专题22 指对幂比较大小（八类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题22 指对幂比较大小 （八类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、利用函数单调性比较大小 类型二、利用作差法作商法比较大小 类型三、引入中间量比较大小 类型四、含变量式子比较大小 类型五、通过构造函数比较大小 类型六、利用数形结合法比较大小 类型七、利用均值不等式法比较大小 类型八、利用同构法比较大小 压轴专练 类型一、利用函数单调性比较大小 指、对、幂大小比较的常用方法： （1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； （2）指数相同，底数不同，如和，利用幂函数的单调性； （3）底数相同，真数不同，如和，利用指数函数的单调性； 【技巧方法】 当两个数都是指数式或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较。 例1．已知，，，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 变式1-1．已知，则（  ） A． B． C． D． 变式1-2．设，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 变式1-3．设，，，则（  ） A． B． C． D． 变式1-4．设，，，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 变式1-5．已知，，，则，，的大小关系是（  ） A． B． C． D． 类型二、利用作差法作商法比较大小 1.作差法与作商法适用情况： （1）作差法适用于两个数的表达式可以直接相减，且差值容易判断正负的情况； （2）作商法适用于指数幂形式的数，尤其是底数不同时，可以通过指数运算的性质简化比较． 2.使用作差法与作商法注意事项： （1）作差或作商后，可能需要对结果进行变形处理，以便更容易判断其与0或1的关系． （2）在复杂情况下，可能需要结合其他方法（如中间值法、构造函数法等）来辅助判断． 例2．已知，，，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 变式2-1．已知实数，，，那么实数，，的大小关系是（  ） A． B． C． D． 变式2-2．若，则（  ） A． B． C． D． 变式2-3．若，，，则（  ） A． B． C． D． 变式2-4．已知，则（  ） A． B． C． D． 类型三、引入中间量比较大小 【技巧方法】 结构不相同的比较大小题目，可以寻找“中间桥梁”，通常是与0,1比较,通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到它们之间的大小关系. 例3．已知，则（  ） A． B． C． D． 变式3-1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（  ） A． B． C． D． 变式3-2．设，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 变式3-3．已知，，，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 类型四、含变量式子比较大小 当作比较的几个数都含参数时，可尝试把参数取一个具体的实数，通过估算来比较大小．也可通过函数的单调性，结合图象进行比较． 例4．设正数，满足，，，则（  ） A. B. C. D. 变式4-1．若，，，，，则（  ） A． B． C． D． 变式4-2．设，，，其中，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 变式4-3.（多选）已知正数满足，则（  ） A． B． C． D． 类型五、通过构造函数比较大小 构造相同函数，比较不同函数值。 【技巧方法】 利用函数图像求函数的最值，先作出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出答案，体现了数形结合的思想． 例5．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（  ） A． B． C． D． 变式5-1．已知，则（  ） A． B． C． D． 变式5-2．已知实数a，b满足，则（  ） A． B． C． D．a，b的大小无法判断 变式5-3．若实数a，b，c满足，则下列不等关系中不可能成立的是（  ） A． B． C． D． 类型六、利用数形结合法比较大小 就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将比较大小与某些图形结合起来，利用直观几何性质，再辅以简单计算，确定正确答案的方法. 【技巧方法】 借助函数图像研究函数的性质从而解不等式。 例6．已知，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 变式6-1．已知，则实数的大小关系为（  ） A． B． C． D． 变式6-2．，则（  ） A． B． C． D． 变式6-3．已知，，满足，则（  ） A． B． C． D． 变式6-4．设正实数分别满足，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 变式6-5．已知，，满足，，，则，， 的大小关系为（  ） A． B． C． D． 类型七、利用同构法比较大小 移项构造函数： 已知条件的数学结构非常对称,并且含有两个变量和，对于两个变量的式子，常采用移项构造函数的方法构造新函数,然后通过求导数研究函数的单调性，并结合对数运算，从而解决问题. 【技巧方法】 同构法比较指对幂大小，核心在于构造相同结构的函数。通过变形使待比较式具有相同函数形式，利用函数单调性或图像直观比较大小。关键在于准确识别并构造同构函数，简化比较过程。 例7．若正数，，满足（为自然对数底数），则（  ） A． B． C． D． 变式7-1．若实数满足，则（  ） A． B． C． D． 变式7-2．已知实数满足，，，则（  ） A． B． C． D． 变式7-3．若，则下列不等式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 变式7-4．（多选）已知，且满足，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 类型八、利用放缩法比较大小 放缩法的分析： （1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数． （2）指数和幂函数结合来放缩． （3）利用均值不等式的不等关系进行放缩． （4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系． 【技巧方法】 放缩法比较指对幂大小，关键在于合理估计与调整。可通过适当放大或缩小数值，转化为更易比较的形式，如利用指数、对数的性质进行放缩，或结合均值不等式等。需注意保持放缩方向的一致性，以确保比较结果的准确性。 例8．已知，，，则（  ） A． B． C． D． 变式8-1．设，则（  ） A． B． C． D． 变式8-2．已知，，，则（  ） A． B． C． D． 变式8-3．已知，，，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 变式8-4．若，则有（  ） A． B． C． D． 1.已知，则（  ） A． B． C． D． 2.已知，，则（  ） A． B． C． D． 3.已知，则下列说法正确的是（  ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，大小不确定 4.已知，，，比较a，b，c的大小为（  ） A． B． C． D． 5.设，，，则（  ） A． B． C． D． 6.已知函数．记，则（  ） A． B． C． D． 7.设，，，则（  ） A． B． C． D． 8.已知均为大于0的实数，且，则大小关系正确的是（  ） A． B． C． D． 9.已知则（  ） A． B． C． D． 10.已知定义在上的函数，记，，，则a，b，c的大小关系是（  ） A． B． C． D． 11.（多选）若实数a，b，c满足，则（  ） A． B． C． D． 12.（多选）若，且，则下列各式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 13.（多选）若，则（  ） A． B． C． D． 14.（多选）已知实数a，b满足，则下列关系式中可能正确的是（  ） A．，使 B．，使 C．，有 D．，有 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22 指对幂比较大小 （八类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、利用函数单调性比较大小 类型二、利用作差法作商法比较大小 类型三、引入中间量比较大小 类型四、含变量式子比较大小 类型五、通过构造函数比较大小 类型六、利用数形结合法比较大小 类型七、利用均值不等式法比较大小 类型八、利用同构法比较大小 压轴专练 类型一、利用函数单调性比较大小 指、对、幂大小比较的常用方法： （1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； （2）指数相同，底数不同，如和，利用幂函数的单调性； （3）底数相同，真数不同，如和，利用指数函数的单调性； 【技巧方法】 当两个数都是指数式或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较。 例1．已知，，，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合指数函数、对数函数和幂函数的性质即可判断大小关系. 【解析】因为，所以在上为单调递增函数， 因为，所以． 因为，所以在上为单调递增函数， 所以，所以，所以． 因为，所以在上为单调递增函数， 又，所以， 故选：B． 变式1-1．已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得⫋，根据必要不充分条件的概念可得结果. 【解析】指数函数在上单调递减， 因为，所以，即； 幂函数在上单调递增， 因为，所以，即，即， 综上：， 故选：D. 变式1-2．设，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合指数函数和幂函数的性质即可判断大小关系. 【解析】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 变式1-3．设，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合指数函数、对数函数和幂函数的性质即可判断大小关系. 【解析】因为函数在单调递减，， 所以，即； 因为函数在单调递增，， 所以，即； 因为函数在单调递增，， 所以，即， 所以. 故选：A. 变式1-4．设，，，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合指数函数、对数函数和幂函数的性质即可判断大小关系. 【解析】， ， 因为单调递增，所以， 因为单调递减，所以， 所以，综上, 故选：D. 变式1-5．已知，，，则，，的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合对数函数单调性分析判断即可. 【解析】因为，可得， 且，则，可得，所以； 又因为，则，所以； 综上所述：. 故选：C 类型二、利用作差法作商法比较大小 1.作差法与作商法适用情况： （1）作差法适用于两个数的表达式可以直接相减，且差值容易判断正负的情况； （2）作商法适用于指数幂形式的数，尤其是底数不同时，可以通过指数运算的性质简化比较． 2.使用作差法与作商法注意事项： （1）作差或作商后，可能需要对结果进行变形处理，以便更容易判断其与0或1的关系． （2）在复杂情况下，可能需要结合其他方法（如中间值法、构造函数法等）来辅助判断． 例2．已知，，，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分别与、、比较大小即可得出判断. 【解析】∵， ∴， ∵， ∴，则． ∵， ∴， ，，则， ∵，∴，则，故． 故选：C． 变式2-1．已知实数，，，那么实数，，的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，结合对数的运算，以及对数函数的性质，可得答案. 【解析】，由，则，即，可得； ，由，则，即，可得； ，由，则，即，可得； 综上，. 故选：A. 变式2-2．若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，结合指数函数的图像与性质可得结果. 【解析】∵，， ∴ 又，∴ ∴ ， 又 ∴ 综上： 故选：A 变式2-3．若，，，则（  ） A． B． C． D． 【分析】利用作差法，再结合对数函数的单调性分别判断和的大小关系，即可判断出的大小关系. 【解析】因为，所以； 又因为，所以； 综上所述：. 故选：C. 变式2-4．已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法，再结合对数函数的单调性分别判断和的大小关系，即可判断出的大小关系. 【解析】 ，则， ， 则，所以. 故选：B. 类型三、引入中间量比较大小 【技巧方法】 结构不相同的比较大小题目，可以寻找“中间桥梁”，通常是与0,1比较,通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到它们之间的大小关系. 例3．已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值0，1，分析判断即可. 【解析】因为函数是定义域上的增函数，所以， 又函数为增函数和函数为减函数， 所以， 所以. 故选：D. 变式3-1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值0，1，分析判断即可. 【解析】由题意可得：， ，且，则， 因为，则， 故选：B. 变式3-2．设，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值0，1，分析判断即可. 【解析】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 变式3-3．已知，，，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值“”分析大小即可. 【解析】因为在上单调递减，则，即； 又因为在上单调递减，则，即； 可得，且在上单调递增， 则，即； 综上所述：. 故选：D. 类型四、含变量式子比较大小 当作比较的几个数都含参数时，可尝试把参数取一个具体的实数，通过估算来比较大小．也可通过函数的单调性，结合图象进行比较． 例4．设正数，满足，，，则（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据条件，，取对数得，，从而可得取值同在区间或，再分在两个区间取值，利用对数函数的单调性，即可求解. 【解析】由题知正数均不等于，由，得到， 由，得到，所以， 若，则，若，则， 所以取值同在区间或， 若，由，得到，由，得到，所以， 若，由，得到，由，得到，所以， 综上所述，， 故选：A. 变式4-1．若，，，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以函数在上单调递增． 因为，所以，即． 同理，由函数在上单调递增，得，即． 因为，所以． 因为，所以在上单调递减， 所以，所以，即， 所以． 故选：B. 变式4-2．设，，，其中，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，， 因为，所以，所以，，， 虽然是单调递增函数，但是，无法比较大小， 所以a，b的大小无法确定，排除AB， ，（因为，所以取不到等号），故D正确． 故选：D． 变式4-3.（多选）已知正数满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A中，因为，可得，又因为，所以， 可得，解得，所以A不正确； 对于B中，由，则，则， 当且仅当，即时，等号成立，因为所以，所以B正确， 对于C中，由图像可知当且仅当时，等号成立， 因为时，因为，可得， 所以，即，所以C正确； 对于D中，由，所以，可得，所以D正确. 故选：BCD. 类型五、通过构造函数比较大小 构造相同函数，比较不同函数值。 【技巧方法】 利用函数图像求函数的最值，先作出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出答案，体现了数形结合的思想． 例5．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数零点可知：，， 利用数形结合，构造三个函数 它们与的交点横坐标就是对应的三个零点. 由图可知：， 故选：D. 变式5-1．已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得：，，， 因为，且构造在定义域内单调递增， 可得，所以． 故选：D. 变式5-2．已知实数a，b满足，则（  ） A． B． C． D．a，b的大小无法判断 【答案】A 【解析】构造函数在上单调递增，且，则由，得， 又，所以. 故选：A 变式5-3．若实数a，b，c满足，则下列不等关系中不可能成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得，易知，构造， 设直线l：，作出，，直线l图象， 如图：当时，，， 当时，，， 所以 故选：D 类型六、利用数形结合法比较大小 就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将比较大小与某些图形结合起来，利用直观几何性质，再辅以简单计算，确定正确答案的方法. 【技巧方法】 借助函数图像研究函数的性质从而解不等式。 例6．已知，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解. 【解析】，，即， ， 下面比较与的大小，构造函数与， 由指数函数与幂函数的图像与单调性可知，      当时，；当时， 由，故，故，即， 所以， 故选：A. 变式6-1．已知，则实数的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到，得到，求出，根据单调性得到，从而得到答案. 【解析】令，其在R上单调递减， 又， 由零点存在性定理得， 则在上单调递减， 画出与的函数图象，    可以得到， 又在R上单调递减，画出与的函数图象，    可以看出， 因为，故，故， 因为，故， 由得，． 综上，． 故选：D． 变式6-2．，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得到，画出图象，数形结合得到答案. 【解析】令，则， ，其中， 在同一坐标系内画出， 故 故选：D. 变式6-3．已知，，满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解. 【解析】根据单调递增可得， 由单调递增可得， 由可知是函数和图象交点的横坐标， 如下图所示： 由图可知.因此可得. 故选：A 变式6-4．设正实数分别满足，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出的图像，利用图像和图像交点的横坐标比较大小即可. 【解析】由已知可得，，， 作出的图像如图所示： 它们与交点的横坐标分别为， 由图像可得， 故选：B 变式6-5．已知，，满足，，，则，， 的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数对数函数图像数形结合即可得到，，的大小关系. 【解析】在同一平面直角坐标系内作出 的图像 过点；过点； 过点；过点， 则与图像交点横坐标依次增大， 又与图像 交点横坐标分别为，则. 故选：C 类型七、利用同构法比较大小 移项构造函数： 已知条件的数学结构非常对称,并且含有两个变量和，对于两个变量的式子，常采用移项构造函数的方法构造新函数,然后通过求导数研究函数的单调性，并结合对数运算，从而解决问题. 【技巧方法】 同构法比较指对幂大小，核心在于构造相同结构的函数。通过变形使待比较式具有相同函数形式，利用函数单调性或图像直观比较大小。关键在于准确识别并构造同构函数，简化比较过程。 例7．若正数，，满足（为自然对数底数），则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用放缩法和函数的单调性即可得到. 【解析】令，显然在上单调递增， 又，，为正数，所以，即，所以， 令，则在上单调递增，又，即，所以， 综上可得. 故选：D 变式7-1．若实数满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数和对数运算法则可将已知等式化为，根据对数函数单调性得到，设，由函数单调性可得结果. 【解析】由题意知：，，，，，， ，即，在上单调递增，，；设，则， 与在上单调递增，在上单调递增，，即. 故选：A. 变式7-2．已知实数满足，，，则（  ） A． B． C． D． 【分析】由对数函数单调性得，构造函数，由函数的单调性得及，即可得出判断． 【解析】由对数函数单调性得，， 构造函数，则， 因为和单调递增，所以单调递增， 因为，即，所以， 又，所以，即， 所以， 故选：A． 变式7-3．若，则下列不等式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用放缩法和函数的单调性即可得到. 【解析】令，则为上增函数，又，则，则， 故选：B 变式7-4．（多选）已知，且满足，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】构造函数函数，利用函数的单调性即可得到. 【解析】等式，等号两边同除以， 可得， 所以， 所以， 所以， 构造函数，则， 显然，函数在定义域内是增函数， 所以，即． 而，而， 故，故，故D正确. 故选：AD． 类型八、利用放缩法比较大小 放缩法的分析： （1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数． （2）指数和幂函数结合来放缩． （3）利用均值不等式的不等关系进行放缩． （4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系． 【技巧方法】 放缩法比较指对幂大小，关键在于合理估计与调整。可通过适当放大或缩小数值，转化为更易比较的形式，如利用指数、对数的性质进行放缩，或结合均值不等式等。需注意保持放缩方向的一致性，以确保比较结果的准确性。 例8．已知，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 因为，，， 所以. 又因为，所以. 所以. 故选：D 变式8-1．设，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 又，，所以， ，且，所以， 所以. 故选：A. 变式8-2．已知，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， ， 且，所以. 故选：D. 变式8-3．已知，，，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，， ， 因此，所以. 故选：C 变式8-4．若，则有（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以， ， 又因为， 所以，即. 故选：B. 1.已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】幂函数，当时，在单调递增，故， 又指数函数，当时，在上单调递减，故，即， 又因为，所以， 故选：D 2.已知，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，， 而，所以在定义域内单调递减， 故，则B错误； ，故A错误； 由在第一象限内单调递增，知，故C错误； 因为在定义域内单调递减，即，故D正确. 故选：D. 3.已知，则下列说法正确的是（  ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，大小不确定 【答案】B 【解析】由可知，， 移项可得， 即， 当时，，此时，即，故A错，B对， 当时，，此时，即，故A错，B对， 当时，，此时，即，故C，D错， 故选：B. 4.已知，，，比较a，b，c的大小为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为，所以，即， 所以，且，所以， 又因为，所以， 综上，， 故选：D. 5.设，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析三个数在图象中的几何意义，做出函数图象即可得出三者的大小关系. 【解析】由题意，，， 表示时函数的点的纵坐标， 表示时函数的点的纵坐标， 表示时函数的点的纵坐标， 作出三个函数的图象如图所示， 由图可知，， 故选：A. 6.已知函数．记，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【解析】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 7.设，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小. 【解析】因为在上单调递增，又，所以，即， 因为，所以，即， 因为在上单调递增， 所以，所以， 因为，所以，即， 所以． 故选：D． 8.已知均为大于0的实数，且，则大小关系正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将问题转化为函数与直线的交点的横坐标的关系，再作出图像，数形结合求解即可. 【解析】解：因为均为大于0的实数， 所以， 进而将问题转化为函数与直线的交点的横坐标的关系， 故作出函数图像，如图， 由图可知 故选：C. 9.已知则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指对互化可得，再利用基本不等式与换底公式可得与，从而利用指数函数的单调性即可得解． 【解析】因为，所以， 因为， 所以，则， 所以； 因为， 所以，则， 所以； 综上，. 故选：A. 10.已知定义在上的函数，记，，，则a，b，c的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数，对数函数性质可比较的大小，再利用的单调性可得解. 【解析】∵， 又，， 而，， 且函数在上单调递减，∴． 故选：C. 11.（多选）若实数a，b，c满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】通过等量关系，设出，和的表达式，代入各式子即可得出结论. 【解析】由题意， 设， 则，，， A项，若，即，即，则需要， ∵∴A正确. B项，若，则需要， 则， 显然不成立，∴，即，∴B错误. C项，若，则，即， ∵，， ∴，∴C正确. D项，∵， ∴，D错误. 故选：AC. 12.（多选）若，且，则下列各式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为，所以，则， 又由于，所以，，，则，故B正确； 因为，所以，故C正确； 当，，时，可，故A错误； 当，，时，，故D错误. 故选：BC. 13.（多选）若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，结合作差法，对选项逐一分析判断即可得解. 【解析】因为，所以，则， 所以，又，所以，故A正确． 设函数， 因为函数在上单调递增， 函数在上单调递增，且， 所以在上单调递增，， 即，，故B正确． 取，，则，故C错误． ， 则， 因为函数为减函数，所以． 因为函数在上为增函数，所以，则，故D正确． 故选：ABD. 14.（多选）已知实数a，b满足，则下列关系式中可能正确的是（  ） A．，使 B．，使 C．，有 D．，有 【答案】ABC 【解析】由 得， 令，则分别在和上单调递增， 令，则分别在和上单调递增， 当时，的值域为，当时，的值域为， 所以存在，使得； 同理可得，存在，使得， 因此，使，故选项A正确． 令，则方程 可化为， 由换底公式可得， 显然关于b的方程在上有解，所以，使，故选项B正确． 当时，因为，所以． 又在上单调递增，所以． 因为， 令，则在上单调递增． 因为，所以， 从而，所以． 综上所述，，故选项C正确． 当时，因为，所以． 又在上单调递增，所以． 因为． 令，则在上单调递增， 因为，所以， 从而，所以． 综上所述，，故选项D错误． 故选：ABC． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $