2.4 二次函数的应用 同步基础训练 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

2.4 二次函数的应用 同步基础训练 一．选择题 1．如图，用一段长为18米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为xm，另一边的长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，正比例函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 2．如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　） A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m 3．一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（　　） A．y＝240（1﹣2x） B．y＝240（1+2x） C．y＝240（1﹣x）2 D．y＝240（1+x）2 4．掷实心球是多地高中阶段学校招生体育考试选考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3m处．该男生在此项考试中的成绩是（　　） A． B．10m C． D． 5．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB＝8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC＝1m，则门高OE为（　　） A．9m B．m C．8.7m D．9.3m 6．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm，则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 7．《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝16t﹣4t2，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（　　）m． A．13 B．14 C．15 D．16 8．如图，抛物线m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　） A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣3 C．ab＝﹣4 D．ab＝﹣5 9．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为y＝ax2+bx+c（a≠0），画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 … 关于此函数下列说法不正确的是（　　） A．函数图象开口向下 B．当x＝2时，该函数有最大值 C．当x＝0时，y＝﹣3 D．若在函数图象上有两点，则x1＞x2 10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线x＝﹣1，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm； ②若bx1bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2； ③若OA＝OC，则OB； ④若B（1，0），C（0，3），连接AC，点P在抛物线的对称轴上，且∠PCA＝90°，则P（﹣1，4）． 其中正确的有（　　） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 二．填空题 11．用一根长为20米的绳子，围成一个矩形，设矩形一边长x米，则面积y＝　 　 ，围成的矩形的最大面积是 　 　 m2． 12．如图，有一个抛物线拱桥形，其最大高度为16米，跨度为40米，则此抛物线解析式为 　 　 ． 13．用长为12m的铝合金制成如图所示的矩形窗框，则窗户的透光面积最大值为 　 　 ． 14．如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去直角三角形（图中阴影部分）．设AE＝BF＝CG＝DH＝x（cm），四边形EFGH的面积为y（cm2），则y关于x的函数表达式为　 　 （化为一般形式）． 15．小汽车刹车距离s（m）与速度v（km/h）之间的函数关系式为，一辆小汽车速度为100km/h，在前方90m处停放一辆故障车，此时刹车　 　 有危险（填“会”或“不会”）． 16．如图为某兴趣小组绘制的跳台滑雪赛道的截面图，以停止区AB所在水平线为x轴，过起跳点C且与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，着陆坡AC的坡度为1．某运动员第一次训练时在C处起跳腾空后，飞行至着陆坡的D处着陆．在这次训练过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）之间满足二次函数关系，且．若点D的横坐标为，则运动员离着陆坡的最大竖直距离为　 　 m． 三．解答题 17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2mx+3． （1）若点（4，3）在抛物线上，求抛物线的顶点坐标； （2）已知点P（m，y1），Q（2，y2）在抛物线上，m≠2，记抛物线在P，Q两点之间的部分为图形G（包含P，Q两点），若图形G上所有点的纵坐标都大于6，求实数m的取值范围． 18．某校数学兴趣小组到水果店了解一种苹果的销售情况，并利用所学的数学知识对水果店销售提出合理化建议．经市场调研发现： 材料一：当每千克苹果的售价为10元时，每天能销售40千克． 材料二：当每千克苹果的售价每降低1元，每天的销售量就会增加20千克． 任务一：建立函数模型 （1）设每千克苹果降价x元，每天销售这种苹果的收入为y元，求y与x的函数关系式； 任务二：设计销售方案 （2）当每千克苹果降价多少元时，该水果店每天销售这种苹果的收入最多？最多为多少元？ （3）若该水果店老板11月1日销售这种苹果的收入为640元，请求出x的值． 19．综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出， 研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 ①条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足排队人数＝现场总人数﹣已入场人数； ②条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现， 现场总人数y与安检时间x之间满足关系式y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　 　 ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为　 　 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 20．素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱桥结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件，如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度OB为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽DE为16米，露出水面的高DG为7米．四边形DEFG为矩形，OD＝BE．现以点O为原点，以OB所在直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． （1）求此抛物线的解析式． （2）受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？ 21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝10，E是线段AB上从点A向点B运动的一个动点（不含A、B），F是线段BC上从点B向点C运动的一个动点（不含B、C），点E、F同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动，连接EF，DF．已知点E在其运动路径上的速度始终为每秒1个单位长度，点F在其运动路径上的速度始终为每秒2个单位长度，设点E的运动时间为x秒，△BEF的面积为y1，△DFC的面积的为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； （2）在图2中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1≥y2时x的取值范围（近似值保留小数后一位，误差不超过0.2） 22．如图1，抛物线：y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．且点A的坐标为（﹣1，0），点E为抛物线上一点，且横坐标为m． （1）求抛物线的解析式及点D坐标； （2）连接CD，当∠CDE＝90°时，求点E坐标； （3）如图2，过点E作EH⊥x轴交于点H，以EH，HA为边作矩形EFAH，若边EF交y轴于点G， ①当AH＝2CG时，求点m的值； ②当四边形EFAH为正方形时，连接OE，将线段OE绕着点O顺时针旋转90°得到OE′，直接写出点E′的坐标． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B B B D B D A 二．填空题 11．﹣x2+10x，25． 12．． 13．3m2． 14．y＝2x2﹣4x+4（0＜x＜2）． 15．会． 16．25． 三．解答 17．解：（1）将点（4，3）代入y＝x2+2mx+3， ∴3＝16+8m+3， 解得m＝﹣2， ∴y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴顶点坐标为（2，﹣1）； （2）y＝x2+2mx+3，对称轴为直线， ①当m＞0时，对称轴x＝﹣m在y轴的左侧，开口向上，当x＞﹣m时，y随x的增大而增大， 当m＞2时，P在Q点的右侧， ∵图形G上所有点的纵坐标都大于6，Q（2，y2）， ∴y2＞6， ∴4+4m+3＞6，解得， ∴m＞2； 当0＜m＜2时，即P在点Q的左侧， ∴y1＞6，即3m2+3＞6， 解得：m＞1或m＜﹣1， ∴1＜m＜2； ②当m＜0时，对称轴x＝﹣m在y轴的右侧，开口向上， 当m＜x＜2时，总存在当x＝0时，y＝3，不符合题意； ③当m＝0时，对称轴为y轴，开口向上， ∴P（0，3），则图形G上不存在所有点的纵坐标都大于6， 综上所述，m＞1且m≠2， 18．解：（1）设每千克苹果降价x元，每天销售这种苹果的收入为y元， 由题意得y＝（10﹣x）（40+20x）＝﹣20x2+160x+400． （2）y＝﹣20x2+160x+400＝﹣20（x﹣4）2+720， ∵﹣20＜0， ∴当x＝4时，y有最大值为720， ∴当每千克苹果降价4元时，该水果店每天的收入最多，最多为720元． （3）由题意可得：y＝﹣20x2+160x+400＝640， 整理得x2﹣8x+12＝0， 解得x1＝2，x2＝6， 答：当x的值为2或6时，老板的收入为640元． 19．解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为（用x表示）18x，若排队人数为w，则w与x的函数表达式为w＝y﹣18x＝﹣x2+42x+100； 故答案为：18x，w＝﹣x2+42x+100； （2）w＝﹣x2+42x+100＝﹣（x﹣21）2+541， ∴当x＝21时，Wmax＝541； 答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人； （3）设开了m条通道， ∴w＝y﹣6mx＝﹣x2+60x+100﹣6mx＝﹣x2+6（10﹣m）x+100， ∴对称轴为x＝3（10﹣m）， ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少， ∴0≤3（10﹣m）≤10． ∴m≤10． 又∵最多开通9条， ∴m≤9． ∵m为正整数， ∴m最小值为7， ∴最少开7条通道． 20．解：（1）由题可知，O（0，0），B（40，0），抛物线的顶点为点（20，10）， ∴可设抛物线的解析式为y＝ax2+bx将（40，0），（20，10）代入得：， ∴ ∴抛物线的解析式为； （2）此时该货船能安全过桥；理由如下： 由题意得：∵水位上升0.5米， ∴相当于将抛物线向下平移0.5个单位长度， ∴平移后抛物线的解析式为， 把x＝12代入， ∴． ∵7.9＞7， ∴此时该货船能安全过桥． 21．解：（1）作DG⊥BC于G， ∵AD∥BC，∠ABC＝90°，DG⊥BC，则AB∥DG， ∴四边形ABGD为矩形， ∴DG＝AB＝6， 由题意可知：AE＝x，则BE＝6﹣x，BF＝2x，CF＝10﹣2x， ∴△BEF的面积：y1BE•BF•（6﹣x）•2x＝﹣x2+6x， △DFC的面积的：y2CF•DG（10﹣2x）×6＝﹣2x+10， ∵当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动， 则点E运动时间最多为：6÷1＝6秒，点F运动时间最多为：10÷2＝5（秒）， ∴y1＝x2+6x，y2＝﹣2x+10，0＜x＜5； （2）画出函数y1，y2的图象如图， 由图可知：①当x＝3时，函数有最大值9； ②当0＜x＜3时，y1随x增大而增大，当3＜x＜5时，y1随x增大而减小；y2随x增大而减小． （3）由图可知两函数的交点横坐标约为1.5，其右侧部分y1＝﹣x2+6x在y＝﹣2x+10上方， ∴当y1≥y2时，x的取值范围为1.5≤x＜5． 22．解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0）在抛物线y＝ax2﹣2ax+3图象上， ∴0＝a+2a+3， ∴a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）； （2）如图， 由抛物线解析式y＝﹣x2+2x+3可知，点C（0，3）， 设直线CD的解析式为y＝kx+3，将点D（1，4）坐标代入可得： 4＝k+3，解得k＝1， ∴直线CD的解析式为y＝x+3， 设直线DE的解析式为y＝mx+n， ∵∠CDE＝90°， ∴m＝﹣1， ∴DE的解析式为y＝﹣x+n， 将点D（1，4）坐标代入可得：4＝﹣1+n， 解得n＝5， ∴直线DE的解析式为y＝﹣x+5， 联立方程组得， 解得（舍去），， ∴E（2，3）； （3）①∵E（m，﹣m2+2m+3），A（﹣1，0），C（0，3）， ∴AH＝|m+1|，CG＝|3+m2﹣2m﹣3|， ∵AH＝2CG， ∴|m+1|＝2|m2﹣2m|， ∴2m2﹣4m＝m+1或2m2﹣4m＝﹣m﹣1， ∴2m2﹣5m﹣1＝0或2m2﹣3m+1＝0， 解得m或或m或1； ②∵E（m，m2+2m+3），H（m，0），A（﹣1，0），F（﹣1，﹣m2+2m+3）， ∴EH＝|﹣m2+2m+3﹣0|＝|﹣m2+2m+3|，AH＝|m+1|， ∵四边形EFAH是正方形， ∴|﹣m2+2m+3|＝|m+1|， 当﹣m2+2m+3＝m+1时， 整理得m2﹣m﹣2＝0， m＝2，m＝﹣1（舍去）， 此时点E坐标为（2，3）， 将线段OE绕着点O顺时针旋转90°得到OE′， 根据旋转特征可知E′（3，﹣2）； 当﹣m2+2m+3＝﹣m﹣1时， 整理得m2﹣3m﹣4＝0， 解得m＝4，m＝﹣1（舍去）， 此时点E坐标为（4，﹣5）， 将线段OE绕着点O顺时针旋转90°得到OE′， 根据旋转特征可知E′（﹣5，﹣4）； 综上分析，满足条件的点E′坐标为（3，﹣2）或（﹣5，﹣4）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/9 22:58:13；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $