3离散型随机变量的均值与方差（14大题型）（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

3离散型随机变量的均值与方差 题型一：求离散型随机变量的均值 1．若随机变量X的分布列如表所示，且，则（ ） X 0 1 3 a P 0.2 0.3 b 0.2 A．0.6 B．1.2 C．1.5 D．1.8 【答案】B 【分析】由对应的概率之和为1，可求得，再由数学期望的定义可求得，由此可得的值. 【详解】由随机变量的分布列的性质可知，， 由数学期望的定义可得， 所以. 故选：B. 2．已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（ ） X 1 2 3 P n m A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分布列的性质以及期望公式列方程组即可求解． 【详解】由分布列的性质可得，，所以， 又因为，所以，即； 联立方程，解得， 所以 故选：B 3．已知随机变量的分布列如下： 2 3 5 若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质以及期望的计算公式列式求解即可. 【详解】由分布列可得，解得， 由期望可得，解得. 故选：C. 4．设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分布列的性质及期望公式列方程求参数值，即可得. 【详解】由题设，可得， 且，可得， 所以，则. 故选：D 题型二：均值的性质 1．随机变量的分布列为，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由均值的计算公式和均值的性质求解即可得出答案. 【详解】由题意可得，， 则. 故选：C. 2．已知随机变量的分布列如下表，且． 1 2 3 若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由数学期望公式求，再根据数学期望的性质建立方程，求解即得参数值. 【详解】由， 因，则， 解得：． 故选：A. 3．（多选）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（ ） 2 4 7 A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由离散型随机变量分布列的性质可得的值，再利用期望公式与期望的性质求解即可. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质可得，解得，故A错误，B正确; 由期望公式可得，故C正确; 错误. 故选：BC. 题型三：由离散型随机变量的均值求参数 1．已知ξ的分布列如图所示，设，则（ ） ξ 1 2 3 4 m A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用概率之和等于1求出的值，再由数学期望公式求出，最后根据数学期望的性质求得即可. 【详解】由题意，，解得， 则， 故. 故选：B. 2．若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（ ） A．0.3 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】应用分布列性质计算得出参数，应用数学期望公式计算结合数学期望性质计算求解. 【详解】因为分布列得出，所以， 所以， 所以. 故选：D. 3．已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（ ） X －1 0 a 2 P b A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据概率之和等于建立等式求解出，再利用期望的性质及算法建立等式求解，即可求解． 【详解】由题意知， 解得， 因为，所以，即， 则， 解得，所以， 故选：C． 题型四：两点分布的均值 1．已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】D 【分析】根据两点分布的期望即可求解. 【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为， ． 故选:D． 2．一批产品中次品率为10%，随机抽取1件，定义，则（ ） A．0.05 B．0.1 C．0.8 D．0.9 【答案】B 【分析】由均值的性质即可求解. 【详解】. 故选：B. 3．篮球比赛中每次发球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中率为0.7，则他一次罚球得分的期望为（ ） A．0.3 B．0.7 C．0.49 D．0.21 【答案】B 【分析】要求罚球1次得分的期望，需要先确定得分的所有可能取值以及对应的概率，然后根据期望的计算公式来求解. 【详解】设该运动员一次罚球的得分为随机变量，的取值为1和0， 已知罚球命中得分，命中概率为0.7，所以时的概率. 罚球命不中得分，那么命不中的概率就是，即时的概率. 根据期望的计算公式（这里是随机变量的取值，是对应取值的概率）. 对于本题，只有和两个取值，所以. 故他罚球次得分的期望为0.7. 故选：B. 题型五：二项分布的均值 1．若随机变量，则（ ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】直接由二项分布的期望公式计算即可. 【详解】若随机变量，则. 故选：C. 2．已知随机变量，随机变量，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项分布的期望公式及期望的性质求解. 【详解】因为，随机变量， 所以， 所以， 故选：A 3．某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮4次，每罚进一球记5分，不进记分，已知该同学的罚球命中率为，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】先设该同学罚进的球数为随机变量，根据二项分布的期望公式求出罚进的球数的期望，再结合得分规则求出得分的期望即可. 【详解】设该同学罚进的球数为，已知该同学罚球次，每次罚球命中率为， 且各次罚球互不影响，所以，其中表示参数为和的二项分布. 对于二项分布，其期望， 将，代入可得：， 即该同学罚进的球数的期望为个. 已知每罚进一球记分，不进记分，一共罚篮次， 罚进的球数期望为个，则不进的球数期望为个. 所以该同学得分的期望为：. 故选：D. 4．某地组织一场知识竞赛，要求每位参赛选手作答6道试题，已知甲选手答对每道试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立，记甲选手答对的试题数为，则（ ） A．16 B．12 C．9 D．8 【答案】C 【分析】先根据二项分布期望公式求出，再利用期望的性质求出. 【详解】由题可知，则. 故选：C. 题型六：超几何分布的均值 1．若随机变量服从超几何分布，则（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】根据超几何分布计算，然后利用期望的性质计算. 【详解】因为服从超几何分布，所以， 所以. 故选：C 2．一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则黑球个数的数学期望是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，黑球个数X服从超几何分布，再借助超几何分布的期望公式计算作答. 【详解】依题意，取出3球中黑球个数X为随机变量，，X服从超几何分布， 所以黑球个数的数学期望是. 故选：C 3．一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】盒中有两种颜色的球，任取3个，橘黄色的可能有0个，1个，2个，3个，属于超几何分布，套公式求期望即可. 【详解】盒中有两种颜色的球，任取3个，橘黄色的可能有0个，1个，2个，3个，属于超几何分布， 取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则． 故选：C. 题型七:离散型随机变量的方差和标准差 1．已知随机变量X的分布列如下表所示，则（ ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用离散型随机变量的方差的计算公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 由题意得，， 所以． 故选：C. 2．随机变量的分布列如下表，若，则（ ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分布列的性质求得，再由方差公式求方差即可. 【详解】由，得． 所以． 故选：D 3．设，随机变量的分布列如下表， 0 1 2 则当在区间内增大时，（ ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【分析】设随机变量，得到的分布列，计算出，得到先增大后减小. 【详解】设随机变量，则的分布列为 －1 0 1 所以， 所以， 得到先增大后减小. 故选：D 题型八：方差的性质 1．若随机变量满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方差的性质求出，再根据标准差与方差的关系求出. 【详解】因为，所以， 故. 故选：C. 2．已知随机变量X的分布列如下表：若，则（ ） X 0 1 2 P n m A． B．5 C．7 D．21 【答案】D 【分析】先求出，的值，再求出的值，最后根据方差的性质即可得答案. 【详解】由题意，解得， 所以． 所以． 故选：D 3．离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，，，则（ ） A． B．0.6 C．0.8 D．1.6 【答案】D 【分析】 由题意得到，从而得到，计算方差得到，再计算即可. 【详解】由题知： . 所以， 所以. 故选：D 4．已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（ ） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 【答案】B 【分析】根据题意先求出，再求出，再利用方差的性质即可求解. 【详解】由题意得，，， 所以， 所以. 所以.故B正确. 故选：B. 题型九：由离散型随机变量的方差求参数 1．（多选）已知离数型随机变量X的分布列如下表所示： X 0 1 2 P 下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据分布列的性质求出q的值即可判断A、B选项，再求出期望和方差即可判断C、D选项． 【详解】根据分布列的性质可知，解得或， 因为，所以，故A错误，B正确； 根据期公式可得，故C正确； 根据方差公式可得： ，故D正确． 故选：. 2．（多选）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.4 m 下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由分布列概率和为1求得，再根据分布列求得期望与方差，然后由期望与方差的性质求得的期望与方差. 【详解】由得， 所以，， 所以，， 故选：AC. 3．（多选）已知离散型随机变量X的分布列如下，则下列选项中正确的是（ ） X 0 1 2 P 0.36 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由分布列的性质可得，再由期望的求法及方差与期望的关系判断各项的正误. 【详解】A，由可得，正确； B，因为，正确； C，因为，错误； D，因为，正确． 故选：ABD 4．设，随机变量的分布列为 当随机变量的方差取得最小值时，（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据期望公式求出，再将其代入方差公式得到关于的函数，最后通过求函数的最小值来确定的值. 【详解】根据期望公式可得： 根据方差公式 则对称轴， 所以当时，方差取得最小值 故选：B. 题型十：两点分布的方差 1．一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由两点分布求出随机变量的均值，然后求出方差即可. 【详解】由题意，所以. 故选：D 2．抛掷一枚质地不均匀的硬币（两面图案分别为“花”“字”）一次，记“花”面朝上的概率为，令随机变量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点分布的方差计算公式和方差的基本性质，直接得出结果. 【详解】由题知，服从两点分布，且， 所以， 故选:B. 3．设，随机变量的分布列如下表所示， X 0 1 P 则当概率在区间内增大时，方差的变化是（ ） A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大 【答案】B 【分析】先求出期望，再求出方差，最后根据二次函数的性质判断. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且，， 所以 这是一个关于的二次函数，图象开口向下，对称轴为， 当从增大到时，随增大而递增； 当从增大到时，随增大而递减， 因此，当在内增大时，方差先增大后减小. 故选：B. 题型十：二项分布的方差 1．随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质求得，利用公式求得，，结合期望和方差的性质，即可求解. 【详解】由随机变量服从两点分布，若， 根据分布列的性质，可得，所以A错误； 又由，，所以B错误； 由，所以C正确； 由，所以D错误. 故选：C. 2．（多选）已知袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中个红球，个白球．每次从袋子中随机摸取一球，连续摸取次，则下列结论中正确的是（ ） A．若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率为 B．若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为 C．若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，第次取到红球的概率为 D．若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学期望为 【答案】AD 【分析】利用独立重复试验的概率公式可判断A选项；利用计数原理结合古典概型的概率公式可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；利用超几何分布的期望公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，若每次取出的球放回，则每次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为， 所以，连续摸取次，恰好两次取出红球的概率为，A对； 对于B选项，若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为，B错； 对于C选项，若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下， 则袋子中还有个红球，个白球，则第三次抽到红球的概率为，C错； 对于D选项，若每次取出的球不放回，则取出红球的次数服从超几何分布， 且袋中的红球个数为个，白球的个数为个，共个球，且共摸球次， 由超几何分布的期望公式可得，D对. 故选：AD. 3．（多选）甲、乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则下列结论可能正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先求的分布列，利用数学期望公式得即可判断AB，利用方差公式得进而判断CD. 【详解】随机变量可能的取值为2，3． ． ． 故的分布列为： 2 3 故， 因为，故，故A正确，B错误． 而， 令，因为， 故，此时， 必成立，故C错误，D正确． 故选：AD． 题型十二：超几何分布的方差 1．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差的公式及性质计算即可． 【详解】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布， 故 所以 ， ， 故选：D． 2．（多选）如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由超几何分布的概率以及期望、方差即可. 【详解】由题意知，. ， 则，故A错误，B正确； 由题意知，. ， ， 故CD正确； 故选：BCD 3．（多选）已知10件产品中存在次品，从中抽取2件，记次品数为，，，则下列说法正确的是（ ） A．这10件产品的次品率为20% B．次品数为8件 C． D． 【答案】ACD 【分析】假设次品为件，由求得次品及次品率，再分别求的，即可得出结果. 【详解】假设10件产品中存在次品为件，从中抽取2件， ，则次品数为2件，B错误； 这10件产品的次品率为，A正确； 10件产品中存在2件次品，从中抽取2件，记次品数为，则的可能取值为0，1，2， ； 则，C正确； ，D正确. 故选：ACD. 题型六：均值的实际应用 1．某超市为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立、某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券. (1)求该顾客至少中奖1次的概率； (2)设该顾客中奖的总次数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为1.3 【分析】（1）“至少中奖1次”的对立事件为“没有一次中奖”，根据对立事件的概率关系求解； （2）确定的可能取值，求得相应概率即可求解. 【详解】（1）设事件为“至少中奖1次”，则事件为“没有一次中奖”. 则. （2）由题可得的取值为， ，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 2．在2024年巴黎奥运会上，我国乒乓球运动员取得“五连冠”的优异成绩，激发了全民“国球热”.某社区举办了乒乓球比赛，甲、乙两人争夺冠亚军，采用五局三胜制（每局比赛没有平局），比赛共有1000元奖金，约定如下规则：若比赛3局决出胜负，冠军获得900元奖金，亚军获得100元奖金；若比赛4局决出胜负，冠军获得700元奖金，亚军获得300元奖金；若比赛5局决出胜负，冠军获得600元奖金，亚军获得400元奖金，已知甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为. (1)求比赛4局决出胜负的概率； (2)求甲获得的奖金X的分布列与数学期望. (3)比赛五局三胜制和三局两胜制，甲选手更希望选哪种？理由是什么？ 【答案】(1) (2)分布列见解析，（元） (3)选五局三胜，理由见解析 【分析】（1）分甲获胜或乙获胜两种情况，分别利用独立事件的概率公式求解； （2）根据题意结合独立事件的概率公式列出分布列，并利用期望公式求解； （3）分别求出五局三胜和三局两胜制时，甲获胜的概率，比较大小即可. 【详解】（1）若甲获胜，则概率为； 若乙获胜，则概率为， 故比赛4局决出胜负的概率为. （2）由题意可知，X的取值可能为900，700，600，400，300，100， ，， ，， ，， 所以X的分布列为： X 900 700 600 400 300 100 P 所以（元）. （3）由（2）可知，五局三胜时，甲获胜的概率为， 三局两胜时，甲获胜的概率为， 所以更喜欢五局三胜制，因为这样甲获胜的概率更大！ 3．2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式在天安门广场隆重举行.某部队观看阅兵直播结束后，就举行了射击比赛.每个参赛队由两名战士组成，比赛分为两个阶段.比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名战士射击3次，若3次都未射中靶子，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少射中靶子一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名战士射击3次，每次射中靶子得5分，未射中靶子得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲､乙两名战士组成，甲每次射中靶子的概率为，乙每次射中靶子的概率为，各次射击中靶与否均相互独立. (1)若，甲参加第一阶段比赛，求甲､乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. (2)假设， （i）在比赛成绩中，为使得甲､乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由哪位战士参加第一阶段比赛？ （ii）在比赛成绩中，为使得甲､乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由哪位战士参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（ii）由甲参加第一阶段比赛； 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. （ii）若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 题型六：方差的实际应用 1．已知甲、乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环，且甲击中10，9，8，7环的概率分别为0.5，，，0.1，乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，甲，乙射击结果互不影响．记甲，乙两名射手在一次射击中的环数分别为ξ，． （1）求，的分布列；． （2）求，的数学期望与方差，并比较甲、乙两名射手的射击技术． 【答案】（1）答案见解析；（2），，，；甲比乙的射击技术好． 【分析】（1）由题意先求出，再由随机变量，的意义得到相应的分布列； （2）由（1）中的分布列，利用期望与方差的公式求出期望与方差，结合期望与方差的含义即可求解 【详解】（1）依题意，有，解得． 乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， 乙击中7环的概率为， ，的分布列分别为 10 9 8 7 0.5 0.3 0.1 0.1 10 9 8 7 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）可得， ， ， ． 由于，说明甲平均击中的环数比乙高， 又，说明甲击中的环数比乙集中，比较稳定， 甲比乙的射击技术好． 2．某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案： 方案一：不放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元： 方案二：有放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元，分别用随机变量、表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额. (1)求随机变量的分布列和数学期望： (2)用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案?请说明理由. 【答案】(1)分布列见解析， (2)应选择方案一，理由见解析 【分析】（1）分析可知的值可能为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）法一：用随机变量表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则，利用二项分布的期望、方差公式结合期望、方差的性质求出、的值，可知，再比较、的大小关系，可得出结论； 法二：分析可知，的值可能为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得、的值，可知，再比较、的大小关系，可得出结论. 【详解】（1）解：由题意可知，的值可能为、、， ，，. . （2）解：法一：用随机变量表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则. ，， ，，. ， 因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一； 法二：的值可能为、、、， ，， ，， 则， ， 因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一. 3．2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚､王亚平､叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成任务，平安返回.为普及航天知识，某市组织中学生参加“探索太空”知识竞赛，竞赛分为理论､操作两个部分，两部分的得分均为三档，分别为100分､200分､300分.现从参加活动的学生中随机选择20位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如下表： 理论 操作 100分 200分 300分 100分 0 2 1 200分 3 b 1 300分 2 3 a 例如，表中理论成绩为200分且操作成绩为100分的学生有2人. (1)若从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到理论或操作至少一项成绩为300分的学生概率为.求的值； (2)在（1）的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为300分的学生中，随机抽取2人，求至少有一个人操作的成绩为300分的概率； (3)若要使参赛学生理论成绩的方差最小，写出的值.（直接写出答案） 【答案】(1)，；(2)；(3) 【分析】（1）由题意得，，从而求解，再结合表格数据与学生总人数求解；（2）先求解样本符合题意的概率，然后由样本估计总体，得全市学生符合题意的概率，从而利用对立事件的概率公式求解；（3）表示出参赛学生理论竞赛的平均成绩与方差，从而得关于二次函数，由的取值范围与二次函数的性质从而求解得答案. 【详解】（1）由题意，理论或操作至少一项成绩为300分的学生 共有人，则， 得，又， 得 （2）由（1）知，从20位理论成绩为300分的学生中抽取1人， 操作成绩也为300分的概率为，所以从全市理论成绩为300分的学生中， 随机抽取2人，至少有一个人操作的成绩为300分的概率为 （3）由题意，， 设理论竞赛的分数为，则取值为， 对应的人数分别为，所以参赛学生理论竞赛的平均成绩为 ， 所以参赛学生理论成绩的方差为 因为，所以当时，最小. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3离散型随机变量的均值与方差 题型一：求离散型随机变量的均值 1．若随机变量X的分布列如表所示，且，则（ ） X 0 1 3 a P 0.2 0.3 b 0.2 A．0.6 B．1.2 C．1.5 D．1.8 2．已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（ ） X 1 2 3 P n m A． B． C． D． 3．已知随机变量的分布列如下： 2 3 5 若，则（ ） A． B． C． D． 4．设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（ ） A． B． C． D． 题型二：均值的性质 1．随机变量的分布列为，，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知随机变量的分布列如下表，且． 1 2 3 若，则（ ） A． B． C． D． 3．（多选）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（ ） 2 4 7 A． B． C． D． 题型三：由离散型随机变量的均值求参数 1．已知ξ的分布列如图所示，设，则（ ） ξ 1 2 3 4 m A． B． C． D． 2．若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（ ） A．0.3 B．1 C．3 D．4 3．已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（ ） X －1 0 a 2 P b A． B．1 C． D． 题型四：两点分布的均值 1．已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 2．一批产品中次品率为10%，随机抽取1件，定义，则（ ） A．0.05 B．0.1 C．0.8 D．0.9 3．篮球比赛中每次发球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中率为0.7，则他一次罚球得分的期望为（ ） A．0.3 B．0.7 C．0.49 D．0.21 题型五：二项分布的均值 1．若随机变量，则（ ） A． B． C． D．5 2．已知随机变量，随机变量，且，则（ ） A． B． C． D． 3．某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮4次，每罚进一球记5分，不进记分，已知该同学的罚球命中率为，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 4．某地组织一场知识竞赛，要求每位参赛选手作答6道试题，已知甲选手答对每道试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立，记甲选手答对的试题数为，则（ ） A．16 B．12 C．9 D．8 题型六：超几何分布的均值 1．若随机变量服从超几何分布，则（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 2．一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则黑球个数的数学期望是（ ） A． B． C． D． 3．一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则（ ） A．1 B．2 C． D． 题型七:离散型随机变量的方差和标准差 1．已知随机变量X的分布列如下表所示，则（ ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 2．随机变量的分布列如下表，若，则（ ） 0 1 2 A． B． C． D． 3．设，随机变量的分布列如下表， 0 1 2 则当在区间内增大时，（ ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 题型八：方差的性质 1．若随机变量满足，则（ ） A． B． C． D． 2．已知随机变量X的分布列如下表：若，则（ ） X 0 1 2 P n m A． B．5 C．7 D．21 3．离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，，，则（ ） A． B．0.6 C．0.8 D．1.6 4．已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（ ） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 题型九：由离散型随机变量的方差求参数 1．（多选）已知离数型随机变量X的分布列如下表所示： X 0 1 2 P 下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（多选）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.4 m 下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（多选）已知离散型随机变量X的分布列如下，则下列选项中正确的是（ ） X 0 1 2 P 0.36 A． B． C． D． 4．设，随机变量的分布列为 当随机变量的方差取得最小值时，（ ） A． B． C． D． 题型十：两点分布的方差 1．一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差（ ） A． B． C． D． 2．抛掷一枚质地不均匀的硬币（两面图案分别为“花”“字”）一次，记“花”面朝上的概率为，令随机变量，则（ ） A． B． C． D． 3．设，随机变量的分布列如下表所示， X 0 1 P 则当概率在区间内增大时，方差的变化是（ ） A．增大 B．先增大后减小 C．减小 D．先减小后增大 题型十：二项分布的方差 1．随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（ ）． A． B． C． D． 2．（多选）已知袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中个红球，个白球．每次从袋子中随机摸取一球，连续摸取次，则下列结论中正确的是（ ） A．若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率为 B．若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为 C．若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，第次取到红球的概率为 D．若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学期望为 3．（多选）甲、乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则下列结论可能正确的是（ ） A． B． C． D． 题型十二：超几何分布的方差 1．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（多选）如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任选3颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则（ ） A． B． C． D． 3．（多选）已知10件产品中存在次品，从中抽取2件，记次品数为，，，则下列说法正确的是（ ） A．这10件产品的次品率为20% B．次品数为8件 C． D． 题型六：均值的实际应用 1．某超市为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立、某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券. (1)求该顾客至少中奖1次的概率； (2)设该顾客中奖的总次数为，求的分布列和数学期望. 2．在2024年巴黎奥运会上，我国乒乓球运动员取得“五连冠”的优异成绩，激发了全民“国球热”.某社区举办了乒乓球比赛，甲、乙两人争夺冠亚军，采用五局三胜制（每局比赛没有平局），比赛共有1000元奖金，约定如下规则：若比赛3局决出胜负，冠军获得900元奖金，亚军获得100元奖金；若比赛4局决出胜负，冠军获得700元奖金，亚军获得300元奖金；若比赛5局决出胜负，冠军获得600元奖金，亚军获得400元奖金，已知甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为. (1)求比赛4局决出胜负的概率； (2)求甲获得的奖金X的分布列与数学期望. (3)比赛五局三胜制和三局两胜制，甲选手更希望选哪种？理由是什么？ 3．2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式在天安门广场隆重举行.某部队观看阅兵直播结束后，就举行了射击比赛.每个参赛队由两名战士组成，比赛分为两个阶段.比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名战士射击3次，若3次都未射中靶子，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少射中靶子一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名战士射击3次，每次射中靶子得5分，未射中靶子得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲､乙两名战士组成，甲每次射中靶子的概率为，乙每次射中靶子的概率为，各次射击中靶与否均相互独立. (1)若，甲参加第一阶段比赛，求甲､乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. (2)假设， （i）在比赛成绩中，为使得甲､乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由哪位战士参加第一阶段比赛？ （ii）在比赛成绩中，为使得甲､乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由哪位战士参加第一阶段比赛？ 题型六：方差的实际应用 1．已知甲、乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环，且甲击中10，9，8，7环的概率分别为0.5，，，0.1，乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，甲，乙射击结果互不影响．记甲，乙两名射手在一次射击中的环数分别为ξ，． （1）求，的分布列；． （2）求，的数学期望与方差，并比较甲、乙两名射手的射击技术． 2．某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案： 方案一：不放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元： 方案二：有放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元，分别用随机变量、表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额. (1)求随机变量的分布列和数学期望： (2)用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案?请说明理由. 3．2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚､王亚平､叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成任务，平安返回.为普及航天知识，某市组织中学生参加“探索太空”知识竞赛，竞赛分为理论､操作两个部分，两部分的得分均为三档，分别为100分､200分､300分.现从参加活动的学生中随机选择20位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如下表： 理论 操作 100分 200分 300分 100分 0 2 1 200分 3 b 1 300分 2 3 a 例如，表中理论成绩为200分且操作成绩为100分的学生有2人. (1)若从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到理论或操作至少一项成绩为300分的学生概率为.求的值； (2)在（1）的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩为300分的学生中，随机抽取2人，求至少有一个人操作的成绩为300分的概率； (3)若要使参赛学生理论成绩的方差最小，写出的值.（直接写出答案） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $