案】（1），小 （2） 解：当时，， 理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）由平角的定义求出，进而求出的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出，由三角形内角和定理可判断的变化； （2）当时，由“”可证； （3）根据题意进行分类讨论：①当时，不符合题意，舍去；②当时，③当时． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 有图可知，点D从B向C运动时，逐渐变大， ∴在中，逐渐变小， 故答案为：，小； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当时， ∵， ∴， ∵， ∴点E和点C重合，不符合题意； ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ③当时， ∵， ∴， ∵， ∴． 综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． 22. 如图，在四边形中，，对角线相交于点，点为边上一点，且． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 又， 是等边三角形； （2） 证明：如图，连接， ， 是等边三角形， ， ，即 在和中， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）根据平行线的性质可得，进而可以证明是等边三角形； （2）连接，证明是等边三角形，然后可以证明，即可解决问题； （3）结合（2）证明，，然后利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， 由（2）知：， ， ， 在等边中，， ， ， ， ， ， ， ． 六、（本大题共12分） 23. 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为．当模型中有相等的线段时，则模型中就有可能存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，，则与的数量关系是______． ②如图2，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，过点A作于点D．若，，则的长为______． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，，求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图4，在中，，，，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）9或12或24 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，再由证即可；证，得，，即可解决问题； （2）过点作，垂足为，结合（1）的结果可进行计算； （3）首先求得，分三种情况讨论：当时，过点作，交的延长线于点，当时，过点分别作，的垂线，垂足分别为点，，当时，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点，分别通过证明三角形全等得到的长度，然后利用三角形面积计算公式解答即可． 【详解】解：①，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； ②，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：；； （2）过点作，垂足为，如图3， ，， 由（1）知，， ； （3）过点作于点，则，， ， 分三种情况： ①如图4，当时，过点作，交的延长线于点， ，，， ， ， ； ②如图5，当时，过点分别作，的垂线，垂足分别为点，， 同①：， ， ， ； ③如图6，当时，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点， 同①：， ，，设，则， ，， ， ， ， 故的面积为9或12或24． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $