4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 习题训练-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 【教材课后习题】 1.对于函数与： （1）通过计算或借助绘图工具求这两个函数图象的交点个数； （2）比增长得快，通过分析它们的图象解释其含义． 2.试比较函数，，的增长情况. 【教材习题答案】 1.答案：（1）图见解析，交点个数为2 （2）见解析 解析：（1）由图可知，两函数图象在第一象限内有两个交点，故交点个数为2， 且随着增大，的值总大于的值，两图象再无交点， 当时，，所以此时两函数图象也没有交点， 综上所述：两函数图象共有两个交点. （2）由图可知当时，比增长得快， 2.答案：答案见解析 解析：由指对数函数图象知，函数相对于函数的增长是先快后慢； 根据幂函数、对数函数的图象特征知，函数与在上都单调递增， 但它们的增长速度不同，函数相对于函数的增长是先快后慢，随x越大增长越慢， 当时，函数与函数都递增，它们有一个交点， 因此函数相对于函数的增长是先慢后快，随x越大增长越快， 于是函数相对于函数的增长是先慢后快； 根据幂函数、指数函数的图象特征知，函数，在上都单调递增，但它们的增长速度不同， 令，取对数得，即， 而函数对于函数的增长是先快后慢，即函数是先递增后递减， 又当时，，当时，，且， 当x趋近于正无穷大时，趋近于0， 因此有两个不等的正实根，即函数，的图象在上有两个交点， 于是函数相对于函数的增长是先快后慢. 【定点变式训练】 1.下列函数中，增长速度越来越慢的是( ) A. B. C. D. 2.函数，，，的图象所对应的曲线的序号依次为( ) A.①②③④ B.①③②④ C.②③①④ D.①④③② 3.据统计，某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万、0.4万、0.76万，则该地区这三个月的用工人数y（万人）关于月数x的函数关系近似是( ) A. B. C. D. 4.当时，，，的大小关系是( ) A. B. C. D. 5.某企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元.从今年起，计划每人的年薪比上一年增加.另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同.若以今年为第一年，那么第x年企业付给工人的工资总额y（万元）表示成x的函数，其表达式为( ). A. B. C. D. 6.（多选）函数，，在区间上( ) A.的递减速度越来越慢 B.的递减速度越来越慢 C.的递减速度越来越慢 D.的递减速度慢于的递减速度 7.水滴进玻璃容器，如图所示（设单位时间内进水量相同），那么水的高度h是如何随时间t变化的？请填上与容器匹配的图象的序号. a：_________；b：_________；c：_________；d：_________. 8.已知函数和的大致图象如图所示，设这两个函数的图象相交于点和，且. （1）请指出图中曲线，分别对应哪一个函数； （2）若，，且，指出a，b的值，并说明理由. 【变式训练答案】 1.答案：B 解析：一次函数的增长速度不变，选项A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中的对数函数的增长速度越来越慢，符合题意.故选B. 2.答案：B 解析：①是，②是，③是，④是，故选B. 3.答案：C 解析：对于A，当时，，与0.76差距较大，故排除A； 对于B，当时，，与0.76差距较大，故排除B； 对于D，当时，，与0.76差距较大，故排除D.故选C. 4.答案：B 解析：方法一：在同一坐标系中画出函数，，的图象如图所示，在区间内从上往下依次是，，的图象，.故选B. 方法二：取，经检验知B正确.故选B. 5.答案：A 解析：第一年企业付给工人的工资总额为（万元）， 第二年企业付给工人的工资总额为（万元），…， 以此类推，第x年企业付给工人的工资总额应为 （万元）. 6.答案：ABC 解析：函数，，在区间上的图象如图所示， 在上，的递减速度越来越慢，故A正确； 的递减速度越来越慢，故B正确； 的递减速度越来越慢，故C正确； 的递减速度与的递减速度的快慢随x的不同取值而有所不同，故D错误.故选ABC. 7.答案：（3）；（2）；（4）；（1） 解析：容器a和b的水面上升速度是匀速的，且容器a的水面上升得快，因此a对应（3），b对应（2），容器c的水面开始是缓慢上升，后来上升得快，而容器d的水面是开始上升得快，中间较缓慢，后来加快，因此c对应（4），d对应（1）. 8.答案：（1）对应函数，对应函数 （2），；理由见解析 解析：（1）由指数函数与幂函数的增长速度，知对应函数，对应函数. （2）依题意知，是使两个函数的函数值相等的自变量x的值. 当时，，即； 当时，； 当时，. 因为，，，，所以，即. 因为，，， ，，， ，，， 所以，即. 学科网（北京）股份有限公司 $