第三章 概率的进一步认识 章末能力达标题 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第三章 概率的进一步认识 一、单选题 1．小明练习射击，共射击100次，其中有85次击中靶子，由此可估计，小明射击一次击中靶子的概率约为（    ） A． B． C． D． 2．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 射中九环以上次数 18 68 86 168 332 831 射中九环以上频率（保留两位小数） 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　） A． B． C． D． 3．盒子里装有除颜色外都相同的5个黑球和若干个白球，摇匀后从中随机取出一个球，记下颜色后再把它放回盒子中，不断重复试验40次，其中10次取到黑球，估计盒子中白球的个数是（    ） A．15个 B．20个 C．25个 D．28个 4．如图，在3×3的方格中，已有两个小正方形被涂黑，若在其余空白小正方形中任选一个涂黑，则所得图案是一个轴对称图形的概率是（　　） A． B． C． D． 5．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（　　） A． B． C． D． 6．某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜．则当x=（　　）时，游戏对甲乙双方公平． A．3 B．4 C．5 D．6 7．在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 8．一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个白球和个黑球．随机地从袋中摸出一个球记录下颜色，再放回袋中摇匀．大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在0．2附近，则的值为（  ） A．2 B．4 C．8 D．10 二、填空题 9．从，，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点落在第三象限的概率是 ． 10．如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是 ． 11．某航班每次飞行约有100名乘客，若飞机失事的概率为p=0．000 05，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿40万元人民币． 平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取 元保险费才能保证不亏本． 12．在一个暗箱里放有个除颜色外其它完全相同的球，这个球中红球只有个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，由此可以推算出的值大约是 ． 13．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有 棵． 三、解答题 14．今年“”互联网促销期间，某网红店开展有奖促销活动，凡进店购物的顾客均有转动8等分圆盘的机会，（如图），如果规定当圆盘停下来时指针指向1就中一等奖，指向3或8就中二等奖，指向2或4或6就中三等奖；指向其余数字不中奖． (1)转动转盘，中一等奖、二等奖、三等奖的概率分别是多少？ (2)6月18日这天有1600人参与这项活动，估计这天获得一等奖的人数是多少？ 15．某种麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 试验的麦粒数 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数 94 475 954 1906 4748 发芽的频率 0.94 0.955 0.946 0.954 0.9496 (1)上表中的______，______； (2)任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是______（精确到0.01）； (3)若某校劳动基地需要这种麦苗9500棵，估计需要准备多少麦粒进行发芽培育． 16．“十一”黄金周期间，某购物广场举办迎国庆有奖销售活动，每购物满100元，就会有一次转动大转盘的机会，某顾客获得一次转动大转盘的机会，请你根据大转盘来计算： (1)该顾客享受七折优惠的概率； (2)该顾客得10元现金奖的概率； (3)该顾客中奖得现金的概率是多少？ 17．甲乙两人用如图所示的两个转盘做游戏，A转盘被分成一个半圆，两个四分之一圆；B转盘被等分成三份．游戏规则如下：将A盘转出的数字作为被减数，B盘转出的数字作为减数；如果差为负数则甲胜；若差为正数，则乙胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 18．转动下面这些可以自由转动的转盘，当转盘停止转动后，估计“指针落在白色区域内”的可能性大小，并将转盘的序号按事件发生的可能性从小到大的顺序排列． 19．小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 15 14 23 19 15 14 (1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； (2)小明说：“根据这次试验结果可知，在每个掷骰子试验中出现3点朝上的概率最大．”小亮说：“若投掷1000次，则出现5点朝上的次数正好是150次．”小明和小亮的说法正确吗？为什么？ (3)小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数小于5的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据频率=频数÷数据总数计算即可得答案． 【详解】解：∵共射击100次，其中有85次击中靶子， ∴射中靶子的频率为， ∴小明射击一次击中靶子的概率约为， 故选C 2．A 【分析】根据大量的试验结果稳定在左右即可得出结论． 【详解】解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在附近， 这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键． 3．A 【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率求数量，根据题意，求出摸出黑球的概率，进而求出总数量，再用总数量减去黑球的数量即可． 【详解】解：由题意，得，摸到黑球的概率为， ∴球的总量为：个， ∴白球的数量为：个； 故选：A． 4．C 【分析】分别把7个空白处涂黑，判断所得图案是否为轴对称图形，再根据概率公式进行计算. 【详解】在其余空白小正方形中任选一个涂黑， 如上图，把①②③处任意一处涂黑时，图案为轴对称图形， 故所得图案是一个轴对称图形的概率． 故选：C． 【点睛】本题考查了概率公式，轴对称图形.熟记概率公式和能识别轴对称图形是解决此题的关键. 5．A 【分析】直接利用“Ⅱ”所示区域所占圆周角除以360，进而得出答案． 【详解】解：由扇形统计图可得，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确理解概率的求法是解题关键． 6．B 【分析】根据题意表示出摸出是绿球与黑球的概率，令两概率相等求出x的值即可． 【详解】解：根据题意得：=，即2x=20-x-2x， 解得：x=4． 故选B． 【点睛】此题考查了游戏的公平性，以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 7．D 【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断． 【详解】解：①若两次求助都用在第1题， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1， 因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ②若在第1第2题各用一次求助， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 因此第一题答对的概率为：， 第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ③两次求助都用在第2题， 画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，    共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：. ∵， ∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大， 故选：D． 【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 8．C 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：依题意有：=0.2， 解得：n=8． 故选：C． 【点睛】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=是解题关键． 9． 【分析】列举出所有情况，看在第三象限的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】解：∵从，，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标， ∴所有的点为：（，），（，2），（，2），（，），（2，），（2，），共6个点；在第三象限的点有（，），（，），共2个； ∴该点落在第三象限的概率是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了列举法求概率，解题的关键是正确的列出所有可能的点，以及在第三象限上的点，再由概率公式进行计算，即可得到答案． 10． 【分析】根据黑色区域四个，白色区域四个，落在黑色或白色区域等可能，对计算求解即可． 【详解】解：∵黑色区域共四个，白色区域共四个， ∴小球落在黑色石子区域内的概率是：． 故选A． 【点睛】本题考查了几何概率．解题的关键在于正确的计算． 11．20 【详解】每次约有100名乘客，如飞机一旦失事，每位乘客赔偿40万人民币，共计4000万元，由题意可得一次飞行中飞机失事的概率为P=0.00005，所以赔偿的钱数为40000000×0.00005=2000元，即可得至少应该收取保险费每人 =20元． 12． 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：由题意可得，×100%=20%， 所以a=35， 答：此可以推算出a的值大约是35， 故答案为35． 【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 13．1600 【分析】本题考查折线统计图，频率估计概率，利用样本的概率估计总体数量，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据图形可以发现，频率在0.8附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据成活概率估算总体数量即可． 【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率约为0.8， ∴这种树苗成活的概率为0.8， ∴这种树苗移植2000棵，成活的大约有：（棵）， 故答案为：1600． 14．(1)，， (2)200人 【分析】本题主要考查了概率． （1）分别找到1，3或8，2或4或6的份数即可得到概率； （2）总人数乘以获得一等奖的概率即可． 解题的关键是掌握概率公式：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 【详解】（1）解：由题意知，，，， 即中一等奖、二等奖、三等奖的概率是分别是，，； （2）解：由（1）知，获得一等奖的概率是， （人， 估计获得一等奖的人数为200人． 15．(1)， (2)0.95 (3)10000 【分析】（1）根据种子数、发芽的粒数、发芽率之间的关系求解即可； （2）根据概率与频率的关系解答即可． （3）用9500除以发芽的概率即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是0.95（精确到0.01）； （3）解：． 答：估计需要准备10000麦粒进行发芽培育． 【点睛】本题考查了频数、频率、总数之间的关系，用频率估计概率，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决本题的关键． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用七折优惠所占圆心角度数除以360°即可得到答案； （2）利用得10元现金奖所占圆心角度数除以360°即可得到答案； （3）利用中奖得现金所占圆心角度数除以360°即可得到答案． 【详解】（1）享受七折优惠的概率为； （2）得10元现金奖的概率为； （3）中奖得现金的概率为． 【点睛】本题考查等可能事件的概率，熟练掌握概率的公式是解题的关键． 17．这个游戏对双方不公平，理由见详解 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到差为负数和正数的情况，求出对应概率，比较后即可得出答案． 【详解】解：这个游戏对双方不公平，理由如下： 1 2 2 3 3 4 3 由表知，共有12种等可能结果，其中差为负数的有8种结果，差为正数的有4种结果， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏对双方不公平． 【点睛】此题主要考查了游戏的公平性以及概率的求法，主要是通过列举出所有的可能结果是解决问题的关键． 18．按指针落在白色区域可能性的从小到大排序结果为：，，． 【分析】本题主要考查了概率公式，随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 先根据每个转盘中，白色区域占整个转盘面积的比例，求出每个转盘中，转盘停止转动后，指针落在白色区域的概率，再按概率的大小排序即可． 【详解】如图所示，在中，白色区域占整个转盘的， ∴在中，P（指针落在白色区域）=； 同理可得，在中P（指针落在白色区域）=； 在中P（指针落在白色区域）=； ∵， ∴按指针落在白色区域可能性的从小到大排序结果为：，，． 19．(1)； (2)错误，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了模拟试验，概率公式解题的关键是掌握试验中的概率等于所求情况数与总情况数之比；实际概率是经过多次试验后得到的一个接近值． （1）由共做了100次试验，“1点朝上”和“6点朝上”的次数分别为15，14，即可求得“1点朝上”和“6点朝上”的频率． （2）由大量重复实验中频率可以估计概率，可得两位同学的说法不正确； （3）利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解:“1点朝上”的频率为；“6点朝上”的频率为； （2）解：两位同学的说法均错误； 小明的说法错误，因为实验100次的次数较少，只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近，每个点数概率都会趋于相同； 小亮的判断是错误，因为事件发生具有随机性，若投掷1000次，则出现5点朝上的次数不一定正好是150次； （3）解：朝上的点数小于5的概率． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $