精品解析：重庆市荣昌中学校2025-2026学年八年级上学期数学期中试卷

荣昌中学初2026届八年级（上）半期学期调研 数学试题 一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分) 1. 计算：结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此进行计算即可． 【详解】解：， 故选：C 2. 在，，，，中，分式的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的式子），判断每个表达式是否为分式即可． 【详解】解：∵分式是分母中含有字母的式子， ∴分母含字母，是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母含字母和，是分式． ∴分式有个． 故选B． 3. 用下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 2，3，5 B. 8，12，5 C. 5，10，4 D. 3，3，7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件．解题的关键是计算两条短的线段之和是否大于第三条较长线段的长度．根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：A．，不能组成三角形； B．，能组成三角形； C． ，不能组成三角形； D． ，不能组成三角形； 故选：B． 4. 下列说法中，错误的是（ ） A. 七边形的外角和为 B. 三角形的重心是三角形三条中线的交点 C. 有两个角互余的三角形一定是直角三角形 D. 面积相等的两个三角形是全等三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假，熟练掌握全等三角形的性质，直角三角形的性质，多边形的外角和，三角形重心的定义是解题的关键． 根据全等三角形的性质，直角三角形的性质，多边形的外角和和三角形重心的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、任意多边形的外角和均为，该选项正确，不符合题意； B、三角形的重心是三条中线的交点，该选项正确，不符合题意； C、三角形有两个角互余，则第三个角为，∴是直角三角形，该选项正确，不符合题意； D、面积相等的两个三角形不一定全等（如等底等高的三角形面积相等但可能不全等），该选项错误，符合题意． 故选D． 5. 已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0，表示出分式方程的解是解本题的关键． 先求解分式方程，得到解，根据解为负数且分母不为零的条件，列出不等式和排除条件即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴分母， ∴， ∵解为负数， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴且． 故选：B． 6. 如图，点，在上，，．添加一个条件，不一定能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据全等三角形的判定方法（边边边，边角边，角边角，角角边，斜边直角边）求解即可． 【详解】解：， 添加，可以运用角边角判定，故A不符合题意； 添加，可以运用角角边判定，故B不符合题意； 添加，可以运用边角边判定，故C不符合题意； 添加，不能运用边边角判定，故D符合题意； 故选：D ． 7. 如图，是的中线，是的中线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线求面积，掌握三角形中线平分三角形面积是关键 根据三角形中线平分面积得到，则，再根据中线平分面积即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 故选：D ． 8. 下列图形都是由同样大小的正方形按规律拼成的，其中第①个图形有个正方形，第②个图形有个正方形，第③个图形有个正方形，……，按此规律排列下去，则第⑧个图形中正方形的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察图形找出正方形的个数之间数量关系即可解答． 【详解】解：∵第①个图形有个正方形，第②个图形有个正方形，第③个图形有个正方形，……， ∴第个图的正方形的个数为， ∴第⑧个图形中正方形的个数为， 故选． 【点睛】本题考查的图形找规律的计算，根据图形找出规律是解题的关键． 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解决本题的关键． 设规定时间为x天，根据题意，慢马送信时间为天，速度为；快马送信时间为天，速度为．快马速度是慢马速度的倍，据此列方程即可． 【详解】解：设规定时间为x天， ∵慢马所需时间为天， ∴慢马速度为； ∵快马所需时间为天， ∴快马速度为； ∵快马速度是慢马速度的倍， ∴， 故选A． 10. 在多项式（其中）中，对每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，即：为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到，将其化简后结果为，…．下列说法： ①对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果； ②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“绝对换位变换”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，对于新定义的理解及绝对值的性质的应用是解题关键．按照所提供的运算，将所有存在的结果计算，即可解题． 【详解】解：对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算，，故①正确； 对多项式的“数1”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，， 对多项式的“数1”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算，或 对多项式的“数2”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，或对多项式的“数2”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算，， 综上共，，，，共4种结果，故③错误； 其中存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等，故②错误． 故选：B． 二、填空题(本大题共8小题，每小题各4分，共32分) 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，分别计算 和 ，再进行有理数加法运算． 本题主要考查零指数幂和负整数指数幂的计算，掌握其运算法则是关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为.数字0.00092用科学记数法表示是__________． 【答案】9.2×10﹣4． 【解析】 【分析】根据科学记数法的正确表示为,由题意可得0.00092用科学记数法表示是9.2×10﹣4. 【详解】根据科学记数法的正确表示形式可得: 0.00092用科学记数法表示是9.2×10﹣4. 故答案为: 9.2×10﹣4. 【点睛】本题主要考查科学记数法的正确表现形式,解决本题的关键是要熟练掌握科学记数法的正确表现形式. 14. 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据多边形内角和公式，可得方程， 解方程得 ． 15. 如果等腰三角形一边长是5cm，另一边长是8cm，则这个等腰三角形的周长是______________. 【答案】21或18 【解析】 【分析】根据题意要根据腰的情况分类讨论，第一当腰为5cm是计算周长；第二当腰为8cm计算周长. 【详解】解：根据题意可得第一当腰为5cm时，周长为：5+5+8=18； 当腰为8cm时，周长为:8+8+5=21 故答案为21或18 【点睛】本题主要考查等腰三角形的腰的分类讨论，这是数学中最常用的思想，必须掌握理解. 16. 如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 17. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、解分式方程、分式方程的解，理解分式方程的解，掌握一元一次不等式组的解法，正确求出a值是解答的关键，注意分式有意义的条件．先由不等式组的解集求得，再解分式方程得，然后根据分式方程的解为非负整数且得到a的值，进而可求解． 【详解】解：， 解①得， ∵该不等式组的解集为， ∴， 解方程， 去分母得：， 整理得： ∴， ∵分式方程的解为非负整数，且， ∴a的值为0，2，4， ∴所有满足条件的整数a的值之和是， 故答案为：6． 18. 一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为9，则称为“取经数”，此时，规定．例如，2475中，，2475是“取经数”，；又如2375中，，2375不是“取经数”， （1）___________________； （2）对于一个“取经数”，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“取经数”，若是9的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的“取经数”中最大值为_________． 【答案】 ①. 59 ②. 8514 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义“取经数”、整式运算等知识，理解题目中“取经数”的定义是解题关键． （1）根据题干仿写即可得出答案； （2）设N千位、百位、十位和个位上的数字依次为a、b、c、d，则千位、百位、十位和个位上的数字依次为c、d、a、b，且，，根据“取经数”的定义可得，结合为9的倍数，且a、b均不为0，找到符合条件的a、b的值，即可获得答案． 【详解】解：（1）5841中，，5841是“取经数”， ； 故答案为：59； （2）设N千位、百位、十位和个位上的数字依次为a、b、c、d，，则千位、百位、十位和个位上的数字依次为c、d、a、b，且，， ， 为9的倍数，且a、b均不为0， 又，a、b在到中选择， 则当时，满足条件，此时为3168； 当时，满足条件，此时为7623； 当时，满足条件，此时为8514， 又∵取最大值， ∴为8514． 故答案为：8514． 三．解答题：(本大题8个小题，第19题8分，其余每一小题10分，共78分) 19. 计算∶ （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式、平方差公式和单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算平方差公式，然后合并即可； （2）首先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，然后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解下列分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法、步骤和检验是解题关键． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解： 解得， 检验：将代入原分母， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解： 解得， 检验：将代入原分母， ∴是原方程的解． 21. 先化简：，再从，，这几个整数中选择一个你认为合适的的值，代入求值． 【答案】；1 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把合适的a的值代入进行计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵要满足分式有意义， ∴，， ∴，， ∴从中选择， 当时，原式． 22. 如图，分别是的角平分线和高，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高线及角平分线、三角形内角和，由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴ ∴． 23. 如图，已知AB=AC，BD=CE，证明△ABE≌△ACD． 【答案】 解：∵AB=AC，BD=CE， ∴AD=AE． 又∵∠A=∠A， ∴△ABE≌△ACD（SAS）． 【解析】 【分析】已知两边，则我们可以利用SSS或SAS来证明，此处应采用SAS来证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，本题比较简单． 24. 由三边分别相等判断三角形全等的结论，我们知道了用直尺和圆规作一个角等于已知角的办法： 第一步：在下图中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、； 第二步：任意画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； 第三步：以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； 第四步：过点画射线，则 （1）请根据以上作图步骤，完成尺规作图： 已知： 求作：，使得（只画图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 证明：连接， 由作图可得，， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了基本作图—作一个角等于已知角，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）由作图可得，，再利用证明即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 某商店决定购进一批香椿，已知甲种香椿每件的进价比乙种香椿每件的进价少6元，花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等． （1）求甲、乙两种香椿每件的进价； （2）由于畅销，第一批购进的香椿已经售罄，现该商店决定用4320元再购进一批甲、乙两种香椿共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种香椿在第一批进价的基础上9折销售，而乙种香椿比第一批进价提高了，则最多可购买乙种香椿多少件？ 【答案】（1）甲种香椿每件的进价为18元，乙种香椿每件的进价为24元 （2）最多可购买乙种香椿120件 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握总价与单价和数量的关系列方程，列不等式，是解本题的关键． （1）设甲种香椿每件的进价为x元，则乙种香椿每件的进价为元，再利用花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等列方程，再解方程即可； （2）设购买乙种香椿a件，则购买甲种香椿件，利用总费用为4320元，列不等式，再解不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲种香椿每件的进价为x元，则乙种香椿每件的进价为元． 由题意得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则． 答：甲种香椿每件的进价为18元，乙种香椿每件的进价为24元． 【小问2详解】 设购买乙种香椿a件，则购买甲种香椿件． 由题意得， 解得． ∵a为正整数， ∴a的最大值为120． 答：最多可购买乙种香椿120件． 26. 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1）中提炼出了两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“字”模型．请结合模型解决下列问题： （1）如图2，已知：在中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，且，，其余条件与（1）相同，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和性质是关键． （1）根据题意可证，得，由此即可求解； （2）根据题意得到，得，结合题意，设，则，则，由此列式得到，由面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荣昌中学初2026届八年级（上）半期学期调研 数学试题 一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分) 1. 计算：结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在，，，，中，分式的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 用下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 2，3，5 B. 8，12，5 C. 5，10，4 D. 3，3，7 4. 下列说法中，错误的是（ ） A. 七边形的外角和为 B. 三角形的重心是三角形三条中线的交点 C. 有两个角互余的三角形一定是直角三角形 D. 面积相等的两个三角形是全等三角形 5. 已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 如图，点，在上，，．添加一个条件，不一定能证明的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的中线，是的中线，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 下列图形都是由同样大小的正方形按规律拼成的，其中第①个图形有个正方形，第②个图形有个正方形，第③个图形有个正方形，……，按此规律排列下去，则第⑧个图形中正方形的个数为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在多项式（其中）中，对每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，即：为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到，将其化简后结果为，…．下列说法： ①对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果； ②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“绝对换位变换”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题(本大题共8小题，每小题各4分，共32分) 11. 计算：_______． 12. 分解因式：_______． 13. 可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为.数字0.00092用科学记数法表示是__________． 14. 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为______． 15. 如果等腰三角形一边长是5cm，另一边长是8cm，则这个等腰三角形的周长是______________. 16. 如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为_________． 17. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是________． 18. 一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为9，则称为“取经数”，此时，规定．例如，2475中，，2475是“取经数”，；又如2375中，，2375不是“取经数”， （1）___________________； （2）对于一个“取经数”，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“取经数”，若是9的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的“取经数”中最大值为_________． 三．解答题：(本大题8个小题，第19题8分，其余每一小题10分，共78分) 19. 计算∶ （1）； （2）． 20. 解下列分式方程： （1）； （2）． 21. 先化简：，再从，，这几个整数中选择一个你认为合适的的值，代入求值． 22. 如图，分别是的角平分线和高，，求的度数． 23. 如图，已知AB=AC，BD=CE，证明△ABE≌△ACD． 24. 由三边分别相等判断三角形全等的结论，我们知道了用直尺和圆规作一个角等于已知角的办法： 第一步：在下图中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、； 第二步：任意画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； 第三步：以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； 第四步：过点画射线，则 （1）请根据以上作图步骤，完成尺规作图： 已知： 求作：，使得（只画图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 25. 某商店决定购进一批香椿，已知甲种香椿每件的进价比乙种香椿每件的进价少6元，花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等． （1）求甲、乙两种香椿每件的进价； （2）由于畅销，第一批购进的香椿已经售罄，现该商店决定用4320元再购进一批甲、乙两种香椿共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种香椿在第一批进价的基础上9折销售，而乙种香椿比第一批进价提高了，则最多可购买乙种香椿多少件？ 26. 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1）中提炼出了两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“字”模型．请结合模型解决下列问题： （1）如图2，已知：在中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，且，，其余条件与（1）相同，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $