精品解析：广西南宁市邕宁民族中学2025-2026学年九年级上学期11月数学期中试题

九年级数学 （时间：120分钟 满分120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列各数是的相反数的是（   ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键；根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数，然后问题可求解． 【详解】解：∵相反数的定义：数a的相反数为， ∴的相反数为2025， 故选：A． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 3. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机．”二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹．将25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，解决本题的关键是熟练掌握其定义． 将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：， 故选：C． 4. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程是一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、最高次为 3 次，不符合题意． 故选：B． 5. 如图，，，，是上的点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同弧所对的圆周角的关系，解题的关键是掌握：同弧所对的圆周角相等．据此解答即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 故选：B． 6. （教材变式）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，观察图可得：它有种路径，且获得食物的有种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径， ∴它有种路径， ∵获得食物的有种路径， ∴获得食物的概率是：. 故选：B. 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7. 如图，，若，，则的长为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和运用平行线分线段成比例定理是解决本题的关键． 根据平行线分线段成比例定理，列式计算即可求解． 【详解】， ， ，， ， 解得． 故选：D． 8. 通过查阅资料，发现近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为米．若小明同学眼睛的近视度数不超过200度，则下列说法正确的是（ ） A. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 B. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于2米 C. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不大于米 D. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应大于米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 先求出函数解析式，再将代入求出的值，进而判断即可． 【详解】∵近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数， ∴设， 将代入得：， 解得：， 即， 当时，， 由图可知，若小明同学眼睛的近视度数不超过200度，则小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米， 故选：A． 9. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先根据二次函数的对称性求出二次函数与轴的另一个交点的坐标为，再结合二次函数的图象即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴二次函数与轴的另一个交点的横坐标为， ∴二次函数与轴的另一个交点的坐标为， ∵二次函数的图象开口向下， ∴不等式的解集为， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴于点C．若，则k的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点B的坐标是解题的关键．设A的横坐标为a，则纵坐标为，根据题意得出点B的坐标为，代入即可求得k的值． 【详解】解：设A的横坐标为a，则纵坐标为， ∵，轴， ∴B的横坐标为，轴， ∴， ∵点B在函数的图象上， ∴， 故选：C． 11. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 连接交于点，根据垂径定理得到米，，再根据勾股定理得到即可得解． 【详解】解：连接交于点， 依题得：米，，米， 设，即， 中，， 即， 解得， 即米， 米， 即点到弦所在直线的距离是米． 故选：． 12. 如图，边长为2的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，则它们公共部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转，直角三角形全等的证明，勾股定理，作出辅助线求证是解题的关键． 此题只需把公共部分分割成两个三角形，根据旋转的旋转发现两个三角形全等，从而求得直角三角形的边，再进一步计算其面积． 【详解】解：设与相交于点O，连接． 根据旋转的性质，得，则． 在和中， ，， ∴． ∴． 设，则， 又∵， ， 即， 解得：（不符合题意，舍）， ∴． ∴公共部分的面积． 故选：C． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征，即横、纵坐标都互为相反数来求解． 【详解】解：点，关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， 所以对称点是． 故答案为：． 14. 在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示： 试种数量 发芽的频率 在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为___．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】由表格得到这种小麦发芽的频率稳定在附近，即可估计出这种小麦发芽的概率．本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为． 故答案为：． 15. 如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】解：由题知， （）， ∵点，分别是，的中点， ∴（）， ∴（）， ∴花窗的面积为 故答案为：． 16. 新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为______． 【答案】或2##2或 【解析】 【分析】根据新定义得到二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得到，从而解的方程即可． 【详解】解：由题意得：二次函数的解析式为， ， 解得：，， 故答案为：或2． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和解一元二次方程 （1）先计算平方、平方根、乘法，再进行加减法即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴， 则或， ∴，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）请画出关于原点对称的； （3）连接，则线段的长为_____． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求： （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称、原点对称，勾股定理，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据原点对称的性质作图即可； （3）利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， ， 故答案为：． 19. 为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图． 获最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表： 分数／分 80 85 90 95 人数／人 4 2 10 4 根据图形信息，解答下列问题： （1）求获奖学生的总人数，并补全条形统计图； （2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是______分，众数是______分； （3）若从获得“祖冲之奖”且得分为95分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取2名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率． 【答案】（1）200人，补全条形统计图如解图所示： （2）90，90 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数和众数，列表法或画树状图法求概率． （1）用“祖冲之奖”的学生的人数除以其所占的百分比，可得获奖学生的总人数，从而求出获得“秦九韶奖”和“刘徽”奖的人数即可求解； （2）根据中位数，众数的定义，即可求解； （3）根据题意，画出树状图，可得共有12种情况，并且每种情况出现的可能性相等，恰好是甲和乙的有2种可能，再根据概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：本次获奖人数有：（人）， 则获得“秦九韶奖”的人数有（人）． 则 “刘徽”奖的人数为（人）， 补全条形统计图略 【小问2详解】 解：根据题意得：把获得“祖冲之奖”的学生成绩从小到大排列后，位于正中间的两个数均为90分，且90分出现的次数最多， ∴获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是90分，众数是90分； 故答案为：90，90； 【小问3详解】 解：树状图如图所示， ∵从四人中随机抽取两人共有12种情况，并且每种情况出现的可能性相等，恰好是甲和乙的有2种可能，分别是（甲，乙），（乙，甲）． ∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是． 20. 如图所示，在矩形中，是上的一点，过点作交于点，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； （1）由矩形的性质得出，再根据角的互余关系证出，根据证明，得出对应边相等即可； （2）设，则，根据矩形的周长列出方程，解方程求出、，得出、，再证明，得出比例式求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ， ， 解得：， ，，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 即， ． 21. 如图，是的外接圆，O点在边上，的平分线交⊙于点D，连接，过点D作的平行线，与的延长线相交于点P． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长； （3）与是否相似？请说明理由． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵圆心O在上， ∴是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2） （3）， 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到为直角，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到与垂直，即可得证； （2）利用勾股定理求出的长，进而求出， （3）先由平行线的性质和圆周角定理证明，再由平角的定义和圆内接四边形的性质证明，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，，即， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，切线的判定，圆周角定理，等等，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键． 22. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为 ，锅盖纵断面的抛物线记为 ． （1）求和的解析式： （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1）， （2）此时水面的直径为 （3）锅盖不能正常盖上， 理由如下， 当时，抛物线，， 则， 那么，锅盖不能正常盖上． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质和应用，涉及待定系数法求解析式和二次函数的性质， 根据已知点设二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可； 根据已知的直径所对的圆周角为直角求得对应的y值，代入解析式即可求得水面高度； 将已知的底面直径代入解析式求得各自对应的y，结合已知的高度作判断即可． 【小问1详解】 解：抛物线过点， 设和的解析式为：； ∵抛物线经过， ∴，解得， 则， ∵抛物线还经过， ∴，解得， 则； 【小问2详解】 解：当炒菜锅里的水位高度为时，，即，解得， 则此时水面的直径为； 【小问3详解】 略 23. △ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，． （1）【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系． （2）【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长． 【答案】（1） ， （2）成立， 理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）通过证明，即可求证； （3）过点C作，垂足为C，交AD于点H，根据旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 ，，证明如下： 在和中， ，，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过点C作，垂足为C，交AD于点H， 由旋转性质可得：，， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 在中：， ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 在中，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 （时间：120分钟 满分120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列各数是的相反数的是（   ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机．”二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹．将25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，，是上的点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. （教材变式）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，若，，则的长为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 8. 通过查阅资料，发现近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为米．若小明同学眼睛的近视度数不超过200度，则下列说法正确的是（ ） A. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 B. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于2米 C. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不大于米 D. 小明同学的近视眼镜的镜片焦距应大于米 9. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴于点C．若，则k的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 11. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 12. 如图，边长为2的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，则它们公共部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点是_____________ 14. 在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示： 试种数量 发芽的频率 在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为___．（结果精确到） 15. 如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 _____________． 16. 新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）请画出关于原点对称的； （3）连接，则线段的长为_____． 19. 为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图． 获最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表： 分数／分 80 85 90 95 人数／人 4 2 10 4 根据图形信息，解答下列问题： （1）求获奖学生的总人数，并补全条形统计图； （2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是______分，众数是______分； （3）若从获得“祖冲之奖”且得分为95分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取2名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率． 20. 如图所示，在矩形中，是上的一点，过点作交于点，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，是的外接圆，O点在边上，的平分线交⊙于点D，连接，过点D作的平行线，与的延长线相交于点P． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长； （3）与是否相似？请说明理由． 22. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为 ，锅盖纵断面的抛物线记为 ． （1）求和的解析式： （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 23. △ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，． （1）【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系． （2）【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $