专题01 数的开方（平方根与立方根、实数）（期末专项训练，23大题型）八年级数学上学期新教材华东师大版

专题01 数的开方 题型1 利用平方根的定义判断等式是否成立（常考） 题型13 判断是否为无理数 题型2 求一个数的平方根 题型14 无理数估算 题型3 已知一个数的平方根求代数式的值 题型15 无理数整数部分相关计算（重点） 题型4利用平方根解方程（常考） 题型16 实数的分类 题型5 利用算术平方根的非负性求代数式的值（重点） 题型17 实数与数轴结合 题型6 算术平方根的非负性相关求解（重点） 题型18 实数比较大小（基础） 题型7 算术平方根非负性与三角形综合 题型19 实数的混合运算（必考） 题型8 估算算术平方根的取值范围 题型20 程序设计与实数运算 题型9 与算术平方根有关的规律探索题 题型21 新定义下的实数运算 题型10平方根与立方根概念综合（高频） 题型22 实数运算的实际应用 题型11 与立方根有关的规律探索 题型23 实数中规律探索问题 题型12 算术平方根与立方根综合 题型一 利用平方根的定义判断等式是否成立（共4小题） 1．(25-26八上·山西运城闻喜县·期中)下列式子中表示“9的平方根是”的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路是根据平方根的定义与表示方法，逐一分析每个选项的式子所表达的含义，匹配9的平方根是的正确表示．本题考查平方根的表示方法，涉及的知识点是平方根与算术平方根的定义及符号表示．解题中用到的方法是概念辨析法，通过区分平方根、算术平方根、立方根的符号与含义来判断．解题关键是明确表示算术平方根， 表示平方根．易错点是混淆平方根与算术平方根的符号表示，或误将立方根与平方根混淆． 【详解】选项A：表示的是的算术平方根是，不是平方根，不符合题意； 选项B：，符合的平方根是的表示方法； 选项C：是的立方根，与平方根无关，不符合题意； 选项D：表示的是的算术平方根的相反数是，不符合题意． 故选B． 2．(25-26八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)“的平方根是”的数学表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平方根．根据平方根的意义进行解答即可． 【详解】“的平方根是”， ． 故选：A． 3．(25-26八上·江苏江阴南菁实验学校·月考)9的平方根是，用数学符号表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的表示，解题关键是明确非负数a的平方根表示为．根据平方根的表示方法求解即可． 【详解】解：9的平方根是，用数学符号表示为． 故选：D． 4．(25-26八上·河南郑州第二中学·期中)以下语句其写成式子正确的是（   ） A．7是49的算术平方根，即 B．7是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即 D．是49的平方根，即 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，分别利用算术平方根和平方根的定义及性质对每个选项逐个分析，即可得到正确的答案． 【详解】解：A．7是49的算术平方根， 即，故该选项错误； B．7是的算术平方根，即，故该选项正确； C．是49的平方根，即，故该选项错误； D．是49的平方根，即，故该选项错误； 故选：B 题型二 求一个数的平方根（共4小题） 1．(25-26八上·陕西渭南临渭区多校·期中)的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 的平方根是； 故选：C 2．(25-26八上·四川渠县中学·期中)的平方根是（   ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题的关键． 先计算的值，再求该值的平方根，注意平方根有正负两个值． 【详解】解：∵， ∴的平方根即8的平方根， ∴的平方根为， 故选：C． 3．(25-26八上·上海龙茗中学·期中)的平方根为 ； 【答案】 【分析】该题考查了平方根，先将带分数转换为假分数，再求其平方根． 【详解】解：， ∵ = ， = ， ∴的平方根为． 即的平方根为． 故答案为：． 4．(25-26八上·宁夏银川外国语实验学校·期中)的算术平方根是 ，49的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据定义直接计算即可． 本题考查算术平方根和平方根的概念，熟练掌握定义是解题关键． 【详解】解：的算术平方根为 ；49的平方根为 ±． 故答案为 ，． 题型三 已知一个数的平方根求代数式的值（共4小题） 1．(25-26八上·江苏无锡宜兴·期中)若一个正数的两个不同的平方根分别为与，则这个正数为（　　） A．9 B．8 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，进行求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 则平方根为：和， ∴ 这个正数为． 故选：A． 2．(25-26八上·上海民办兰生学校·期中)若一个正整数的正平方根是 ，则比这个正整数大 1 的数的正平方根是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，由正整数的正平方根为，可得该正整数为，则比它大1的数为，其正平方根为 ，即可得出结果． 【详解】解：设这个正整数为， ∵的正平方根是， ∴． ∴比大1的数为， ∴ 的正平方根为． 故选C． 3．(25-26八上·河北石家庄正定县·期中)已知正数的两个平方根是和，那么的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根．利用一个正数的平方根互为相反数的性质，列方程求解x，再计算m的值，即可作答． 【详解】解：∵正数的两个平方根是和， ∴， 即， ∴， 把代入，得， ∴， 故选：C． 4．(25-26八上·吉林长春德惠第八中学·期中)一个正数的两个不同的平方根分别为与，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查平方根的性质，根据平方根的性质，一个正数的两个不同的平方根互为相反数，即它们的和为零，据此列方程求解即可. 【详解】解：∵ 一个正数的两个不同的平方根互为相反数， ∴ ， 化简得 ：， ∴ ， ∴ . 故选： A 题型四 利用平方根解方程（共4小题） 1．(25-26八上·江苏盐城射阳县·期中)求下列各式中的值：． 【答案】 或 【分析】本题考查的知识点是利用平方根的定义解方程，解题关键是熟练掌握平方根的定义． 直接利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解：， ， ，． 2．(25-26八上·山东济南中区育秀中学·月考)解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了根据平方根的定义解方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开方，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：或． 3．(25-26八上·江苏苏州园区青剑湖实验中学·月考)求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了利用平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）方程两边同时乘以2，再同时开平方，即可作答． （2）方程两边同时开平方，再分别算出，，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，． 4．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了根据平方根的定义解方程；熟练掌握平方根的性质是解本题的关键． （1）方程利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解． 【详解】（1）解：开方得：， 解得：，； （2）解：变形得：， 开方得：， 解得：． 题型五 利用算术平方根的非负性求代数式的值（共4小题） 1．(25-26八上·山东枣庄中区·期中)已知，则的算术平方根为（　　） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性，利用平方项和算术平方根的非负性，令各项为零，求出a和b的值，再计算的算术平方根。 【详解】解：∵且，， ∴且， ∴，即，，即， ∴， ∴的算术平方根为， 故选：A． 2．(25-26八上·河北秦皇岛第七中学教育集团·期中)已知、为实数，且，则的平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查非负性，求一个数的平方根，根据非负性，求出的值，进而求出的平方根即可． 【详解】∵ ，，且， ∴，， ∴，即，，即， ∴， ∴ 的平方根为； 故选B． 3．(25-26八上·山东青岛胶州振华中学·月考)若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根和平方的非负性，准确计算是解题的关键． 根据平方和算术平方根的非负性算出m，n计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：B 4．(25-26七上·浙江嘉善县第一中学·期中)若，则等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质，解题的关键是掌握绝对值、算术平方根和平方的非负性． 根据非负数的性质，求出、、的值，再代入式子计算． 【详解】解： ，且， ，， 由得，即， 由得，即， 由得， 将代入，得， ． 故选：C． 题型六 算术平方根的非负性相关求解（共4小题） 1．(25-26八上·安徽宿州部分学校·期中)已知，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，平方根的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次根式的被开方数非负，求出的值，再代入方程求出的值，然后计算，最后求平方根． 【详解】解：由二次根式的定义，被开方数必须非负， 即且， 解得， 代入原方程，， 即， 解得． 则， ∴的平方根为． 故答案为：． 2．(25-26八上·甘肃张掖第一中学·月考)已知，则 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，求代数式的值，先根据，，得出，从而求出，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．(24-25八·海南澄迈县·期中)若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 由题意易得,求出，继而得到，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， ∴， ∴； 故答案为． 题型七 算术平方根非负性与三角形综合（共4小题） 1．(25-26八上·福建南平浦城县·期中)已知的三边长分别为，且满足，则为 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查三角形形状的确定，涉及非负式、非负式和为的条件，根据题意得出的值是解题关键．根据非负数的性质，平方根、绝对值和平方项均非负，其和为零则每个部分均为零，由此求出的值，再根据三角形三边关系判断形状． 【详解】解：∵ ，， ，且， ∴，，， 解得， ∴的三边长分别为， ∵， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰． 2．(25-26八·福建龙岩武平第三中学·期中)已知：a、b、c满足求： (1)a、b、c的值； (2)试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 【答案】(1) (2) 能构成三角形，周长为24 【分析】本题考查平方、算术平方根及绝对值的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握基础知识点是解题关键； （1）根据平方、算术平方根及绝对值的非负性即可得到答案； （2）根据三角形三边关系可判断构成三角形，三边相加求周长． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，， ∴． （2）解：∵， ∴以a、b、c为边能构成三角形， ∴ 三角形的周长为． 3．已知两边长满足，求周长的取值范围． 【答案】 【分析】根据算术平方根和完全平方的非负性求出两边长，再根据三角形三边关系定理确定第三边的取值范围，即可求出周长的取值范围． 本题考查算术平方根和完全平方的非负性，三角形的三边关系等知识点，结合等腰三角形的特点进行分类讨论，利用三边关系进行验证是解题关键． 【详解】解：根据题意，得， 所以， 解得， 所以的第三边的取值范围为，即 所以周长的取值范围为，即． 4．(25-26八上·陕西延安志丹县·期中)平面直角坐标系中，已知点，，，且a，b满足． (1)________，________； (2)若点P是x轴上一点，且三角形的面积等于三角形的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1)，3 (2)或 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，坐标与图形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）利用非负性，得到关于的二元一次方程组，进行求解即可； （2）设点P的坐标为，根据三角形的而积等于三角形的面积的2倍，求出的值，进而求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：； 故答案为：，3； （2）由（1）可知：，， ∵， ∴， 点P在x轴上， 设点P的坐标为， 三角形的面积， 三角形的面积， 三角形的面积等于三角形的面积的2倍， ， ， 解得或， 点P的坐标为或． 题型八 估算算术平方根的取值范围（共4小题） 1．(25-26八上·河北石家庄长安区·期中)一个正方形的面积是11，估计它的边长大小在（    ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根取值范围的估算，掌握算术平方根取值范围的估算方法是解题的关键． 根据正方形的面积公式，边长是面积的平方根，即．再通过比较邻近的完全平方数，估算的范围即可解答． 【详解】解：∵正方形的面积是11， ∴边长为． ∵，且， ∴，即， ∴边长在3和4之间． 故选C． 2．(25-26九上·重庆万州区万州二中教育集团·期中)估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的估算能力， 通过比较平方数确定 的取值范围，然后计算 的区间． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 因此值在2和3之间 故选：C． 3．(25-26八上·江西鹰潭余江区正源学校·月考)在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量，已知某微观粒子的能量E可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量E的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【分析】本题主要考查了估算无理数大小，掌握无理数大小的估算是解题的关键．首先根据题意可知该微观粒子的能量，结合，易得，即可获得答案． 【详解】解：当，时，， ∵， ∴， 故选：D． 4．(25-26八上·河南南阳宛城区官庄镇第一中学·月考)由下表可得精确到百分位的近似值是，结合上述方法，估计面积等于的正方形的边长的值（结果精确到）是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算算术平方根的取值范围，根据题中方法解答即可求解，掌握估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴面积等于的正方形的边长的值精确到十分位的近似值是， 故选：． 题型九 与算术平方根有关的规律探索题（共4小题） 1．(25-26八上·甘肃张掖肃南裕固族自治县康乐明德学校·月考)小明发现根据小明的发现，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B 2．(24-25七下·辽宁大连高新园区·期末)已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的小数点移动规律是解题的关键． 根据已知条件，利用算术平方根的小数点移动规律逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，故此选项不符合题意； B、∵，∴，故此选项符合题意； C、∵，∴，∴，故此选项不符合题意； D、∵，∴，∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．(24-25七下·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，则（    ） A．0.161 B．0.508 C．16.1 D．50.8 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的变化规律，正确找出一般规律是解题关键．通过观察表格数据，发现当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应向右（或向左）移动一位，据此规律求解即可得． 【详解】解：由表格可知，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应向右（或向左）移动一位， ∵， ∴， 故选：B． 4．(25-26八上福建莆田擢英中学·期中)已知，，，，…，依上述规律，（　　） A．2023 B．2025 C．1012 D．1013 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根定义的应用，数字规律的探索．根据式子得出，，，，由此得出规律，即可得出答案． 【详解】解：，，，…， ， 故选：D． 题型十 平方根与立方根概念综合（共4小题） 1．(25-26八上·江苏扬州江都华君外国语学校·期中)给出下列4个说法：①只有正数才有平方根；②2是4的平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④27的立方根是其中，正确的有（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根和立方根的定义，理解平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义，逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：∵0和正数都有平方根， ∴①错误， ∵是的一个平方根， ∴②正确， ∵平方根等于它本身的数只有， ∴③正确， ∵的立方根是3， ∴④错误， 故选：C． 2．(25-26八上·福建泉州惠安县第四片区·期中)下列说法不正确的是（    ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．的算术平方根是 D．的立方根是 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的概念，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据平方根、算术平方根和立方根的性质判断各选项是否正确即可得出． 【详解】∵的平方根是， ∴ A正确，故该选项不符合题意； ∵ 任何实数都有立方根，是实数，有立方根， ∴ B不正确，故该选项符合题意； ∵ 的算术平方根是， ∴ C正确，故该选项不符合题意； ∵的立方根是， ∴ D正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 3．(25-26八上·河南平顶山宝丰县·期中)下列说法正确的是（    ） A．任何数都有平方根 B．16的算术平方根是4 C．体积为17的正方体棱长是 D．一个数的立方根等于它本身，这个数是0 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义和立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．非负数有平方根，负数无平方根，故错误； B．16的算术平方根为4，正确； C．体积为17的正方体棱长是，故错误； D．一个数的立方根等于它本身，这个数是，故错误． 故选：B． 4．(25-26八上·江苏宿迁钟吾初级中学·月考)下列说法不正确的是（  ） A．的算术平方根是 B． C．的平方根是 D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的概念，注意区分立方根与平方根． 根据算术平方根、平方根和立方根的定义判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A．0的算术平方根是0，正确，不符合题意； B．，正确，不符合题意； C．25的平方根是，正确，不符合题意； D．∵，∴9的立方根不是3，而是，故原说法不正确，符合题意． 故选D． 题型十一 与立方根有关的规律探索（共4小题） 1．(25-26八上·山西临汾永和县部分学校·月考)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根与被开方数的关系，掌握这个是解题的关键． 根据立方根与被开方数的关系：被开方数的小数点每向左或向右移动三位，它的立方根也相应地向左或向右移动一位，选择即可． 【详解】解：， ． 故选：D． 2．(25-26八上·上海曹杨二中附属江桥实验中学·期中)已知，，，，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案． 【详解】解：由，得； ∵，， 故 故答案为：． 3．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根，正确掌握相关的定义与性质是解题的关键． 利用立方根的性质结合已知数据得出答案即可． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 4．(25-26八上·广东潮州饶平县·期中)已知：，，，则 . 【答案】 【分析】本题考查立方根的估算．抓住是整数是解题关键． 将原式化为，据此即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为： 题型十二 算术平方根与立方根综合（共4小题） 1．(25-26八上·江苏连云港东海县·期中)已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了立方根、平方根及算术平方根，熟知立方根、平方根及算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义即可解决问题； （2）先求出的值，再结合平方根的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：的立方根是3， ， ， 的算术平方根是4， ， ∴； （2）解：当，时，， ∵36的平方根是， 的平方根是． 2．(25-26八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中)已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， ，， ， 即a，x的值分别为，25， 负数y的立方根与它本身相同， ． （2）解：当，时，， 的算术平方根为． 3．(25-26八上·广东梅州兴宁宋声学校·月考)已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 4．(25-26八上·四川泸州合江县第五片区·期中)若，且的算术平方根为的立方根为，求：的平方根与立方根． 【答案】的平方根是，立方根是． 【分析】本题考查算术平方根的非负性，算术平方根，平方根，立方根，根据算术平方根的非负性求出的值，进而得到的值，再根据算术平方根的定义及立方根的定义求出的值，代入计算，最后利用平方根与立方根的定义即可求解． 【详解】解：根据题意得，解得， 则， ∵的算术平方根为的立方根为， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根是，立方根是． 题型十三 判断是否为无理数（共4小题） 1．(25-26八上·河南南阳西峡县·期中)在给出的一组数：，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数的类型是解题的关键． 根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数是否为无理数，然后统计个数． 【详解】解：∵ 无理数是无限不循环小数， ∴是无理数；是无理数（不是完全平方数）；是有理数（有限小数）；是无理数（不是完全立方数）；是有理数（分数）；是有理数（循环小数）；是无理数（无限不循环小数）， ∴ 无理数有4个：，， ，． 故选：B． 2．(25-26八上·安徽宿州泗县·期中)下列各数中，、、、、、0.8181818，无理数的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐个判断每个数是否为无理数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是开方不尽数，是无理数； 中含有无理数，是无理数； ，是整数，属于有理数； 是循环小数，属于有理数； 0.8181818是有限小数，属于有理数。 ∴无理数有和，共2个。 故选：C． 3．(25-26八上·河南鹤壁浚县五校联考·期中)在实数（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数是（   ）． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是无理数，根式等，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：（相邻两个1之间0的个数逐次加是无理数，共4个． 故选：B． 4．(25-26八上·江苏常州天宁区某校·期中)在中，是无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无限不循环小数． 无理数是无限不循环小数．通过判断每个数是否为有理数（整数、分数、有限小数或循环小数）来确定无理数的个数． 【详解】解：1是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 中含无理数π，是无理数； 0是整数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是有限小数，是有理数； 是循环小数，是有理数； 是分数，是有理数； ，是分数，是有理数； ∴无理数有2个：和． 故选：B． 题型十四 无理数估算（共3小题） 1．(25-26八上·福建漳州诏安县·期中)若a，b均为正整数，且，，则的最大值是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键． 先找到，取值范围，进而可求的最大值即可． 【详解】解：∵，即； ，即， 又，均为正整数，且要使最大， 最大取3，最大取2， 的最大值是5， 故选：B． 2．(25-26八上·河北石家庄新乐·期中)若，且是两个连续的整数，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，立方根，利用夹逼法可得，即得，进而得到，，即得到，再根据立方根的定义即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， 又∵，且是两个连续的整数， ∴，， ∴， ∵， ∴的立方根是 故选：． 3．(25-26九上·重庆渝北中学校·月考)已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数大小估算，不等式的性质．先估算得出，则，不等号两边同时加上即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 故选：． 题型十五 无理数整数部分相关计算（共5小题） 1．(25-26八上·四川成都·期中)已知的整数部分是，小数部分是，则的值是（  ） A．−3 B．​ C．3 D．​ 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的估算，通过估算的值，确定的整数部分a 和小数部分b，然后代入表达式计算即可． 【详解】解：∵ ，即 ， ∴ ， ∴整数部分，小数部分 ， ∴ ． 故选：C． 2．(25-26八上·广东梅州五华县·期中)已知，则n的小数部分是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算．先计算，确定的范围，从而得到整数部分，再求小数部分． 【详解】解：， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ 的整数部分为6， ∴ 小数部分为． 故选：D． 3．(25-26八上·河南平顶山郏县·期中)已知的整数部分是，的小数部分是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的整数部分的有关计算，求代数式的值． 通过估算和的范围，确定的整数部分和的小数部分，再计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的整数部分为 12， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 4．(25-26八上·福建漳州龙海区·期中)已知的立方根是，的算术平方根是，的整数部分是．求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，平方根，立方根，算术平方根的应用，无理数的估算，根据题意求得的值是解题的关键． 根据立方根，算术平方根，无理数的估算，确定的值，再求代数式的平方根即可求解． 【详解】解：由条件可知，， ； ， ； 是的整数部分， 又， ； ， 的平方根是． 5．(25-26八上·江苏徐州铜山区·期中)我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，4.13的小数部分为． (1)_________，_________，的小数部分_________； (2)已知，其中是整数，且，则的相反数是_________； (3)设的小数部分为，求的值． 【答案】(1)2，2， (2) (3)1 【分析】本题考查了无理数的估算，理解题意是解此题的关键． （1）估算出，，并结合，即可得解； （2）估算出，从而可得，结合题意可得，，求出，再由相反数的定义即可得解； （3）估算出，结合题意可得，估算出，得出，代入所求式子计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴的小数部分； 故答案为：2，2，； （2）解：∵， ∴，即， ∴， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数是； 故答案为：； （3）解：∵， ∴，即， ∵的小数部分为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ． 题型十六 实数的分类（共4小题） 1．(25-26八上·江苏泰州姜堰区·期中)把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，（每两个1之间多增加1个0），，，． (1)正数集合：{          …} (2)整数集合：{          …}； (3)无理数集合：{          …}； (4)平方不大于本身的数的集合：{          …}． 【答案】(1)，，，，π (2)，0， (3)（每两个1之间多增加1个0）， (4)，0 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据正数的定义，进行作答即可； （2）根据整数分为正整数，负整数和0，进行作答即可； （3）根据无限不循环小数是无理数，进行作答即可； （4）根据平方不大于本身的数为大于等于0且小于等于1的数，进行判断即可． 【详解】（1）解：，； 故正数集合：{，，，，π…}； （2）整数集合：{，0，…}； （3）无理数集合{ （每两个1之间多增加1个0），…} （4）平方不大于本身的数的集合：{，0…}． 2．(25-26八上·江苏徐州沛县·期中)把下列各数填在相应的横线上 ，，，，，，，， 有理数：__________________________________________________ 无理数：__________________________________________________ 【答案】，，；，，，， 【分析】本题考查了有理数和无理数的概念，解题的关键是熟知：有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称；无理数，也称为无限不循环小数．判断一个数是有理数还是无理数，关键看它能否化为有限小数或无限循环小数，能则为有理数，不能则为无理数． 【详解】解：是整数，是分数，是分数，均属于有理数， ，，，，均属于无理数， 即有理数：，，； 无理数：，，，，， 故答案为：，，；，，，，． 3．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，，0.31． 有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}； 正实数集合：{ …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数的分类、求立方根、求算术平方根，先根据立方根与算术平方根的定义进行化简，再根据实数的分类法则即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， 故有理数集合：{，3.14，，0，，0.31}； 无理数集合：{，，，}； 正实数集合：{，3.14，，，0.31}． 4．(24-25八上·贵州贵阳第二十一中学教育集团·月考)把下列各数填入相应的集合内：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩…（相邻两个之间的个数逐次加），⑪（填序号） 有理数集合：{ ……} 无理数集合：{ ……} 负实数集合：{ ……}． 【答案】① ④ ⑥ ⑧ ⑨ ⑪ ；② ③ ⑤ ⑦ ⑩；① ② ⑤ ⑦ ⑨ ⑪ 【分析】本题主要考查了对实数进行正确地分类，关键是能准确理解并运用以上知识．根据实数的概念进行逐一分类、辨别即可． 【详解】解：根据实数的概念可得， 有理数集合：{① ④ ⑥ ⑧ ⑨ ⑪ ……} 无理数集合：{② ③ ⑤ ⑦ ⑩……} 负实数集合：{① ② ⑤ ⑦ ⑨ ⑪……}． 故答案为：① ④ ⑥ ⑧ ⑨ ⑪ ；② ③ ⑤ ⑦ ⑩；① ② ⑤ ⑦ ⑨ ⑪ 题型十七 实数与数轴结合（共4小题） 1．(25-26八上·辽宁沈阳浑南区·期中)如图，若数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，则表示的点应在线段（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的大小估计， 先估算出，然后根据数轴上点的位置即可得出答案． 【详解】解： ， ， ， 点代表数， 点代表数， 表示的点应在线段上， 故选：D． 2．(25-26八上·江苏盐城射阳县·期中)如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)的值为； (3)的算术平方根为． 【分析】（1）根据题意可知比小2，即可求解； （2）结合（1），把的值代入计算即可； （3）根据绝对值和算术平方根的非负性，可得，，可得，即可得，求算术平方根即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∴实数的值是． 故答案为：． （2）解：∵， ∴ ． ∴的值为． （3）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴的算术平方根为． 【点睛】本题考查实数与数轴，绝对值，代数式求值，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，求算术平方根． 3．(25-26八上·河北唐山乐亭县·期中)如图，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2)1 (3)2 【分析】本题考查数轴上两点的距离公式，实数的混合运算，非负数的性质，求一个数的立方根． （1）由题意可直接求出的值是； （2）将（1）所求的值代入计算即可； （3）根据相反数的定义可得出，再根据绝对值和算术平方根的非负性可求出，，进而可求出的立方根． 【详解】（1）解：实数m的值是． 故答案为：； （2） ． ． （3）∵与互为相反数， ∴ ∴， ∴， ∴， 则的立方根为． 4．(25-26八上·江西抚州第二实验学校、湖南中学联考·期中)实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根的性质、绝对值，实数的加减运算，实数与数轴等知识，掌握这些知识是关键； （1）由数轴知，且，结合实数的加法与减法法则即可完成； （2）利用（1）所得及平方根、立方根的性质、绝对值的意义化简即可． 【详解】（1）解：由数轴知：，且， 则， ∴，， 故答案为：；；； （2）解：∵，， ． 题型十八 实数比较大小（共4小题） 1．(25-26八上·四川成都石室联合中学·月考)比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根的估算，根据实数的性质，运用比差法计算是解题的关键． 先估算，则，再由作差法得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴， ∴，即， 故答案为：． 2．(25-26八上·湖南衡阳衡山县前山片联考·期中)比较大小： （填入>、或）． 【答案】> 【分析】本题考查实数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．计算两数的差，判断差正负，若差大于零，则被减数大；若差等于零，两数相等；若差小于零，则减数大． 【详解】解： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： >． 3．(25-26八上·江苏宿迁沭阳县乡镇期中联考·期中)比较大小： （填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较． 比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：因为， 所以． 故答案为：． 4．(25-26八·上海进才实验学校·月考)比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的大小比较，通过分子有理化将差式转化为分式形式，利用分母大小比较分式值的大小． 【详解】设 ，， 对 分子有理化： ， 对 分子有理化： ， 由于 ，因此 ， 故 ，即 ， 所以 ． 故答案为<． 题型十九 实数的混合运算（共4小题） 1．(25-26八上·福建泉州安溪县官桥中学·)计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根、有理数的乘方、立方根、绝对值的运算，熟练掌握各类运算的定义和法则是解题的关键．先分别计算算术平方根、乘方、立方根、绝对值，再进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 2．(25-26八上·河北石家庄栾城区·期中)计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根与立方根，化简绝对值，再计算加减即可； （2）先计算算术平方根与立方根，化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 3．(25-26八上·江苏南京建邺区金中河西·期中)计算 (1)． (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）首先化去带根号的部分，然后进行实数的加减法运算即可； （2）首先化去带根号的部分，去掉绝对值符号，有理数的乘方，然后进行实数的加减法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．(25-26八上·江苏徐州铜山区·期中)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算算术平方根和立方根，再计算除法，最后计算减法即可得解； （2）先计算乘方、绝对值、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二十 程序设计与实数运算（共4小题） 1．(25-26八上·四川乐山马边彝族自治县·期中)小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键．根据流程图分别代入计算，根据计算结果判断即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴的倒数为， ∴， 故选：A． 2．(25-26八上·陕西安康旬阳县·期中)如图，小辰用计算机设计了一个数值转换器，当输入为64时，输出是（  ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键． 将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可． 【详解】解：当时，的立方根为，4的算术平方根为，是有理数； 2的算术平方根为， 故选：B． 3．(24-25八上·辽宁沈阳和平区·期末)按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ）    A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键． 根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，3的平方根是，是无理数，输出为y， ∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是． 故选：B． 4．如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入的值为32，那么输出的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查程序设计与实数运算，求立方根，求算术平方根． 根据程序框图，将代入，按照运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的算术平方根为， ∴输出的值为． 故选：C． 题型二十一 新定义下的实数运算（共4小题） 1．(25-26八上·山西运城临猗县·期中)定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A．3 B． C． D．3 【答案】D 【分析】此题考查了实数的混合运算，新定义的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据新定义的运算法则和实数的混合运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．(25-26八上·上海徐汇区·期中)定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、实数的混合运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据新运算的定义进行计算即可． 【详解】解：由定义，， 代入 ，，得： ． 故答案为：10． 3．(25-26八·湖南岳阳弘毅新华中学·期中)定义一种新运算“”，，例如：，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、解一元一次方程，准确的计算是解决本题的关键． 根据新运算的定义，将转化为代数表达式，然后建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， ， ∴ 解得． 故答案为：． 4．(25-26八上·上海民办兰生学校·期中)表示不大于 的最大整数，如 ，则 【答案】 【分析】本题考查新定义，估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义，理解新定义的意义是正确解答的关键． 根据新定义得，，，，，，，，，……，，再进行计算即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，，……，， ∴ ． 故答案为：． 题型二十二 实数运算的实际应用（共4小题） 1．(23-24八·内蒙古鄂尔多斯东胜区·期末)巴特尔制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)巴特尔能将贺卡不折叠就放入此信封吗?请通过计算给出判断． 【答案】(1)长方形信封的长为，宽为； (2)巴特尔能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【分析】本题考查了算术平方根的应用，以及无理数的估算，利用算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长是解题的关键． （1）先设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【详解】（1）解：设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， ∴，负值舍去， ，， 答：长方形信封的长为，宽为； （2）解：巴特尔能将这张贺卡不折叠就放入此信封， 由题意得：面积为的正方形贺卡的边长是， ， ∴信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴巴特尔能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 2．根据下图所示的对话内容回答下列问题： (1)求魔方的棱长． (2)求长方体纸盒的长． 【答案】(1)魔方的棱长为 (2) 【分析】本题考查立方根的应用，解决本题的关键是熟记立方根的定义． （1）设魔方的棱长为．根据题意列出方程，由立方根的性质即可解答； （2）设长方体纸盒的长、宽、高分别为，根据题意列出方程，由立方根的性质即可解答． 【详解】（1）设魔方的棱长为． 由题意，得， 解得， 所以魔方的棱长为． （2）设长方体纸盒的长、宽、高分别为， 由题意，得， 解得， 所以长方体纸盒的长为． 3．(24-25八·广西梧州藤县·期末)综合实践 今年1月16日，距离地球最近的外行星火星冲日，冲日是说火星、地球和太阳排成近似一条直线（如图所示）．冲日期间，火星距离地球最近、最亮和整夜可见．请根据下表相关的数据信息解答下列各题： 行星 质量m 绕太阳公转的轨道半径 绕太阳的公转周期T 地球 年 火星 年 (1)计算的值； (2)计算火星绕太阳的公转周期；（公式：，结果保留一位小数．参考数据：） (3)估算相邻两次火星冲日的时间间隔t．（公式：） 【答案】(1) (2)约年 (3)年 【分析】（1）根据有理数的除法计算即可； （2）根据公式，变形后，代入估算即可； （3）根据公式，变形后，代入估算即可； 本题考查了有理数的除法，立方的计算，算术平方根的计算，公式的变形计算，熟练掌握运算法则，正确进行公式变形是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得 （2）解：由公式：， 得， 又，，年， 故， 又， 故（年）． （3）解：由， 得（年）． 4．(24-25八上·辽宁大连瓦房店·期中)“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． (1)【知识生成】 请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）： 方法一：______；方法二：______； (2)【得出结论】 根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为______； (3)【知识迁移】 根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数，满足：，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了平方根的实际应用，列代数式． （1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即，图②中的阴影部分的正方形的边长等于，即面积为； （2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系； （3）由（2）中的等量关系即可求解． 【详解】（1）解：方法一：运用大正方形的面积减去四个矩形的面积得到阴影部分的面积， 方法二：阴影部分的正方形的边长等于，得到阴影部分的面积， 故答案为：；； （2）解：由（1）得代数式，，之间的等量关系为： ， 故答案为：； （3）解：由（2）可得． 或． 题型二十三 实数中规律探索问题（共4小题） 1．(25-26八上·安徽宿州部分学校·期中)观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 2．(25-26八上·上海虹口区五校·期中)观察下列各式：①，②，③，④，…，利用你观察到的规律解决下列问题： (1) ， ； (2)计算的值． 【答案】(1)， (2)2024 【分析】本题主要考查了代数式规律、实数的运算等知识点，发现式子的变化规律是解题的关键． （1）根据已有式子类比、归纳即可解答； （2）先利用（1）的规律化简原式，然后再计算即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， …， ，． 故答案为：，． （2）解： ． 3．(24-25八·安徽亳州·期中)观察下列等式． 第1个：； 第2个：； 第3个：； …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)___________； (2)写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干所给式子进行计算即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律即可； （3）利用（2）中得出的规律，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵第1个：； 第2个：； 第3个：； …… ∴； （2）解：由（1）可得第个等式为：； （3）解： ． 4．(23-24八上·云南昭通·期末)观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式；； 第四个等式：…… 探索规律，解答下列问题： (1)用含的式子表示第个等式； (2)若代数式的值为正整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给等式各部分的变化规律，用含n的式子表示第n个等式是解题的关键． （1）根据所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）依据（1）中发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）观察所给等式各部分的变化规律可知 第个等式为：； （2）由（1）可知 则原式 因为的值是正整数，且为整数． 所以或或． 则或或． 故正整数的值为或或． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数的开方 题型1 利用平方根的定义判断等式是否成立（常考） 题型13 判断是否为无理数 题型2 求一个数的平方根 题型14 无理数估算 题型3 已知一个数的平方根求代数式的值 题型15 无理数整数部分相关计算（重点） 题型4利用平方根解方程（常考） 题型16 实数的分类 题型5 利用算术平方根的非负性求代数式的值（重点） 题型17 实数与数轴结合 题型6 算术平方根的非负性相关求解（重点） 题型18 实数比较大小（基础） 题型7 算术平方根非负性与三角形综合 题型19 实数的混合运算（必考） 题型8 估算算术平方根的取值范围 题型20 程序设计与实数运算 题型9 与算术平方根有关的规律探索题 题型21 新定义下的实数运算 题型10平方根与立方根概念综合（高频） 题型22 实数运算的实际应用 题型11 与立方根有关的规律探索 题型23 实数中规律探索问题 题型12 算术平方根与立方根综合 题型一 利用平方根的定义判断等式是否成立（共4小题） 1．(25-26八上·山西运城闻喜县·期中)下列式子中表示“9的平方根是”的是（） A． B． C． D． 2．(25-26八上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)“的平方根是”的数学表达式是（    ） A． B． C． D． 3．(25-26八上·江苏江阴南菁实验学校·月考)9的平方根是，用数学符号表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．(25-26八上·河南郑州第二中学·期中)以下语句其写成式子正确的是（   ） A．7是49的算术平方根，即 B．7是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即 D．是49的平方根，即 题型二 求一个数的平方根（共4小题） 1．(25-26八上·陕西渭南临渭区多校·期中)的平方根是（   ） A． B． C． D． 2．(25-26八上·四川渠县中学·期中)的平方根是（   ） A． B．8 C． D． 3．(25-26八上·上海龙茗中学·期中)的平方根为 ； 4．(25-26八上·宁夏银川外国语实验学校·期中)的算术平方根是 ，49的平方根是 ． 题型三 已知一个数的平方根求代数式的值（共4小题） 1．(25-26八上·江苏无锡宜兴·期中)若一个正数的两个不同的平方根分别为与，则这个正数为（　　） A．9 B．8 C．3 D．1 2．(25-26八上·上海民办兰生学校·期中)若一个正整数的正平方根是 ，则比这个正整数大 1 的数的正平方根是 （     ） A． B． C． D． 3．(25-26八上·河北石家庄正定县·期中)已知正数的两个平方根是和，那么的值是（    ） A．2 B． C． D． 4．(25-26八上·吉林长春德惠第八中学·期中)一个正数的两个不同的平方根分别为与，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型四 利用平方根解方程（共4小题） 1．(25-26八上·江苏盐城射阳县·期中)求下列各式中的值：． 2．(25-26八上·山东济南中区育秀中学·月考)解方程： 3．(25-26八上·江苏苏州园区青剑湖实验中学·月考)求下列各式中的值： (1)； (2)． 4．解下列方程： (1)； (2)． 题型五 利用算术平方根的非负性求代数式的值（共4小题） 1．(25-26八上·山东枣庄中区·期中)已知，则的算术平方根为（　　） A．1 B．3 C． D． 2．(25-26八上·河北秦皇岛第七中学教育集团·期中)已知、为实数，且，则的平方根是（   ） A．2 B． C． D． 3．(25-26八上·山东青岛胶州振华中学·月考)若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．(25-26七上·浙江嘉善县第一中学·期中)若，则等于（    ） A． B．1 C． D． 题型六 算术平方根的非负性相关求解（共3小题） 1．(25-26八上·安徽宿州部分学校·期中)已知，则的平方根是 ． 2．(25-26八上·甘肃张掖第一中学·月考)已知，则 3．(24-25八·海南澄迈县·期中)若，则 ． 题型七 算术平方根非负性与三角形综合（共4小题） 1．(25-26八上·福建南平浦城县·期中)已知的三边长分别为，且满足，则为 三角形． 2．(25-26八·福建龙岩武平第三中学·期中)已知：a、b、c满足求： (1)a、b、c的值； (2)试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 3．已知两边长满足，求周长的取值范围． 4．(25-26八上·陕西延安志丹县·期中)平面直角坐标系中，已知点，，，且a，b满足． (1)________，________； (2)若点P是x轴上一点，且三角形的面积等于三角形的面积的2倍，求点P的坐标． 题型八 估算算术平方根的取值范围（共4小题） 1．(25-26八上·河北石家庄长安区·期中)一个正方形的面积是11，估计它的边长大小在（    ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 2．(25-26九上·重庆万州区万州二中教育集团·期中)估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3间 D．3和4之间 3．(25-26八上·江西鹰潭余江区正源学校·月考)在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量，已知某微观粒子的能量E可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量E的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 4．(25-26八上·河南南阳宛城区官庄镇第一中学·月考)由下表可得精确到百分位的近似值是，结合上述方法，估计面积等于的正方形的边长的值（结果精确到）是（    ） A． B． C． D． 题型九 与算术平方根有关的规律探索题（共4小题） 1．(25-26八上·甘肃张掖肃南裕固族自治县康乐明德学校·月考)小明发现根据小明的发现，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25七下·辽宁大连高新园区·期末)已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25七下·内蒙古呼和浩特赛罕区·期中)利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，则（    ） A．0.161 B．0.508 C．16.1 D．50.8 4．(25-26八上福建莆田擢英中学·期中)已知，，，，…，依上述规律，（　　） A．2023 B．2025 C．1012 D．1013 题型十 平方根与立方根概念综合（共4小题） 1．(25-26八上·江苏扬州江都华君外国语学校·期中)给出下列4个说法：①只有正数才有平方根；②2是4的平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④27的立方根是其中，正确的有（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 2．(25-26八上·福建泉州惠安县第四片区·期中)下列说法不正确的是（    ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．的算术平方根是 D．的立方根是 3．(25-26八上·河南平顶山宝丰县·期中)下列说法正确的是（    ） A．任何数都有平方根 B．16的算术平方根是4 C．体积为17的正方体棱长是 D．一个数的立方根等于它本身，这个数是0 4．(25-26八上·江苏宿迁钟吾初级中学·月考)下列说法不正确的是（  ） A．的算术平方根是 B． C．的平方根是 D．的立方根是 题型十一 与立方根有关的规律探索（共4小题） 1．(25-26八上·山西临汾永和县部分学校·月考)已知，则（   ） A． B． C． D． 2．(25-26八上·上海曹杨二中附属江桥实验中学·期中)已知，，，，则的立方根是 ． 3．已知，，则 ． 4．(25-26八上·广东潮州饶平县·期中)已知：，，，则 . 题型十二 算术平方根与立方根综合（共4小题） 1．(25-26八上·江苏连云港东海县·期中)已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 2．(25-26八上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中)已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 3．(25-26八上·广东梅州兴宁宋声学校·月考)已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 4．(25-26八上·四川泸州合江县第五片区·期中)若，且的算术平方根为的立方根为，求：的平方根与立方根． 题型十三 判断是否为无理数（共4小题） 1．(25-26八上·河南南阳西峡县·期中)在给出的一组数：，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．(25-26八上·安徽宿州泗县·期中)下列各数中，、、、、、0.8181818，无理数的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．(25-26八上·河南鹤壁浚县五校联考·期中)在实数（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数的个数是（   ）． A．5 B．4 C．3 D．2 4．(25-26八上·江苏常州天宁区某校·期中)在中，是无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十四 无理数估算（共3小题） 1．(25-26八上·福建漳州诏安县·期中)若a，b均为正整数，且，，则的最大值是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．(25-26八上·河北石家庄新乐·期中)若，且是两个连续的整数，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 3．(25-26九上·重庆渝北中学校·月考)已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型十五 无理数整数部分相关计算（共5小题） 1．(25-26八上·四川成都·期中)已知的整数部分是，小数部分是，则的值是（  ） A．−3 B．​ C．3 D．​ 2．(25-26八上·广东梅州五华县·期中)已知，则n的小数部分是（　　） A． B． C． D． 3．(25-26八上·河南平顶山郏县·期中)已知的整数部分是，的小数部分是，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．(25-26八上·福建漳州龙海区·期中)已知的立方根是，的算术平方根是，的整数部分是．求的平方根． 5．(25-26八上·江苏徐州铜山区·期中)我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，4.13的小数部分为． (1)_________，_________，的小数部分_________； (2)已知，其中是整数，且，则的相反数是_________； (3)设的小数部分为，求的值． 题型十六 实数的分类（共4小题） 1．(25-26八上·江苏泰州姜堰区·期中)把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，（每两个1之间多增加1个0），，，． (1)正数集合：{          …} (2)整数集合：{          …}； (3)无理数集合：{          …}； (4)平方不大于本身的数的集合：{          …}． 2．(25-26八上·江苏徐州沛县·期中)把下列各数填在相应的横线上 ，，，，，，，， 有理数：__________________________________________________ 无理数：__________________________________________________ 3．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，，0.31． 有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}； 正实数集合：{ …}． 4．(24-25八上·贵州贵阳第二十一中学教育集团·月考)把下列各数填入相应的集合内：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩…（相邻两个之间的个数逐次加），⑪（填序号） 有理数集合：{ ……} 无理数集合：{ ……} 负实数集合：{ ……}． 题型十七 实数与数轴结合（共4小题） 1．(25-26八上·辽宁沈阳浑南区·期中)如图，若数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，则表示的点应在线段（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 2．(25-26八上·江苏盐城射阳县·期中)如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 3．(25-26八上·河北唐山乐亭县·期中)如图，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 4．(25-26八上·江西抚州第二实验学校、湖南中学联考·期中)实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示． (1)用“”“”或“”填空：b_____0，_____0，_____0； (2)化简：． 题型十八 实数比较大小（共4小题） 1．(25-26八上·四川成都石室联合中学·月考)比较大小： ．（填“”、“”或“”） 2．(25-26八上·湖南衡阳衡山县前山片联考·期中)比较大小： （填入>、或）． 3．(25-26八上·江苏宿迁沭阳县乡镇期中联考·期中)比较大小： （填“”或“”或“”）． 4．(25-26八·上海进才实验学校·月考)比较大小： ． 题型十九 实数的混合运算（共4小题） 1．(25-26八上·福建泉州安溪县官桥中学·)计算： 2．(25-26八上·河北石家庄栾城区·期中)计算： (1)； (2) 3．(25-26八上·江苏南京建邺区金中河西·期中)计算 (1)． (2)． 4．(25-26八上·江苏徐州铜山区·期中)计算： (1)； (2)． 题型二十 程序设计与实数运算（共4小题） 1．(25-26八上·四川乐山马边彝族自治县·期中)小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为（   ） A． B． C．3 D． 2．(25-26八上·陕西安康旬阳县·期中)如图，小辰用计算机设计了一个数值转换器，当输入为64时，输出是（  ） A． B． C．2 D． 3．(24-25八上·辽宁沈阳和平区·期末)按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ）    A． B． C．3 D． 4．如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入的值为32，那么输出的值为（   ） A． B．2 C． D． 题型二十一 新定义下的实数运算（共4小题） 1．(25-26八上·山西运城临猗县·期中)定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A．3 B． C． D．3 2．(25-26八上·上海徐汇区·期中)定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是 3．(25-26八·湖南岳阳弘毅新华中学·期中)定义一种新运算“”，，例如：，则关于x的方程的解是 ． 4．(25-26八上·上海民办兰生学校·期中)表示不大于 的最大整数，如 ，则 题型二十二 实数运算的实际应用（共4小题） 1．(23-24八·内蒙古鄂尔多斯东胜区·期末)巴特尔制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)巴特尔能将贺卡不折叠就放入此信封吗?请通过计算给出判断． 2．根据下图所示的对话内容回答下列问题： (1)求魔方的棱长． (2)求长方体纸盒的长． 3．(24-25八·广西梧州藤县·期末)综合实践 今年1月16日，距离地球最近的外行星火星冲日，冲日是说火星、地球和太阳排成近似一条直线（如图所示）．冲日期间，火星距离地球最近、最亮和整夜可见．请根据下表相关的数据信息解答下列各题： 行星 质量m 绕太阳公转的轨道半径 绕太阳的公转周期T 地球 年 火星 年 (1)计算的值； (2)计算火星绕太阳的公转周期；（公式：，结果保留一位小数．参考数据：） (3)估算相邻两次火星冲日的时间间隔t．（公式：） 4．(24-25八上·辽宁大连瓦房店·期中)“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． (1)【知识生成】 请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）： 方法一：______；方法二：______； (2)【得出结论】 根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为______； (3)【知识迁移】 根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数，满足：，，求的值． 题型二十三 实数中规律探索问题（共4小题） 1．(25-26八上·安徽宿州部分学校·期中)观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 2．(25-26八上·上海虹口区五校·期中)观察下列各式：①，②，③，④，…，利用你观察到的规律解决下列问题： (1) ， ； (2)计算的值． 3．(24-25八·安徽亳州·期中)观察下列等式． 第1个：； 第2个：； 第3个：； …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)___________； (2)写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数） (3)计算：． 4．(23-24八上·云南昭通·期末)观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式；； 第四个等式：…… 探索规律，解答下列问题： (1)用含的式子表示第个等式； (2)若代数式的值为正整数，求整数的值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $