18.3分式的加法与减法 课件-2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦分式的加法与减法，涵盖同分母、异分母分式加减及混合运算。课堂导入通过长方体容积、拖拉机工作效率等实际问题，衔接分式乘除旧知，引出加减运算需求，搭建“实际问题—分数法则类比—分式法则构建”的学习支架。 其亮点在于以类比分数加减法为核心，引导学生抽象出分式运算法则，培养抽象能力。例题注重分子整体加减、结果化简等规范步骤，强化运算能力。设置盲道工期计算等实际问题及分层练习，渗透模型意识，助力学生理解算理，教师可通过此资料提升教学效率。

分式的加法与减法 人教版八年级上册 1 导入新课 想一想： （1）一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的 时,水高多少? 长方体容器的高为 水高为 （2）大拖拉机m天耕地a hm2,小拖拉机n天耕地b hm2,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍? 大拖拉机的工作效率是 hm2/天,小拖拉机的工作效率是 hm2/天,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 倍. 理解并掌握分式加减法则，并会运用它们时行分式的加减运算． 通过类比的方法，经历探索分式加减运算法则的过程，理解其算理． 在活动中培养乐于探究、合作学习的习惯，培养“用数学”的意识和能力． 学 习 目 标 重点 难点 素养 课标要求 1.甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？ 解：甲工程队一天完成这项工程的____， 乙工程队一天完成这项工程的_______ ， 两队共同工作一天完成这项工程的 ____________. 知识点 1 同分母分式的加减法法则 探究新知 4 2. 2009年，2010年，2011年某地的森林面积(单位：公顷)分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？ 解：2011年的森林面积增长率是___________， 2010年的森林面积增长率是__________， 2011年与2010年相比，森林面积增长率提高____________. 观察下列分数加减运算的式子,你想到了什么？ 请类比同分母分数的加减法，说一说同分母的分式应该如何加减? 1.同分母分数加减法的法则如何叙述？ 2.你认为 请计算： 分母不变，把分子相加减. 【同分母的分数加减法的法则】 同分母的分数相加减 【同分母的分式加减法的法则】 同分母分式相加减 分母不变，把分子相加减. 同分母的分式加减法的法则 结论 例 计算： 解：原式 素养考点 同分母分式的加减的计算 归纳总结： 同分母分式的加减，分母不变，分子相加减，当分子是多项式时，先加括号，然后进行计算，结果要化为最简分式或整式. 解:原式 解:原式 注意：把分子相加减是把各个分式的“分子的整体”相加减，即各个分子都要用括号括起来. 注意：结果要化成最简分式！ 例 解:原式 解:原式 注意：①把分子相加减是把各个分式的“分子的整体”相加减，即各个 分子都要用括号括起来. ②结果要化成最简分式. –1 直接说出运算结果. . . . . （1） （2） （3） （4） 计算： 解：原式 解：原式 （1） （2） 方法总结 同分母分式的加减法注意事项. 1.“分子相加减”指将各个分式的“分子的整体”相加减,即当分子是___________时,应先用括号括起来,尤其是分子相减时,应减去分子整体,因此括号不能漏. 2.运算的结果要化成最简分式或整式.   3.分式的分母是互为相反数时，可以将其中一个分母直接提负号，把分母化为完全相同．再根据同分母分式相加减的法则进行运算． 　多项式　 计算： 解：原式= 解：原式= 分母互为相反数时，改变一下运算符号即可变为同分母！ 素养考点 可化为同分母分式的加减法 例 计算: 解： 变式训练 例 计算: 解: 化简: 解: 变式训练 小学 异分母分数的加减法 中学 异分母分式的加减法 转化 转化 同分母分式的加减法 类比探索 知识点 2 最简公分母 类似于分数的通分要找最小公倍数，分式的通分要先确定分式的最简公分母. 小明的转化 小亮的转化 根据分式的基本性质，异分母分式转化为同分母分式，这一过程称为通分. 分式的基本性质 同分母分式相加减 最小公倍数： 4×3×2=24 分数 分式 最小公倍数 最高次幂 单独字母 最简公分母 所有分母必须是公分母的其中一个因数。 如何取最简公分母呢？ 不同的因式 最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数，字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂. 观察上述举例，分析并猜想： 确定分母的最简公分母时，要从 和 分别进行考虑. 数字系数 因式及其指数 数字系数：取各个分母的系数的最小公倍数. 因式及其指数： 最简公分母的因式取相同因式的最高次幂，单独的因式也要成为最简公分母的因式. 定系数定因式 定指数 找最简公分母: x(x-5)（x+5） (x+y)2 (x-y) 异分母的分数如何加减？ 通分，将异分母的分数化为同分母的分数. 知识点3 异分母分式的加减法的法则 想一想 思考： 请计算 ( )， ( ). 异分母分数相加减：分数的通分 依据：分数的基本性质 转化 同分母分数相加减 异分母分数相加减，先通分. 变为同分母的分数，再加减 . 异分母分式的加减 最小公倍数： 4×3×2=24 分数的通分 分式的通分 分数的基本性质 解： 最简公分母是 异分母分式的加减应该如何进行？ 【异分母的分数加减法的法则】 先通分，变为同分母的分数，再加减. 【异分母的分式加减法的法则】 先通分，变为同分母的分式，再加减. 符号表示： 比如： 想一想 先通分，再计算： 5a （x-3)(x+3) （a-2)(a+2) + - - + 转化 最后化为最简分式 例 素养考点 异分母分式的加减的计算 归纳总结： 异分母分式的加减分为两步：第一步通分，化为同分母分式；第二步运用同分母分式的加减法则计算. 解：原式 a2 –4 能分解： a2 –4 =(a+2)(a–2) 其中 (a–2)恰好为第二个分式的分母，所以 (a+2)(a–2)即为最简公分母. 分子相减时，“减式”要添括号！ 解：原式 计算： =x+y 解：原式 = 解：原式 （1） （2） 计算： （1） （2） 解:原式 解:原式 方法总结 异分母分式的加减法的步骤 (1)正确地找出各分式的最简公分母. (2)准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式. (3)通分后进行同分母分式的加减运算. (4)将得到的结果化成最简分式或整式. 数的混合运算的顺序是什么？你能将它们推广，得出分式的混合运算顺序吗？ 分式的混合运算顺序： “从高到低、从左到右、括号从小到大”．　　 知识点4 分式的混合运算 例 计算：　 这道题的运算顺序是怎样的？ 　　　 素养考点 较简单的分式的混合运算 解： 　　对于不带括号的分式混合运算： (1)运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减； (2)计算结果要化为最简分式． 化简 的结果是( ) A.a–b B.a+b C. D. B 计算： =( ) A. B. C. D. A 解：原式= = = 注意：(1-x)=-(x-1) 计算： 分母不同，先化为同分母. 知识点 5 较复杂的异分母分式的加减 解：原式= 先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减. 解：原式= = = 注意：分母是多项式先分解因式 先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减. = 计算： 法一： 原式= 法二： 原式= 把整式看成分母为“1”的分式 分式的加减法的思路 通分 转化为 异分母相加减 同分母 相加减 分子（整式）相加减 分母不变 转化为 结论 例计算：　　 素养考点 较复杂的分式的混合运算 解:原式 解:原式 45 注意：分母是多项式先因式分解 确定最简公分母为x(y+1)(y-1) 例 计算： 解： 较复杂的异分母分式的加减 素养考点 2025/12/10 46 把整式看成分母为“1”的式子 （2）解法1： 解法2： （2） 2025/12/10 47 1.把分母分解因式 分子、分母不能再约分，是最简分式. 1.把分母分解因式； 2.确定最简公分母； 3.正确通分； 4.转化为同分母分式相加减。 2.确定最简公分母(a+3)(a-3) 3.正确通分 4.转化为同分母分式相加减 2025/12/10 48 　　对于带括号的分式混合运算： (1)将各分式的分子、分母分解因式后，再进行计算； (2)先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号内的； (3)计算结果要化为最简分式或整式． 归纳总结 思考：如何计算 ？ 　　请先思考这道题包含的运算，确定运算顺序，再独立完成.　　　 分式的混合运算 知识点 6 解： 先乘方，再乘除，最后加减. 分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 计算结果要化为最简分式或整式． 结论 分式的混合运算 （1）进行混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左往右的方向，先算乘方，再算乘除，最后算加减； （2）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算. 混合运算的特点：是整式运算、因式分解、分式运算的综合运用，综合性强. 注意： 解： 分式混合运算 素养考点 例 计算： 2025/12/10 54 方法总结 分式混合运算应注意的四个方面 (1)有理数的运算律对于分式同样适用. (2)注意运算顺序,结果一定要化为最简分式或整式. (3)分子或分母的系数是负数时,要把“-”提到分式的前面. (4)当分式的分子、分母是多项式时,可先将分子、分母因式分解,再运算. = 解：(按运算顺序) 原式 = (利用乘法分配律) 原式 用两种方法计算： 例根据规划设计，某市工程队准备在开发区修建一条长 1120m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10m，从而缩短了工期，假设原计划每天修建盲道x m，那么。 (2)实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？ (1)原计划修建这条盲道需多少天？实际修建这条盲道用了多少天？ 解析：(1)原计划修建需 天. 实际修建需 天. (2)实际修建比原计划缩短了 (天). 素养考点 利用分式的混合运算解决问题 在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时v1 km，下坡时的速度为每小时v2 km，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时( ). A. km B. km C. km D.无法确定 C 1.化简(a–1)÷( –1)•a的结果是(　　) A.–a2 B.1 C.a2 D.–1 A 2.化简： . 链接中考 1.计算 ，结果正确的是(　　) A．1 B．x C． D． 2. 化简+ 结果是 ． A 链接中考 我们一起来 吧! 1.化简代数式 的结果是(　 　) A. x+1 B. x-1 C. D. A 2.计算: =________.  基础巩固题 3.计算: 解: 基础巩固题 解：原式= = = = 4.计算： 基础巩固题 = = = 解：原式= 5.计算: 解: 基础巩固题 6.分式 的最简公分母为__________.  　2y3-8y　 7.化简 的结果是________.  基础巩固题 8.计算： 基础巩固题 9.计算: 解:原式= 基础巩固题 1.计算： 解：原式= 能力提升题 2.若 对任意正整数n都成 立,则a-b=______.  　1　 能力提升题 解：原式= 3.计算： 能力提升题 1.先化简，再求值： 其中x=3. ∵x=3 ∴原式= 解：原式= 拓广探索题 (5) 2.繁分式的化简： 解法1:原式 拓广探索题 解法2： 分式的加减法法则 注意事项： ①若分子是多项式，则加上括号，然后再加减； ②计算结果一定要化成最简分式或整式. 课堂小结 2.分式的混合运算法则 先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的. 1.分式加减运算的方法思路： 通分 转化为 异分母相加减 同分母相加减 分子（整式）相加减 分母不变 转化为 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 谢 谢 再 见 下课了! 80 谢谢观看 初中数学人教版八年级上册 Equinox Nicholas Gunn The Sacred Fire 262470.03 XXX - 酷我音乐 $