重难点10：古典概率的四种经曲题型讲义- 2025-2026学年高二上学期数学沪教版必修第三册

本讲义聚焦高二数学必修三古典概率核心知识点，以模球问题（放回与不放回）、抛掷骰子、交汇问题（集合、函数、平面向量）、与频率分布直方图综合四种经典题型为学习支架，构建从基础事件列举到综合知识应用的递进脉络，帮助学生系统掌握古典概型计算方法。 资料亮点在于分层设计与素养融合，通过摸球、掷骰子等生活情境抽象概率模型培养数学眼光，对比放回与不放回问题发展逻辑推理的数学思维，解答题规范样本空间表达提升数学语言能力。课中适配精英班分层教学，课后练习覆盖各类题型助力查漏补缺。

2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 重难点10：古典概率四种经典题型 题型01：模球问题（放回与不放回） 【例1】一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（     ） A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黑球 【例2】袋中有除颜色外完全相同的5个小球，其中3个白球和2个红球．现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得红球前提下，则第二次取得白球的概率为（    ） A．0.25 B．0.5 C．0.6 D．0.75 【例3】从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（    ） A． B． C． D． 【例4】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，那么这2个球同色的概率为（   ） A． B． C． D． 【例5】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【例6】某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（   ） A． B． C． D． 【例7】在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例8】一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（    ） A．4 B．5 C．12 D．15 【例9】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【例10】在一个盒子中有除颜色外完全相同的3个球，蓝球，红球，绿球各1个，从中随机地取出1个球，观察其颜色后放回，然后随机取出1个球． (1)请用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； (2)求“第一次取出的是红球”的概率； (3)求“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”的概率． 【例11】一个袋中袋有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；黑球有2个，编号分别为1，2；白球有一个，编号为1，现从袋中一次随机抽取2个球． (1)求取出的2个球的颜色不相同的概率； (2)求取得的球中有1号球的概率． 【例12】已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）. (1)若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率； (2)若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率. 【例13】—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率. 【例14】在试验“袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为，．求： (1)取到的两个球都是白球的概率； (2)取到的两个球颜色相同的概率； (3)取到的两个球至少有一个是白球的概率． 题型02：抛掷骰子（一颗或两颗） 【例15】将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字）先后抛掷2次，观察向上的点数，则2次抛掷的点数之和为7的概率是（    ） A． B． C． D． 【例16】若连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次抛掷骰子的点数之积为奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 【例17】抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 【例18】抛掷两颗骰子，求： (1)点数之和是4的概率； (2)点数之和小于4的概率； (3)点数差的绝对值为3的概率． 题型03：交汇问题（集合、函数、平面向量） 【例19】从集合中任取两个数，则这两个数的和不小于的概率是（    ） A． B． C． D． 【例20】将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为b和c，则函数图象与x轴无公共点的概率是______． 【例21】已知p，q是方程的根，则函数在上是递增函数的概率是（    ） A． B． C． D． 【例22】若、是从集合中随机选取的两个不同的数，则使得函数是偶函数的概率为 . 【例23】从集合中随机地取一个数a，从集合中随机地取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（    ）． A． B． C． D． 【例24】已知向量，，在集合中随机取值作为，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【例25】已知关于的一元二次方程．若是从1，2，3，4四个数中任取的一个数，是从1，2，3三个数中任取的一个数． (1)求方程有实根的概率； (2)求方程无实根的概率． 【例26】已知函数，集合，若分别从集合P，Q中随机抽取一个数a和b，构成数对． (1)记事件A为“函数的单调递增区间为”，求事件A的概率； (2)记事件B为“方程有4个根”，求事件B的概率． 题型04：与频率分布直方图综合 【例27】某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图.设成绩在88分以上（含88分）的学生为优秀学生，现从甲、乙两班的优秀学生中各取1人，记甲班选取的学生成绩不低于乙班选取得学生成绩记为事件，则事件发生的概率___________. 【例28】如图，这是甲、乙两位同学在4次数学测试中得分的茎叶图，若从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，则甲同学抽选的得分高于乙同学抽选的得分的概率为（    ） A． B． C． D． 【例29】某中学高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中． (1)求出a，b，估计测试成绩的分位数和平均分； (2)按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率． 【例30】某中学参加知识竞赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取800名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)请补全频率分布直方图并估计这800名学生的平均成绩； (2)采用分层随机抽样的方法从这800名学生中抽取容量为40的样本，再从该样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90分的概率. 【例31】某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：h），并根据统计数据分为，，，，，六个小组（所调查的居民平均每天的运动时长均在内），得到的频率分布直方图如图所示. (1)求出图中m的值，并估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数； (2)按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在，这两个时间段内的居民中抽出6人分享运动心得，若再从这6人中选出2人发言，求这2人来自不同分组的概率. 【例32】某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分．现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为 [ 40,50），[ 50,60），[ 60,70），[ 70,80），[ 80,90），[ 90,100 ]，共6组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求m的值，并求这100名学生成绩的平均数和中位数（保留一位小数）； (2)现采用分层抽样的方式从 [ 50,60）和 [ 70,80）的学生中抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者分数差大于10分的概率． 【例33】黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求x的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）； (3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 一、填空题 1.从分别写有1，2，3，4的4张卡片中有放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则2次抽到的卡片上的数字之和为5的概率为 ． 2.掷一颗骰子两次，记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量，，则向量与共线的概率为 ． 二、选择题 3．甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球（两个箱子中球的大小和形状完全相同），其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，记事件A表示“从乙箱中取出的球是红球”，则（ ） A． B． C． D． 4.设m，n∈{0，1，2，3，4}，向量，则∥的概率为（    ） A． B． C． D． 5.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量，的夹角为，则为钝角的概率是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 6.抛掷两颗骰子，求： (1)点数之和是4的概率； (2)点数之和小于4的概率； (3)点数差的绝对值为3的概率． 7.同时骰两枚骰子，求： (1)至少有一个点数为6的概率； (2)点数和为6的倍数的概率． 8.抽取某车床生产的8个零件，编号为，，...，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品. (1)求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率. 9.一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球. (1)求第二次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率； (3)如果袋中装的是4个红球，个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么是多少？ 10.班级新年晚会设置抽奖环节．不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个(编号为1，2，3)，黄球2个(编号为4，5)，有如下两种方案可供选择： 方案一：一次性抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品； 方案二：依次无放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品； 方案三：依次有放回地抽取2个球，若编号的数字之和大于5，则获得奖品． (1)分别写出按方案一和方案二抽奖的所有样本点； (2)哪种方案获得奖品的可能性更大？并说明理由． 11.一个袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球，4个绿球，从中不放回地依次随机摸出2个球． (1)求第二次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率； (3)如果是2个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少? 12.某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，按分组，，，，，，整理后得到如下频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)请用样本数据估计本次联考该校语文平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）； (3)用分层随机抽样的方法，从样本内语文成绩在，的两组学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人语文成绩在的概率. 13.某手机生产厂商要生产一款5G手机，在生产之前，该公司对手机屏幕的需求尺寸进行社会调查，共调查了400人，将这400人按对手机屏幕的需求尺寸分为6组，分别是：，，，，，（单位：英寸），得到如下频率分布直方图：其中，屏幕需求尺寸在的一组人数为50人.    (1)求和的值； (2)用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为和两组人中抽取6人参加座谈，并在6人中选择2人做代表发言，则这2人来自同一分组的概率是多少？ 14.某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． (1)求、的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数； (2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率． 15.某工厂生产的每件产品所用原材料的质量（单位：千克）是一定值，每件产品的价格是以长度（单位：米）计算的，产品越长也就越细，要求工人的技术水平越高，产品价格也就越高，但市场对各种长度的产品都有需求.为了预测市场需求并合理安排生产任务，查阅以往售出的产品的长度，随机抽取了件产品，并将得到的数据按如下方式分为组：、、、，绘制成如下的频率分布直方图： 工厂今年一月份按频率分布直方图提供的数据生产了件产品. (1)求今年一月份生产的产品长度在的件数； (2)现从和两组产品中以分层抽样的方式抽取件产品，客户在这件产品中再随机抽取件，求这件产品在和两组中各有件的概率. 16.开学初某校进行了一次摸底考试，物理老师为了了解自己所教的班级参加本次考试的物理成绩的情况，从参考的本班同学中随机抽取n名学生的物理成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的学生中成绩在内的有3人． (1)求n的值； (2)已知抽取的n名参考学生中，在的人中，女生有甲、乙两人，现从的人中随机抽取2人参加物理竞赛，求女学生甲被抽到的概率． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学必修三同步培优讲义【精英班课程】 重难点10：古典概率四种经典题型 题型01：模球问题（放回与不放回） 【例1】一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（     ） A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黑球 【答案】B 【解析】对于A，摸出白球的概率为，不符合题意； 对于B，摸出红球，符合题意； 对于C，摸出绿球，不符合题意； 对于D，摸出黑球，不符合题意.故选：B 【例2】袋中有除颜色外完全相同的5个小球，其中3个白球和2个红球．现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得红球前提下，则第二次取得白球的概率为（    ） A．0.25 B．0.5 C．0.6 D．0.75 【答案】D 【解析】若第一次取得红球，则袋中只剩3个白球和1个红球， 所以在第一次取得红球前提下，则第二次取得白球的概率为.故选：D. 【例3】从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张， 基本事件总数种情况， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： 共6种情况， 故所求概率为：，故选：B. 【例4】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，那么这2个球同色的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意设2个红球为，， 3个黄球为，，，考虑有放回地摸球，分别列出试验的样本空间和事件“这2个球同色”表示的集合，利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】设2个红球为，，3个黄球为，，，从中有放回地依次随机摸出2个球， 样本空间为：， ，则， 设事件为“这2个球同色”， 则，则， 由古典概率公式，可得. 故选：D 【例5】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人， 记事件 “抽到的两人是一男生一女生”， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共12个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共16个样本点， 其中有8个样本点， 所以.故选：A. 【例6】某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】甲获胜的情形有三种：第一种，甲第一次就摸到红球；第二种，甲、乙第一次都摸到白球，甲第二次摸到红球；第三种，甲、乙第一、二次都摸到白球，第三次摸甲摸到红球.利用古典概率的加法求解即可 【详解】； 故选：C. 【例7】在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，据此可得答案. 【详解】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，则. 故选：B 【例8】一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（    ） A．4 B．5 C．12 D．15 【答案】A 【分析】利用古典概型概率计算公式列出方程，能求出的值． 【详解】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，个绿球， 从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是， 则， 解得（负值舍去）. 故选：A． 【例9】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，计算，判断AD；分析事件,以及，并求对应的概率，即可判断BC. 【详解】设红球为，白球为，黄球为， 其中任取两个球的所有样本点包含，共15个， 事件所包含的样本点为，共4个， 所以， 故A错误； 表示取到的2个球，一个黄球一个白球，包含的样本点有，共6个，所以，故B错误； 事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球 或没有白球的两个互斥事件和， 事件是必然事件，因此，故C正确； 事件与是对立事件，所以，故D错误. 故选：C 【例10】在一个盒子中有除颜色外完全相同的3个球，蓝球，红球，绿球各1个，从中随机地取出1个球，观察其颜色后放回，然后随机取出1个球． (1)请用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； (2)求“第一次取出的是红球”的概率； (3)求“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意写出样本空间即可； （2）写出事件A包含的基本事件，利用古典概型求解； （3）写出事件B包含的基本事件，利用古典概型求解. 【详解】（1）样本空间Ω={（蓝球，蓝球），（蓝球，红球），（蓝球，绿球），（红球，蓝球），（红球，红球），（红球，绿球）（绿球，蓝球）（绿球，红球）（绿球，绿球）}． （2）设“第一次取出的是红球”为事件A． 事件A包含的样本点有（红球，蓝球），（红球，红球），（红球，绿球），共3个， 由（1）知基本事件总数， 所以． （3）设“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”为事件B． 事件B包含的样本点有（红球，蓝球），（红球，绿球），共2个， 由（1）知基本事件总数， 所以. 【例11】一个袋中袋有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；黑球有2个，编号分别为1，2；白球有一个，编号为1，现从袋中一次随机抽取2个球． (1)求取出的2个球的颜色不相同的概率； (2)求取得的球中有1号球的概率． 【解题思路】（1）先列举出所有的基本事件，再找到取出的2个球的颜色不相同基本事件，根据概率公式计算即可． （2）先列举出所有的基本事件，再找到取得的球中有1号球的基本事件，根据概率公式计算即可． 【解答过程】（1）从袋中一次随机抽取2个球的基本情况有： （红1，红，（红1，黑，（红1，黑，（红1，白，（红2，黑，（红2，黑，（红2，白，（黑1，黑，（黑1，白，（黑2，白，共10种， 取出的2个球的颜色不相同的基本事件有： （红1，黑，（红1，黑，（红1，白，（红2，黑，（红2，黑，（红2，白，（黑1，白，（黑2，白，共8种， 故取出的2个球的颜色不相同的概率为， （2）取得的球中有1号球的基本事件有： （红1，红，（红1，黑，（红1，黑，（红1，白，（红2，黑，（红2，白，（黑1，黑，（黑1，白，（黑2，白，共9种， 故取得的球中有1号球的概率. 【例12】已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）. (1)若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率； (2)若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）分别记6个小球为，从中任取3个小球有： ，共20种. 3个小球上标号均不相同的有： 共8种， 所以取出的3个小球上标号均不相同的概率为. （2）每次取球都有6种取法，所以总的取法有种取法. 2个小球上标号相同的取法有： 共12种取法， 所以2个小球上标号相同的概率为， 所以取出的2个小球上标号不相同的概率. 【例13】—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2， 则任意摸出2个球的样本空间有：红1红2，红1红3，红1白1，红1白2，红2红3，红2白1，红2白2，红3白1，红3白2，白1白2共10个样本点， 其中2球均为白球事件的样本点只有1个，因此2个球都是白球概率为； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，列表如图所示： 第2次摸球第1次摸球 红1 红2 红3 白1 白2 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，红3） （红1，白1） （红1，白2） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，红3） （红2，白1） （红2，白2） 红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，红3） （红3，白1） （红3，白2） 白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，红3） （白1,白1） （白1,白2） 白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，红3） （白2,白1） （白2,白2） 所以搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球事件的样本空间共有25个样本点，它们出现的可能性相同， 其中满足事件“2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球”的样本点有12个，所以. 【例14】在试验“袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为，．求： (1)取到的两个球都是白球的概率； (2)取到的两个球颜色相同的概率； (3)取到的两个球至少有一个是白球的概率． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）根据题意列出试验的样本空间，利用古典概率模型概率计算公式进行计算即可. 【详解】（1）由前面的分析可知试验的样本空间， 共有20个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，可用古典概型来计算概率． 设事件A表示“取到的两个球都是白球”，则， 共含有6个样本点，所以，即取到的两个球都是白球的概率为； （2）设事件B表示“取到的两个球颜色相同”，则， 共含有8个样本点，所以，即取到的两个球颜色相同的概率为； （3）设事件C表示“取到的两个球至少有一个是白球”， 则， 共含有18个样本点，所以，即取到的两个球至少有一个是白球的概率为. 题型02：抛掷骰子（一颗或两颗） 【例15】将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字）先后抛掷2次，观察向上的点数，则2次抛掷的点数之和为7的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出基本事件总数，再由列举法求出“点数之和等于7”包含的基本事件的个数，由此能求出“点数之和等于7”的概率． 【详解】基本事件总数，点数之和是7包括共6种情况， 则所求概率是． 故选：C. 【例16】若连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次抛掷骰子的点数之积为奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用列举法写出满足题意的样本点，结合古典概型的概率公式计算即可求解. 【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，基本事件总数为个． 其中事件“两次抛掷骰子的点数之积为奇数”包含的样本点有： ，共9个， 故． 故选：B． 【例17】抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出抛掷两枚质地均匀的骰子的不同结果数，再列举出向上的点数之和为4的倍数的结果数，应用古典概率的求法求概率. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子共有种不同的结果， 向上的点数之和为4的倍数， 共有（1，3），（3，1），（2，2），（3，5），（5，3），（2，6），（6，2），（4，4），（6，6），共9种情况， 所以概率为． 故选：B． 【例18】抛掷两颗骰子，求： (1)点数之和是4的概率； (2)点数之和小于4的概率； (3)点数差的绝对值为3的概率． 【解题思路】（1）抛掷两颗骰子，计算出总的基本事件，然后列出点数之和为4包含的基本事件，由此能求出点数之和为4的概率． （2）列出点数之和小于4的基本事件，由此能求出点数之和小于4的概率． （3）列出点数差的绝对值为3的基本事件，由此能求出点数差的绝对值为3的概率． 【解答过程】（1）抛掷两颗骰子，基本事件的总数， 点数之和为4包含的基本事件有：（1，3），（2，2），（3，1），共3个， 所以点数之和为4的概率； （2）点数之和小于4的包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），共3个， 所以点数之和小于4的概率； （3）点数差的绝对值为3的基本事件有：（1，4），（2，5），（3，6），（4，1），（5，2），（6，3），共6个， 所以点数差的绝对值为3的概率. 题型03：交汇问题（集合、函数、平面向量） 【例19】从集合中任取两个数，则这两个数的和不小于的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】从集合中任取两个数所有可能结果有、、、 、、、、、、共个， 其中满足两个数的和不小于的有、、、、、、、共个， 所以这两个数的和不小于的概率. 故选：C 【例20】将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为b和c，则函数图象与x轴无公共点的概率是______． 【答案】 【详解】一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，不同结果有： ， ， ，共36个， 函数图象与x轴无公共点，即，解得， 则点有，共7个， 所以函数图象与x轴无公共点的概率. 故答案为： 【例21】已知p，q是方程的根，则函数在上是递增函数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为方程的根的集合为， 所以有． 记事件A为“函数在上是递增函数”． 对函数求导，得． 由题意，知在上恒成立， 有，且． 当时，有，所以p可以取到1，2，3，4这4个值； 当时，有，所以p可以取到2，3，4这3个值； 当时，有，所以p可以取到3，4这2个值； 当时，有，所以p的值不存在． 综合以上，事件A包含的基本事件共有种． 因为，所以所有的基本事件共有种． 则所求事件的概率为． 故选：D． 【例22】若、是从集合中随机选取的两个不同的数，则使得函数是偶函数的概率为 . 【答案】/ 【分析】列举出所有的基本事件，并确定事件“函数是偶函数”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】对于幂函数而言，当为奇数时，函数为奇函数， 当为偶数时，函数为偶函数， 若、是从集合中随机选取的两个不同的数，以为一个基本事件， 则所有的基本事件有：、、、、、、、、 、、、、、、、、、、 、，共种， 若函数是偶函数，则、均为偶数，则必为偶数， 所以，事件“函数是偶函数”所包含的基本事件有：、、 、、、、、，共种， 故事件函数是偶函数”的概率为. 故答案为：. 【例23】从集合中随机地取一个数a，从集合中随机地取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用列举法求出向量的所有结果，再利用垂直关系的坐标表示求出所求概率的事件的结果数即可作答. 【详解】依题意，向量的不同结果有：，共12个， 由，得，则的事件有，共2个， 所以向量与向量垂直的概率为. 故选：D 【例24】已知向量，，在集合中随机取值作为，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直求得，根据古典概型的概率计算公式求得正确答案. 【详解】当时，， 解得或， 所以集合中随机取值作为，则的概率为. 故选：A 【例25】已知关于的一元二次方程．若是从1，2，3，4四个数中任取的一个数，是从1，2，3三个数中任取的一个数． (1)求方程有实根的概率； (2)求方程无实根的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】列出样本空间的所有样本点，结合古典概型求解相应的答案. 【详解】（1）记“方程.有实根”为事件，因为方程有实数根， 所以．又，，所以． 又是从1，2，3，4四个数中任取的一个数，是从1，2，3三个数中任取的一个数， 所以样本点共有12个，分别是，，，，，，，，，， （小括号中前一个数表示，后一个数表示）， 这12个样本点是等可能的．其中事件所包含的样本点有4个， 分别是，，，， 所以方程有实根的概率． （2）记“方程无实根”为事件，由（1）知． 【例26】已知函数，集合，若分别从集合P，Q中随机抽取一个数a和b，构成数对． (1)记事件A为“函数的单调递增区间为”，求事件A的概率； (2)记事件B为“方程有4个根”，求事件B的概率． 【解题思路】（1）列举样本空间所有的样本点，依题意有，列举满足条件的样本点，根据古典概型概率公式计算； （2）依题意有，列出所有符合条件的样本点，根据古典概型概率公式计算. 【解答过程】（1）由题知，所以，数对的可能取值为： 共16对． 若函数的单调递增区间为，则函数的对称轴为，即 所以，满足条件的基本事件有：，共4对， 所以，事件A的概率为 （2）因为，二次函数开口向上， 所以，方程有4个根，即为和各有2个根， 所以，二次函数的最小值小于． 所以，即， 满足条件的基本事件有：，共11对， 所以，事件B的概率． 题型04：与频率分布直方图综合 【例27】某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图.设成绩在88分以上（含88分）的学生为优秀学生，现从甲、乙两班的优秀学生中各取1人，记甲班选取的学生成绩不低于乙班选取得学生成绩记为事件，则事件发生的概率___________. 【答案】 【详解】从甲、乙两班的优秀学生中各取1人所有的可能为： ， 共18种情况，其中甲班选取的学生成绩不低于乙班选取得学生成绩的情况有4种， 所以， 故答案为： 【例28】如图，这是甲、乙两位同学在4次数学测试中得分的茎叶图，若从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，则甲同学抽选的得分高于乙同学抽选的得分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分， 则共有16种情况，其中甲的得分高于乙的得分的情况有7种， 故所求的概率为． 故选：B. 【例29】某中学高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中． (1)求出a，b，估计测试成绩的分位数和平均分； (2)按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率． 【答案】(1)，，85，76.5；(2) 【解析】（1）由频率分布直方图可知，即， 又，所以，， 前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 则分位数，且． 测试成绩的平均分为：. （2）成绩在和内的人数之比为， 故抽取的4人中成绩在内的有3人，设为，，， 成绩在内的有1人，设为， 再从这4人中选2人， 这2人的所有可能情况为，，，，，，共6种， 这2人成绩均在内的情况有，，，共3种， 故这2人成绩都在内的概率． 【例30】某中学参加知识竞赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取800名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)请补全频率分布直方图并估计这800名学生的平均成绩； (2)采用分层随机抽样的方法从这800名学生中抽取容量为40的样本，再从该样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90分的概率. 【解题思路】（1）根据频率分布直方图求得成绩落在的频率，从而可得这800名学生的平均成绩； （2）根据分层抽样确定成绩在内的人数并标记，成绩在内的人数并标记，根据古典概型列举基本事件种数及所求事件种数，即可得概率值. 【解答过程】（1）成绩落在的频率为， 补全的频率分布直方图如图： 这800名学生的平均成绩约为； 55×0.15+65×0.30+75×0.40+85×0.10+95×0.05=71（分）； （2）抽取的40名学生中，成绩在内的有（人），分别记为，，，，成绩在内的有（人），分别记为，， 从这6人中随机抽取2人的基本事件有 ，，，，，，，，，，，，，，.共有15种. 记事件“至少有1名学生成绩不低于90分”，则事件包含的基本事件有： ，，，，，，，，，共9种， 所以所求概率为. 【例31】某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：h），并根据统计数据分为，，，，，六个小组（所调查的居民平均每天的运动时长均在内），得到的频率分布直方图如图所示. (1)求出图中m的值，并估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数； (2)按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在，这两个时间段内的居民中抽出6人分享运动心得，若再从这6人中选出2人发言，求这2人来自不同分组的概率. 【答案】(1)，2.4h；(2). 【解析】（1）由，解得. 因为，所以中位数在内， 设中位数为x，则，得， 即估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数为2.4h. （2）由题知，平均每天运动时长在，内的频率分别为0.25，0.05， 则应从平均每天运动时长在，内的居民中分别抽出5人，1人. 记时间段内的5人分别为a，b，c，d，e，记时间段内的1人为M， 则从这6人中选出2人的基本事件有，，，，，， ，，，，，，，，共15个， 2人来自不同分组的基本事件，，，，，共5个， 3这2人来自不同分组的概率为. 【例32】某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分．现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为 [ 40,50），[ 50,60），[ 60,70），[ 70,80），[ 80,90），[ 90,100 ]，共6组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求m的值，并求这100名学生成绩的平均数和中位数（保留一位小数）； (2)现采用分层抽样的方式从 [ 50,60）和 [ 70,80）的学生中抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者分数差大于10分的概率． 【答案】(1)，平均数为72分 ，中位数为 分；(2) 【解析】（1），解得， 平均数为， 中位数为 分； （2）在[ 50，60）中抽取人，记为； 在[ 70，80）中抽取人，记为. 所有的取法为： 共15种. ，满足条件的有共8种. 所求概率为. 【例33】黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求x的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）； (3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 【答案】(1)；(2)83.33；(3) 【解析】（1）由图知：，可得. （2）由， 所以分位数在区间内，令其为， 则，解得. 所以满意度评分的分位数为83.33. （3）因为评分在的频率分别为， 则在中抽取人，设为； 在中抽取人，设为； 从这6人中随机抽取2人，则有： ， ，共有15个基本事件， 设选取的2人评分分别在和内各1人为事件， 则有，共有8个基本事件， 所以. 一、填空题 1.从分别写有1，2，3，4的4张卡片中有放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则2次抽到的卡片上的数字之和为5的概率为 ． 【答案】/ 【分析】利用列举法结合古典概型概率公式求解即可. 【详解】把第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为，记为. 则4张卡片中有放回的随机抽取2次所有情况为： ， ，共16种. 其中数字之和为5的有4种，则所求概率为. 故答案为： 2.掷一颗骰子两次，记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量，，则向量与共线的概率为 ． 【答案】. 【解析】首先求出向量共有多少个，然后求出与平行的向量有几个，再由概率公式计算概率． 【详解】由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有种结果，又由向量，共线，即，即，满足这种条件的基本事件有：，，共有3种结果，所以向量与共线的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查古典概型．关键是求出基本事件的个数． 二、选择题 3．甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球（两个箱子中球的大小和形状完全相同），其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，记事件A表示“从乙箱中取出的球是红球”，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件的加法公式和古典概型的概率公式可求出结果. 【详解】. 故选：C 4.设m，n∈{0，1，2，3，4}，向量，则∥的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由∥，可得，而m，n∈{0，1，2，3，4}，则m，n的取法共有25种，而满足只有3种，从而可求得概率 【详解】因为∥，， 所以，得， 因为m，n∈{0，1，2，3，4}， 所以，或，或， 所以所求概率为， 故选：B 【点睛】此题考查古典概型的概率的求法，考查向量共线的性质的应用，属于基础题 5.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量，的夹角为，则为钝角的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知求出满足条件的满足的关系式，然后分别令，求得满足条件的.然后即可根据古典概型概率公式，得出答案. 【详解】由可得，， 所以. 因为为钝角，所以，且不共线， 所以，即，且. 当时，有且，所以可取1，3，4，5，6； 当时，有，可取3，4，5，6； 当时，有，可取5，6； 当，，时，，此时无解. 综上所述，满足条件的有11种可能. 又先后抛掷两次，得到的样本点数共36种， 所以为钝角的概率 故选：D. 三、解答题 6.抛掷两颗骰子，求： (1)点数之和是4的概率； (2)点数之和小于4的概率； (3)点数差的绝对值为3的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）抛掷两颗骰子，基本事件的总数， 点数之和为4包含的基本事件有：（1，3），（2，2），（3，1），共3个， 所以点数之和为4的概率； （2）点数之和小于4的包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），共3个， 所以点数之和小于4的概率； （3）点数差的绝对值为3的基本事件有：（1，4），（2，5），（3，6），（4，1），（5，2），（6，3），共6个， 所以点数差的绝对值为3的概率； 7.同时骰两枚骰子，求： (1)至少有一个点数为6的概率； (2)点数和为6的倍数的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）同时骰两枚骰子,所有的基本事件有 共有36个， 至少有一个点数为6有共11个，故概率为 （2）点数和为6的倍数的包含的基本事件有共有6个，故概率为 8.抽取某车床生产的8个零件，编号为，，...，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品. (1)求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率. 【答案】(1) (2)结果见解析， 【分析】（1）根据条件，利用古典概率公式，即可求出结果； （2）根据条件，列出样本空间点和事件的样本点，利用古典概率公式，即可求出结果. 【详解】（1）由所给数据可知，一等品零件共有5个. 设“从8个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件，则. 所以，从8个零件中，随机抽取一个为一等品的概率为. （2）一等品零件的编号为，，，，.从这5个一等品零件中依次不放回随机抽取2个，所有可能的结果有：，，分共20种. 设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”为事件，所有可能结果有：，共有8种. 所以，. 9.一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球. (1)求第二次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率； (3)如果袋中装的是4个红球，个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么是多少？ 【解题思路】（1）先求出从10个球中不放回地随机取出2个的不同取法数，再求出第二次取到红球的不同取法数，然后求概率即可； （2）结合（1）求解即可； （3）由取出的2个球都是红球的概率求出基本事件的个数，然后再求解即可. 【解答过程】（1）从10个球中不放回地随机取出2个共有（种）可能，即， 设事件“两次取出的都是红球”，则， 设事件“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则， 设事件“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则， 设事件“两次取出的都是绿球”，则， 因为事件两两互斥， 所以P（第二次取到红球）. （2）由（1）得，P（两次取到的球颜色相同）； （3）结合（1）中事件，可得，， 因为， 所以，即，解得（负值舍去）， 故. 10.班级新年晚会设置抽奖环节．不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个(编号为1，2，3)，黄球2个(编号为4，5)，有如下两种方案可供选择： 方案一：一次性抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品； 方案二：依次无放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品； 方案三：依次有放回地抽取2个球，若编号的数字之和大于5，则获得奖品． (1)分别写出按方案一和方案二抽奖的所有样本点； (2)哪种方案获得奖品的可能性更大？并说明理由． 【解题思路】（1）根据题意，设三个红球分别为：，两个黄球分别为，利用列举法一一列举出来即可得到答案； （2）根据古典概型，分别求出三种方案的概率，即可得出结论 【解答过程】（1） 记摸到1，2，3号红球分别为，，，摸到4，5号黄球分别为，， 则按方案一一次性抽取2个球的所有样本点为，，，，，，，，，，共10个； 按方案二依次无放回地抽取2个球的所有样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20个； （2） 方案一中，设事件A表示“一次性抽取的2个球颜色相同”， 则由（1）知事件A包含，，，，共4个样本点， 故； 方案二中，设事件B表示“依次无放回抽取的2个球颜色相同”， 则由（1）知事件B包含，，，，，，，，共8个样本点， 故； 方案三中，设两次抽查取的球所标的数字分别为、， 则所有可能的基本事件对应的二元有序数组表示如下表，共25个基本事件， （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） 在方案三中，设事件C表示“抽取的2个球编号的数字之和大于5”， 则事件C包含(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共15个样本点， 11.一个袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球，4个绿球，从中不放回地依次随机摸出2个球． (1)求第二次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率； (3)如果是2个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由古典概型的概率计算公式，分别列举所有可能情况，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分别列出出所有情况，然后代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由古典概型概率公式，列出方程，即可得到结果. 【详解】（1）将两个红球编号为1，2，四个绿球球编号为3，4，5，6．第一次摸球时有6种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时有5种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，设第一次摸到的球的编号为m，第二次摸到的球的编号为n，样本点为，则样本空间为，则． 设“第二次取到红球”为事件A，则，即 ， 所以，故第二次取到红球的概率为． （2）设“两次取到的球颜色相同”为事件B，则，即 所以，故两次取到的球颜色相同的概率为 （3）由已知得，解得． 12.某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，按分组，，，，，，整理后得到如下频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)请用样本数据估计本次联考该校语文平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）； (3)用分层随机抽样的方法，从样本内语文成绩在，的两组学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人语文成绩在的概率. 【解题思路】（1）根据频率分布直方图中小矩形面积和为1，求得x； （2）用每一组区间的中点值代替该组数据，计算平均数； （3）计算分层抽样每层抽取人数，列出所有选出2人的基本事件，求出概率. 【解答过程】（1）由频率分布直方可知， ， 解得； （2）由图可知，语文成绩在，，，，，，的频率分别为0.12，0.22，0.28，0.18，0.10，0.08，0.02，设样本数据中语文平均成绩为， 则 ， 故估计本次联考该校语文平均成绩为107.4分； （3）由题知，样本内语文成绩在，的学生分别有8名和2名， 按分层随机抽样抽取的5名学生中，分数在的学生有4名，记为A，B，C，D， 在的学生有1名，记为e， 从这5名学生中随机选出2人，所有的情况有10种：AB，AC，AD，Ae，BC，BD，Be，CD，Ce，De， 其中恰有一人语文成绩在的有4种：Ae，Be，Ce，De， 则这5名学生中随机选出2人，恰有一人语文成绩在的概率为. 13.某手机生产厂商要生产一款5G手机，在生产之前，该公司对手机屏幕的需求尺寸进行社会调查，共调查了400人，将这400人按对手机屏幕的需求尺寸分为6组，分别是：，，，，，（单位：英寸），得到如下频率分布直方图：其中，屏幕需求尺寸在的一组人数为50人.    (1)求和的值； (2)用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为和两组人中抽取6人参加座谈，并在6人中选择2人做代表发言，则这2人来自同一分组的概率是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）可求得在的一组的，可求，利用概率和为，可求得； （2）由已知可求得屏幕需求尺寸为的人数与屏幕需求尺寸为的人数，可求得在每组各抽了多少人，利用古典概型概率公式计算可得2人来自同一分组的概率. 【详解】（1）因为屏幕需求尺寸在的一组人数为50人， 所以其频率为.又因为组距为0.5，所以. 又因为，所以， 即，. （2）因为屏幕需求尺寸为人数为：， 屏幕需求尺寸为人数为， 若要用分层抽样的方法抽取6人 所以要在组中抽2人，设为，； 要在组中抽4人，设，，，， 因此样本空间 ，，，，，， ，，，，共15个基本事件， 而这2人来自同一分组为事件， ，共7个基本事件， 所以这2人来自同一分组的概率. 14.某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． (1)求、的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数； (2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率． 【答案】(1)，平均数为69.5 (2) 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，可得，；根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解. （2）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可． 【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以， 解得， 所以前两组的频率之和为， 即，所以； 平均数为， （2）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为， 这5人中选出2人，所有情况有，，，，，．，，，，共有10种情况， 其中选出的两人来自同一组的有，，，，，共6种情况， 故选出的两人来自同一组的概率为． 15.某工厂生产的每件产品所用原材料的质量（单位：千克）是一定值，每件产品的价格是以长度（单位：米）计算的，产品越长也就越细，要求工人的技术水平越高，产品价格也就越高，但市场对各种长度的产品都有需求.为了预测市场需求并合理安排生产任务，查阅以往售出的产品的长度，随机抽取了件产品，并将得到的数据按如下方式分为组：、、、，绘制成如下的频率分布直方图： 工厂今年一月份按频率分布直方图提供的数据生产了件产品. (1)求今年一月份生产的产品长度在的件数； (2)现从和两组产品中以分层抽样的方式抽取件产品，客户在这件产品中再随机抽取件，求这件产品在和两组中各有件的概率. 【解题思路】（1）将产品长度在的频率乘以可得结果； （2）分析可知，在的产品有（件），设编号分别为、、，在的产品有（件），编号分别为、、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可得，产品长度在的有（件）. （2）由题可知，按分层抽样抽取的件产品中， 在的产品有（件），设编号分别为、、 在的产品有（件），编号分别为、、、， 则在件产品中随机抽取件，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、，共有个基本事件， 其中事件“抽到的件产品在和两组中各有件”所包含的基本事件有： 、、、、、、、、、 、、，共个基本事件， 故所求概率为. 16.开学初某校进行了一次摸底考试，物理老师为了了解自己所教的班级参加本次考试的物理成绩的情况，从参考的本班同学中随机抽取n名学生的物理成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的学生中成绩在内的有3人． (1)求n的值； (2)已知抽取的n名参考学生中，在的人中，女生有甲、乙两人，现从的人中随机抽取2人参加物理竞赛，求女学生甲被抽到的概率． 【解题思路】（1）利用直方图可得到成绩在内的频率，结合频数即可求解； （2）先计算出成绩在的人数，然后列举出抽取2人的总情况和甲被抽到的情况，利用古典概型进行求解即可 【解答过程】（1）由频率分布直方图知，成绩在内的频率为． 因为成绩在内的频数为3， 所以抽取的样本容量． （2）由频率分布直方图知，抽取的学生中成绩在的人数为， 因为有甲、乙两名女生，所以有两名男生． 用丙，丁表示两名男生，从4人中任取2人的所有情况为甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6种，其中女学生甲被抽到的情况共3种． 所以随机抽取2人参加物理竞赛，其中女学生甲被抽到的概率为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $