第四章 4 指数函数、幂函数对数函数增长的比较&专题探究3 指数函数与对数函数-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019)

压轴挑战 (1)证明：若函数y=log,x(0<a<1)具有性质P(k),且函数定义 城为(0，+x),则存在eR,对任意的x∈(0，+x),都有 fkx)=f八x)+k,即log(kx)=logx+k,∴.log.(kx)-log.x=k, logk=k心1g,a 一=k,klog a=1,故klog a为定值 (2)解：函数y=logx+logx(>1,b>1)具有性质P(2),定义 域为(0，+)，∴k=2,∴存在素∈R,对任意的xe(0,+g),都 有2x)=/八x)+2,即log(2）+l%(2x)=ogx+logx+2, :log.x+logx+log.2+log2=log.x+logx+2.log.2+log 2=2. 1 log,a+log6 gagb2,六ga-（,b2,ga+6gb= (logza+logb1 2loga·logb≤2× ,令log2a+logb=t,t≤2× （5）,≥2或1≤0又0>1，b>1l0ga+log,6>0.1≥2 即loga+log,b≥2，log(ab)≥2，∴.ab≥4.当且仅当oga= logb,即a=b=2时.等号成立，故ab的最小值为4. §4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 白题 基础过关 1,B解析：根据表格提供的数据可知，自变量的变化量相同 时，函数值的增长越来越快，即函数增长非常快，所以指数增 长符合，即B选项符合.故选B. 2.ABC解析：如图.作出三个函数在区间(0，+)上的图象 根据指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质可知，在区 间(0，+x)上(x)的递增速度越来越快，故A正确：g(x)的 递威速度越来越慢，故B正确：h(x)的递减速度越来越慢， 故C正确：g(x)的递减速度快于h(x)的递诚速度，故D错 误，故选ABC = 0 1=g) 3.D解析：对于A,幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及 一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度 不能比较：对于B,C,当0<a<1时.显然不成立：对于D,当 a>1.n>0时，一定存在0，使得当x>x。时，总有a>x>ogx, 但若去掉限制条件“a>1,n>0”,则结论不一定成立故选D. 4.ABC解析：对于A,指数函数y=2为增函数，2”< 2”,A错误：对于B,指数函数y=0.5为减函数，.0.5"> 0.5,B错误：对于C,对数函数y=1唱2x在定义域上为增函 数，∴gm<ogn,C错误：对于D,对数函数y=log5x在定 义域上为减函数，∴log5m>log5n,D正确故选ABC, 5.D解析：根据基本初等函数的图象与性质可知，一次函数 增长的速度不变，不满足题意：要满足调整后初期利润增长 迅速，如果是二次函数，那么图象必须开口向上，而此时在二 次函数对称轴的右侧增长的速度是越来越快，没有慢下来的 可能，不符合要求：要满足调整后初期利润增长迅速，如果是 指数函数，那么底数必是大于1的数，而此时指数函数增长的 速度也是越来越快的，也不满足要求：对于对数函数，当底数 必修第一册·BS 大于1时，对数函数增长的速度先快后慢，符合要求故选D. 6.①②解析：在同一平面直角坐标系内画出y,=2-1,ym= 1o%x,yc=x的函数图象如图，当x>1时，指数函数y,=2-1 的增长速度大于幂函数ye=x的增长速度和对数函数y= 1gx的增长速度，当x=1时，y,=2-1=1,ye=1i=1,故当 x>1时，A总走在最前面，①正确：当0<x<1时，由图象可知C 总走在最前面，②正确：当x=4时，y=log4=2,yc=4行=2， 当x=16时，yn=lgl6=4,e=16=4,故4<x<16时，B走在 C前面，当x>16时，B走在C后面，③错误故答案为①②. y=2- =Ing. 4 7.解：(1)C,对应的函数为g(x)=3x,C,对应的函数为 八x)=2. (2)f八3)=8，g(3)=9,f3)<g(3),又f八4)>g(4).3< x2<4.从图象上可以看出，当x>x2时，∫(x)>g(x), 八100)>g(100).又g(100)>g(3).∴f(100)>g(100)> g(3)>/3) 专题探究3指数函数与对数函数 黑题 专竖张化 (loga lx-11,x<3. 1.B解析：因为f(x)= 且f(a)=1,所以 (2-1-7,x≥3， ,a-11=l或27=l解得a=-1或4=4.当a=-1 a<3 (a≥3， 时，(3-a)=f(4)=2-7=1:当a=4时，3-a)=f(-1)= 1og1-1-11=1.综上可得3-a)的值为1故选B. 2.ABC解析：对于A,由10号=√10·10=√2x3=6】 故对F时侣层数 确：对于C.由指对互换可知.因为10°=2.10°=3.那么a= s26=车3由换联公式可得号-老号2，故C正商：对 于D,因为a=lg2,b=lg3,所以b=lg2,lg3≠g6,故D错 误故选ABC 3.5解析：设og2a=logb=lo%65=k,则a=2,b=3,5=6,故 ab=2·3=(2×3)=6=5.故答案为5 4.解：(1)原式=g1,25+lg8+3+lg2(g2+lg5)+lg5= g(1.25×8)+4+lg2g10+lg5=g10+4+lg2+g5=1+4+1=6, (2)原式=（）广八x(受)x()+0x之m 3-2 5.A解析：y=log2x是增函数，a=log,0.3<log21=0. y=2“是增函数，b=23>2°=1.又c=0.32=0.09, ,.0<c<1..b>e>a. 黑白题054 ①重难点拨 本题考查三个数的大小比较方法，考查指数函数和对数函戴 性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题，根据题意， 构造合道的对数函数和指数面数，利用指对函数的单调性判 定a,b的范国是关键， 6.D解折因为a=(倍)-()()广=1.即a1 3 b=logs 7=1-log,7=1-ig 5s1,c=log,7=1-log,7=1- .又6t30,所管瓷智所以，所以 lg 7 故选D. 7.A解析：因为y=gx在(0.+x)上为增函数，且2<3<4， 所以hg2ch3ch%4,即号<hg3<2,因此a<2因为 (3)=3=243,4=256,所以(3）<4，而函数=在 (0,+x)上是增函数，因此34<4.因为y=lgx在(0，+0)上 为增函数，且3c4<,所以属3c4<3,即？ g,4<.因此<心子综上所述，a>e6故选 &C解折：结合y=g(+)与y=(日广+1可知，两函数的 单调性一定相反，排除选项A;因为y=lg(x+1)恒过定点 (0.0)=(仁)广+1恒过定点(0.2，排除选项，故 选C. 9.B解折：不等式8≤}g,变形为8-极≤子，当a>1 时，令x=了则8-吸=2-g写=2+g,3>2.此时原不 等式不成立；当0<a<1时，令f八x)=8”-logx,由y=8在 (0,兮]上单调适增，y=g在(0，写]小上单满递减.所以 y=8-g在(0，写]上单调递增，放当x=号时)取得 最大值为2-以分，由2-g}≤子，解得a≥)，所以 )≤a<L故选B 10.2解析：由x1∈[-2，-1]，32∈[0,1]，使得f八x)≥ g).可知x)≥g():因为八x)=(分)广-m在 [-2,-1]上单调递减，则f(x)=f(-1）=2-m:又因为 g(x)=1n(x2+1)的定义域为R,且4=x2+1在[0,1]上单调 递增，y=lnu为增函数，所以g(x)=ln(x2+1)在[0.1]上单 调递增，则g(x)n=g(0)=ln1=0:可得2-m≥0，解 得m≤2，所以实数m的最大值为2.故答案为2. 1.(1)证明：双曲函数f(x)=2+ 2g(x)=25-2 ,侧 -1(广(）=t (2)解：函数y=2在R上单调递减，y=-2在R上单调递 参考答案 增，而函数y=2“在R上单调递增，所以函数g(x)在R上 单调递增，不等式g(9+30)≤g(3+12·3)→9+30≤3+ 12·3,则(3)2-12·3+27≤0，即3≤3≤9，解得1≤ x≤2，所以原不等式的解集为[1,2]. (3)解：不等式a·g(x)≥x)+} 2m.22≥2+2 2≥ 2 2=a(2-1)≥2+2+1，当x≥1时.2-1>0.则a≥ 1 2产+2+21+2依题意Vx≥1，a≥1+2恒成立. 22-1 22- 22-11 令2+2=1≥4,2”=1-2.1+2+2 22-1(4-2)2-1 函数y=1+3-4在[4，+0)上单调递增，则当1=4时， 3 、国出1+1≤、，即当x1的，2-取得最大值 22-1 7 7 7 ，则a≥子，所以实数a的取值范围是a≥子 12.解：(1)是，理由：设任意x12∈(0，+)，且1<x2,因为定 义在(0，+)上的函数g(x)为减函数，所以g(x,)>g(), 所以g(x,)）-g(无)>0因为x1,出2e(0,+）,且x,<x2,所以 0空1测场名0所以)g>恒成立， 故g(x)为(0，+)上的T函数 （2油/)-)>得/->) lo唱x因为f八x)为(0，+e）上的T函数，故h(x)=f(x)- logx在(0，+x)上为减函数.因为f八2)=5，所以h(2)=4. 因为f八2x)>og(32x),所以f(2x)-lg(2x）>log16=4,即 h(2x)>h(2),所以0<2x<2,解得0<x<1,则f2x)> log,(32x)的解集为(0,1). (3)k()=(g+)lg:为[片2]上的T函数.所以 ()归(g,n)e在[号，2]上为诚函数设1= 1ogx∈[-1,1]，则g(t)=2+(a’-1)t在[-1,1]上为减函 数期≥1，即≤-1，因为y=2为R上的端函数。 且(-1)'=-1，所以a≤-1，即a的取值范围为(-，-1] 第四章章末检测 1.C解析：log(g)=0,1gsx=4°=1，x=5=5.故 选C 2.A解析：函数(x)=log2x,J(a+1)=唱2(a+1)<2,所以 log2(a+1)<lg4,所以0<a+1<4,即-1<a<3,故选A 3.B解桥(g）=%)=-2.所以财()）-2) 子，放选B 4A解折：函数八)的定义线为(，）口 (是，0)u(o.。)u(片+)且f-x) 黑白题055§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 白题基础过美 限时：30min 题组1几类函数模型的增长差异 司调整后利润y与时间x的关系，可选用 1.·(2025·河南新乡高一月考)在一次数学 ( 实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如 A.一次函数 B.二次函数 下一组数据： C.指数型函数 D.对数型函数 5 7 9 11 13 6.(2025·江苏苏州高一月考)A,B,C三个 物体同时从同一点出发同向而行，位移y关于 21.11 21.99 30.03 101.96 749.36 时间x(x>0)的函数解析式分别为y1=2"-1, 在以下四个函数模型中，a,b为常数，最能反 yn=logx,yc=x,则下列结论中，所有正确的 映x,y间函数关系的可能是 ( 序号是 A.y=ax+b B.y=a'+b ①当x>1时，A总走在最前面： C.y=ax+b D.y=log x+b ②当0<x<1时，C总走在最前面； 2.·(多选)(2025·辽宁盘锦高一月考)函数 ③当x>4时，B一定走在C前面. f(x)=2,g(x)=logx,h(x)=x1,在区间 7.函数f(x)=2和g(x)=3x的图象如图 (0,+)上 ( A.八x)的递增速度越来越快 所示，设两函数的图象交于点A(x,y,), B.g(x)的递减速度越来越慢 B(x2,y2),且x1<x2 C.h(x)的递减速度越来越慢 (1)请指出图中曲线C,C2分别对应的函数： (2)结合函数图象，比较∫(3)，g(3), D.g(x)的递减速度慢于h(x)的递减速度 3.以下四种说法中，正确的是 ( f(100),g(100)的大小 A.幂函数的增长速度比一次函数的增长速 度快 B.对任意的x>0,x”>logx C.对任意的x>0,a>logx D.不一定存在x,当x>x时，总有a>x>ogx 题组2几类函数模型的图象、性质及其应用 4.·(多选)若0<m<n,则下列结论错误的是 ( A.2m>29 B.0.5m<0.5 C.log,m>logan D.logosm>logosn 5.*(2025·黑龙江哈尔滨高一月考)某公司 为了适应市场需求对产品结构做了重大调 整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来 越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公 第四章黑白题087 专题探究3指数函数与对数函数 黑题 专题强化 限时：40min 题组1 指数与对数的运算 题组2利用指数函数、对数函数的性质比较大小 1.(2025·山东淄博高一月考)已知函数 5.若a=log,0.3,b=23,c=0.32,则a,b,c的 log lx-11,x<3, 大小关系是 () f八x) 且fa)=1,则f(3-a) 21-7,x≥3， A.b>c>a B.e>b>a C.c>a>b D.b>a>c 的值为 6.*(2025·河南郑州高一月考)若a= ( A.0 B.1 C.-3 D.0或1 (后)广，b=lg7c=lg,则a,6e的大小 5 3 2.(多选)(2025·广东东莞高一期末)已知 关系为 () 10°=2,10=3，则下列运算正确的是( A.b<a<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a A.10=6 B.10=6 7.。(2025·山东烟台高一期末) 5 C. 设a=log3,b=4c=log,4,则a =log;2 D.ab=lg 6 b,c的大小关系为 ( 3.(2025·福建福州高一月考)已知log2a= A.a>e>b B.c>a>b log3b=log65,则ab= C.a>b>e D.b>a>e 4.计算： 题组3指数函数、对数函数的综合应用 (1)lg1.25+3lg2+3w2+(1g2)2+lg2·lg5+ 8.(2025·陕西渭南高一期末》 g5: 已知a>0且a≠1，则函数y= (205×5)x6)10(3-2)+ x,(+1)与y=(日)广+1在同一平面直角坐 标系中的图象大致是 必修第一册·BS黑白题088 9m(25·安微合肥高一月考)当xe(o,】 12.#(2025·广东湛江高一期末)已知函数 f(x)的定义域DC(0,+),且对任意 时，不等式8"≤)+lg,x恒成立，则实数a的 1eD,当<x,时代)-)>g 取值范围是 恒成立，则称(x)为D上的T函数， A.o,g]B.g)c31)D.[g3] (1)若定义在(0，+∞)上的函数g(x)为减函 10.(2025·陕西渭南高一月考)f(x)= 数，判断g(x)是否为(0，+∞)上的T函 数，并说明理由； (2广-m,g(x)=n(+1),若e (2)若∫(x)为(0，+)上的T函数，且 [-2,-1],3x2∈[0,1]，使得f(x)≥g(x2), f2)=5,求不等式f(2x)>log(32x)的 则实数m的最大值是 解集； 11.整(2025·浙江宁波高一期中)已知函数 (3)若k(x)=(ogx+a3)1logr为[22]上 )2+2 8(x)=22 2 的T函数，求a的取值范围 (1)证明：[fx)]2-[g(x)]2=1: (2)判断函数g(x)的单调性（不用证明），并 解关于x的不等式g(9+30)≤ g(3+12·3): (3)若Vx≥1，不等式a·g(x)≥x)+号恒 成立，求实数a的取值范围 第四章黑白题089