6.3离散型随机向量的均值、离散型随机变量的方差练习-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

离散型随机向量的均值、离散型随机变量的方差 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知的分布列如下表所示，设，则( ) 1 2 3 4 m A. B. C. D. 2.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，，，，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( ) A.， B.， C.， D.， 3.不透明袋子里装有大小、材质完全相同的3个白球、8个黑球，现从中每次随机不放回地抽取1个小球，直到选中第1个黑球为止，则选取次数X的数学期望( ) A. B. C. D. 4.离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是( ) A. B. C. D. 5.设随机变量的分布列为，=，，，分别为随机变量的数学期望与方差，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 6.已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为： 甲产业收益分布列 收益X/亿元 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 乙产业收益分布列 收益Y/亿元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 则下列说法正确的是( ) A.甲产业收益的期望大，风险高 B.甲产业收益的期望小，风险小 C.乙产业收益的期望大，风险小 D.乙产业收益的期望小，风险高 二、选择题：本题共4小题.每小题6分.共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7.已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是( ) A. B. C. D. 8.第19届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日在我国杭州举行，中国队斩获201枚金牌，111枚银牌，71枚铜牌，稳居榜首.为普及亚运会知识，某校组织了亚运会知识竞赛，试题中设置了多选题(每题共有4个选项，其中有2个或3个正确选项)，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知某道多选题甲完全不会，随机选择1个选项或2个选项或3个选项，该题有两个正确选项的概率为，记X为甲的得分，则( ) A.若甲选择1个选项，则 B.若甲选择2个选项，则 C.若甲选择3个选项，则 D.若甲选择1个、2个、3个选项的概率均为，则甲得5分的概率为 9.已知离散型随机变量X，Y满足，其中X的分布列如下表所示，则( ) X P A. B. C. D. 10.赣南脐橙是江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品，被誉为“中华名果”.近年赣南脐橙受黄龙病影响，脐橙产品合格率有所降低.现有6个脐橙，其中有3个不合格产品，每次从中抽取1个且不放回，设X为抽到第2件合格品时的抽取次数，则( ) A.X的取值为2，3，4，5 B.时，共有108种抽取顺序 C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 11.一个箱子里有4个相同的球，分别以标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望________. 12.已知，为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量X，则____________． 13.已知一个袋中装有（除颜色外完全相同）5个红球，个黑球.现从袋中随机摸出3个球，设X表示摸出红球的个数，若，则__________. 14.已知随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 P _______________. 四、解答题：本题共1小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生的答题情况，获奖学生人数统计如下： 奖项/组别 个人赛 团体赛获奖 一等奖 二等奖 三等奖 高一 20 20 60 50 高二 16 29 105 50 （1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率； （2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和期望； （3）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人来自高一的人数为，来自高二的人数为，试判断与的大小关系.（结论不要求证明） 1.答案：D参考答案 解析：利用概率和为1，可得，则根据题意得：，因为，所以，故选：D. 2.答案：B 解析：由所给数据的等间距性和对应频率的对称性可知四个选项求得的样本平均数都是2.5， 因为1，2，3，4四个数据中1和4偏离样本平均数较大，所以它们出现的频率越高，则标准差越大，故选B. 3.答案：B 解析：易得选取次数X的可能取值有1，2，3，4，，，，， 所以.故选B. 4.答案：D 解析：由题设，则，A对； 由，则，联立，所以，则，D错； ，B对； ，C对.故选：D. 5.答案：C 解析：由分布列的性质可知，，解得. 对于A，，故A错误； 对于B，，，故B错误； 对于C，2，故C正确； 对于D，，，故D错误.故选C. 6.答案：A 解析：由题意可得，； ，，故，，即甲产业收益的期望大，风险高，故选：A 7.答案：AD 解析：由题意，，故A正确； 则，故C错误； 而，故B错误； 则，故D正确.故选：AD. 8.答案：AB 解析：由该题有两个正确选项的概率为可知，该题有三个正确选项的概率为. 选项A：若甲选择1个选项，则X的所有可能取值为0，2，且， ，所以，故A正确. 选项B：若甲选择2个选项，则X的所有可能取值为0，2，5，且，，，所以，故B正确. 选项C：若甲选择3个选项，则X的所有可能取值为0，5，且，，所以，故C错误. 选项D：由A，B，C可知，甲得5分的概率为，故D错误，故选：AB. 9.答案：ACD 解析：由分布列可得，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确.故选：ACD. 10.答案：ABD 解析：已知6个脐橙，其中有3个不合格产品，即合格品有3个， 每次从中抽取1个且不放回，所以要抽到第2件合格品时的抽取次数X的取值为2，3，4，5，故选项A正确. 当时，表示前3次抽取中有1个合格品和2个不合格品，第4次抽取的是合格品。 从3个合格品中选1个，有种选法；从3个不合格品中选2个，有种选法； 前3次抽取的顺序有种排法，第四次抽合格品，此时剩2件合格品，有2种抽法. 根据分步乘法计数原理，抽取顺序共有=（种），故选项B正确. ，， ， ，故选项C错误. ，故选项D正确.故选：ABD. 11.答案： 解析：由题意得：，2，3，总的选取可能数为，当时，三次抽取同一球，选择球的编号有4种方式，故，当时，恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次），选取出现两次的球有4种方式，选取出现一次的球有3种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种，故，当时，三种不同球被取出，由排列数可知事件的可能情况有种，故，所以，故答案为：. 12.答案： 解析：由条可知，，，， 则，.故答案：. 13.答案： 解析：依题意，，整理得，而，解得，X的可能值为1，2，3，，，， ，，所以.故答案为： 14.答案：12 解析：因为，则，所以，故答案为：12. 15.答案：（1） （2），分布列见解析 （3） 解析：（1）已知抽到的学生获得一等奖，所以必定抽到了高一获一等奖的20人，或高二获一等奖的16人， 共有36种抽法，其中有20种是抽到的学生来自高一的情形，故所求概率为. （2）若高一、高二都没有抽到团体赛获奖者，则， 所以， 若高一、高二恰有一个年级抽到团体赛获奖者，则， 所以， 若高一、高二都抽到团体赛获奖者，则， 所以，故X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的期望. （3）取出的3人要么来自高一，要么来自高二， 所以，从而，故， 由方差的性质，， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $