各位老师大家好，我们来自新疆昌吉州第一中学，我们汇报的题目是多角度探索轨迹方程，拓视野论证横过定点。曲线与方程是高中数学中的常见概念，曲线是一种描述函数行为的几何图形，方程式以数学表达式的形式表示多个变量之间的关系。高中阶段平面解析几何研究的主要内容，一、由已知条件求出表示平面曲线的方程。2、通过曲线方程研究曲线的性质。圆锥曲线是高考检测中的必考内容，主要出现在试卷的压轴题位置。近几年来，圆锥曲线的考查多以第一小问求解动点的轨迹方程，第二小问求解定值定点问题。出现圆锥曲线问题涉及了多种数学思想，如数形结合思想、函数与方程的思想、转化与化归的思想，考察了学生的数学抽象、数学建模、数学运算、数据分析等核心素养，充分体现了课程标准中对数学能力的考察要求，有利于考察学生的综合能力。本命题小组根据上述考察内容，对以下两道题目进行了深度的改编，旨在考察探究求解曲线的方程和圆锥曲线的定点问题，深层次探究，多角度思考，形成多种解法，拓宽学生的思路，提升学生的数学素养。原题一，福建省三明市2022至2023学年上学期期末质量检测第22题，原题2，2023河北唐山开滦二中高三上学期期末考试第21题，改编题如图，已知P是曲线M上的动点，过N根号30作直线NP的垂线，垂足为N交MP于点Q设线段PQ中点E的轨即为曲线伽马。一求曲线伽马的方程。2、设曲线伽马与X轴的两个交点分别为AB2点CD为曲线伽马上异于AB的两个动点，且有AC的斜率与BD的斜率之比等于7，求证直线C的横过X轴上的一个定点。本编辑综合了上述两个命题的特点，改动之处为，一、将原题一中已知曲线条件的直角坐标呈现形式改变为参数形式。2、将原题二两直线斜率线性关系式改变为斜率的比值关系式。考察的目标考察了动点的轨迹方程、圆的参数方程与直角坐标方程的相互转化，利用椭圆的定义和平面几何知识求椭圆方程、椭圆基本量的运算、直线与椭圆的位置关系、椭圆中的定点探索性问题涉及到了数形结合分类讨论的数学方法。下面有请本命题小组的孙浩老师和盛钊老师给大家分享我们的解法。第一问和大家分享五个思路。思路一，将圆的参数方程转化为直角坐标方程，根据椭圆的定义结合几何图形求得伽马轨迹方程。思路二，设出点P的参数坐标，联立直线MPNQ求出Q点坐标，利用中点公式求出一点的参数坐标，消参得伽马轨迹方程。思路三点Q在MP上依据定比分点坐标公式写出点Q坐标，再由NP向量点乘NQ向量等于零确定点Q坐标，最后由线段中点坐标公式得出点E坐标参数，表示消去参数即可得伽马轨迹方程。思路四，写出点PN对应的复数，注意到NP垂直NQ，利用复数ZI的几何意义可表示出点Q对应的负数，依据复数加法求出一点对应负数，从而可知点E的参数坐标，肖参德伽马轨迹方程葫芦。根据人教A版必修二第53页综合运用第11题涉及到的向量旋转公式，已知，对任意平面向量AB等于XY，把AB向量绕起，起点A沿逆时针方向旋转西塔角，得到AP向量等于X倍，cosine西塔减Y倍，sine西塔减X倍，sine西塔加YY倍cos西塔叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转西塔角得到点P下面进行证明。如图2，设角XAB等于阿尔法角BAP等于西塔。设AB向量的模等于AP向量的模等于R则B点对应的复数指数形式可以写出来，进而可得P点对应的复数指数形式。将复数的指数形式与三角形式联立进行化简，可以得到X倍cosine西塔减Y倍sine西塔，X倍sine西塔加Y倍cosine西塔。这里要注意r cosine阿尔法等于XR sine阿尔法等于Y于是可以证明AP向量等于X倍cosine贝塔减Y倍sine贝塔，X倍sine西塔加Y倍cosine西塔是成立的。该旋转公式的矩阵形式和复数形式如下。因此注意到复数NP上的单位复数，逆时针旋转角PNE之后，得到复数NE上的单位复数，从而可通过负数旋转表示出一点对应负数，得出点一的参数坐标，消参得一点轨迹方程。依据上述解题思路，绘制如下思维导图。下面进行解法分析。解法一通是通法，也就是公式法。将曲线M的参数方程化为直角坐标方程。可以得到曲线M是以负根号30为圆心，四为半径的圆。因为P是在圆上的动点，即PM等于4，又因为NQ垂直NP所以三角形PNQ为直角三角形，E为斜边PQ的中点，所以EN等于EP所以EM加EN等于EM加EP等于4。又因为MN2点间的距离等于二倍根号三小于4，所以点E的轨迹是以MN为焦点，长轴长为四的椭圆。此时该椭圆的A等于2，C等于根号3，B等于一，故所求的轨迹方程为四分之X方加Y方等于1。千锤百炼的数学定义有其深刻的几何意义，蕴含丰富的数学思想，体现着数千年来数学家的思想结晶，传承着优秀的数学文化，培养着一代代数学骄子。正式数学定义多精炼，千锤百炼成经典。深刻理解勤应用，日积月累造诣颠。解法二，消参法。有同学发现题目中曲线M是参数形式，于是设P点为四倍cosine西塔减根号三四倍sine西塔，进而可得MP直线的斜率与NP直线的斜率联立，MP直线与NQ直线化简得交点Q的坐标。又因为E为PQ中点，通过终点公式可得E点坐标，将一点横坐标与纵坐标通过平方化简可得四分之X方加Y方等于一，故所求伽马轨迹方程为四分之X方加Y方等于1。近年来解析几何热点之一涉及到两直线联立求交点鉴别学生的运算能力，硝酸求解方程考察学生处理数据的能力，是由代数结论向探索几何奥秘转化的必要途径。正是代数优势力运算，几何图形藏奥秘，数形结合易发展，解析几何多传奇。解法三，向量法。有同学发现题目中涉及到了三点共线以及垂直等关系，可以通过向量知识进行求解。依据题意将MNP点坐标分别设出，又因为Q点为MP上的动点，所以可以得到OQ向量等于兰姆达贝OP向量加一减兰姆达贝OM向量，进而化简得OQ向量，又可以得到NQ向量与NP向量。由题知，NQ向量垂直NP向量，即NQ向量与NQ向量的数量积等于0，化简可得莱姆达。将land带入OQ向量坐标中，化简可得OQ向量坐标。又因为E为PQ中点，于是OE向量等于2分之1倍。OP向量加OQ向量再次进行化简可以得到OE向量坐标，于是线段PQ中点E的轨迹方程为四分之X方加Y方等于1，其轨迹为椭圆。利用向量处理平面几何问题时，最重要的是首先在平面图形中寻找几何图形中具有向量因素的特征，例如共线、平行、垂直线段的倍分等。然后利用向量求解本题。几何图形具有向量因素的特征有，1MQEP4点共线。二点E为线段PQ中点。3NP垂直NQ。依据上述向量特征，可采用向量解决本类命题，正是，向量工具十分好，代数几何互兼通，直角坐标指方向，学海泛舟成长。分解法。四负数旋转90度。根据题意可知，M点对应的负数等于负根号3，N点对应的负数为根号3，P点对应的负数为四倍cosine GATA减根号3加4I倍的塔。于是P点对应的负数可以表示为ON向量加NQ向量可以表示为N点对应的负数加NP向量乘以TI这里要注意，NP向量乘以I是指将P点以N为起点逆时针旋转90度，T是指将旋转后的负数膜伸长或缩短为原来的T倍。又因为MPQ3点共线，即QM直线斜率与PM直线斜率相等，化简可得T等于根号3 sine西塔除2减根号3 cosine西塔。又因为E为PQ中点，即E点对应的负数等于2分之1倍。P点对应的负数加Q点对应的负数化简可得一点坐标。于是可得线段PQ中点E的轨迹方程为四分之X方加Y方等于1。向量与复数有许多共性之处。新教材复数地位的重新回升源于复数乘法的几何意义，便于处理向量旋转问题，而利用向量处理旋转则极为不便。负数处理平面几何旋转问题时，最重要的是首先在平面图形中寻找几何图形中具有旋转因素的特征夹角，例如特殊角、直角，然后利用复数、三角式和指数式进行复数乘除运算求解本题。几何图形具有明显的旋转因素特征垂直关系，依据复数所表示的向量与虚数单位的相乘几何意义，解决本类命题正是向量复数各千秋，同为空俱尽风流。若论空中翻筋斗，拇指夸赞复数流。解法五，复数的旋转法第二种旋转角PNE第五种方法与第四种方法思想同源，但是在计算过程中更为复杂，这里只作为写法上的补充。通过上述复杂运算也可以得到PQ中点E的轨迹方程为四分之X方加Y方等于一本。解法与思路四同源，不同之处在于对几何图形认识的侧重点。思路四的侧重点在于垂直关系，思路五的侧重点在于直角三角形斜边的中线等于斜边的一半及线段的倍分关系。正是横看成岭侧成峰，远近高低各不同。谁到华山一条路，起经黄河百汇城。下面由盛姣老师和我们一起分享第二小问。第二小问和大家分享3种思路。思路一，为了避免分类讨论，设出直线CD的横截式方程，与椭圆方程联立，由题意列方程，通过韦达定理化简求解。思路二，从特殊位置入手，确定直线横过的定点，再设出非特殊位置时过定点的直线方程，利用韦达定理验证该直线满足题意。素三两点式巧构交叉机妙解蝴蝶模型，设直线CD的两点式方程，利用斜率之间的关系，采用代入法，巧妙化解直线横过定点问题。依据上述解题思路，绘制如下思维导图。解法一一，已知A点坐标-20，B点坐标20，设C点坐标X1Y1，B点坐标X2Y2。设直线CD的横截式方程为X等于TY加NN不等于正-2。与椭圆联立X得Y的1元2次方程，且有德耳塔大于0，得T方减N方加四大于0，由韦达定理得Y1加Y2与Y1乘Y2。因为点C是椭圆上一点，既满足椭圆方程，可得AC斜率与BC斜率之积为-4分之1，再利用ac斜率等于七倍，BDY斜率可得28倍，BC斜率与BDY斜率之积为负一。将BCD3点坐标代入化简可得N等于-2分之3，故直线CX等于TY减2分之3。横过X轴上的定点-2分之30。直线的斜率有可能不存在时，设直线方程为横截距式方程，有效的避免了分类讨论的问题。直线与椭圆方程联立应用韦达定理是解析几何命题的资源，正是分类讨论路崎岖，难免疏忽丢分毁。一朝横截方程来，喜笑颜开远或累。思路二，从特殊位置入手，设直线CD过点T0分类讨论第一种情况，当直线C的斜率不存在时，此时直线方程为X等于T与椭圆方程联立可得CD2点坐标，由AC斜率与B的斜率之比为七，化简可得T等于-2分之3，故此时直线过定点-2分之30。第二种情况，当直线C的斜率存在时，由特殊位置之直线横过定点-2分之30，故可设直线方程为Y等于K倍的X加2分之3，与椭圆方程联立交Y得X的1元2次方程。设C点坐标X1Y1，D点坐标X2Y2。由韦达定理可得X1加X2与X一乘X2。将AC的四点坐标代入计算AC斜率比B的斜率，化简可得AC协率与B的斜率之比为七，满足题意，故直线CD过定点-2分之30成立。从特殊位置入手探究，猜测出直线过某定点，再设过该定点的直线方程，证明和验证该实现。满足其意，思路明确，易于操作，正是问题解决有困难。且看特殊神助攻，柳暗花明又一村，世外桃源铺面风。方法三，两点是巧构交叉机一题。已知A点坐标-20，B点坐标20，设C点坐标X1Y1，D点坐标X2Y2。设直线CD的两点式方程为X1减X2倍Y加Y2减Y1倍X等于X1，Y2减X2Y1。由AC斜率等于7倍B的斜率可得，一是化简得七倍的X1，Y2减X2，Y一等于-2倍Y1减14倍Y2。利用CD2点在椭圆上满足椭圆方程代入化简可得3试4试，将三式四式代入一式可得X1Y2减七倍，X2Y1等于两倍，Y2加14倍，Y12式加5式得X1Y2减X2，Y一等于2分之3倍的Y1减Y2。与CD的两点式方程联立，利用斜率关系巧妙构造出直线CD的横截式方程，X等于X1减X2比Y1减Y2倍的Y减2分之3，其中X1减X2比Y1减Y2为C的斜率的倒数，故直线CD横过I走上一定点-2分之30。采用两点式巧构交叉机直线模型，目标明确，设法应用已知条件导出交叉基因之差X1Y2减X2Y1，即可顺利求出斜率的关系，有利于本题目标达成。正是两点交叉直线式坐标之差。交叉机逢山开路，遇水桥，不达目的不回师。相关试题链接。如下。相关试题链接解答请参见。文字资料。感谢各位同仁的倾听，祝大家身体健康，工作顺利。