各位老师好，我们是来自珠海市第二中学的命题小组。本命题小组的成员有李庆民老师、刘磊老师和刘珊老师。今天我们要给大家分享的是一道以教材和高考为导向命制的圆锥曲线压轴题。本试题总体设计遵循六大原则，一、依据课程标准，发挥引导作用。二突出与数学教材的联系，加强教考衔接。三突出和高考真题的联系，体现考试的传承性。四突出与数学文化的联系，体现数学的应用价值。五突出圆锥曲线的一般研究规律及通性通法和热点问题于一体。六突出数学学科核心素养的考察，发挥选拔功能。接下来我将从七个部分进行具体的分享。第一部分试题。本试题涉及了三个小问，第一小问求轨迹，第二小问证明两个斜率之殇为定值，第三小问求角的最大值。第二部分问题来源及解法分析。第一问，第一问主要来源于人教A版选择性必修一的立体改编。低问采用直接法求轨迹即可，是轨迹求解方法中最常用的方法，不过要注意斜率是否存在的讨论。第二问，第二问也来源于此例题，是这个例题结果的逆运用，即两次证的基为定值，再证商为定值。同时它还来源于人教A版选择性必修一另外一个习题，也是这一个习题结果的逆运用，即求出轨迹再振的斜率之殇为定值。第二问的解法多种多样，我们主要有三大思路。思路一，圆锥曲线中较多的是斜率之积为定值的问题。本次是证明斜率之殇为定值，故可以通过两次斜率资金为定值后再做商去求解。在这个过程当中，计算的方法有多种多样，我们主要给出了其中的两种计算方法。思路二，直接选择合适的变量来表示斜率之殇，根据化简变形情况再考虑如何进一步得到定值。这个地方的化简变形运算方法同样也是多种多样，我们也给出了两种计算方法。思路三，若斜率之殇为定值，以教材练习题可知焦点轨迹为直线，故只需求出交点的轨迹为一条直线，再证明斜率之殇为定值即可。第三问来源于人教版必修数学五的习题改编及最大视角问题的改变，也来源于2022年全国甲卷理科第二十题改编。既然是最大视角问题，那也就是以米勒定理为背景，米勒帝女铺垫其实极为圆周角大于圆外角的问题。这里也给出了米勒定理的具体呈现。第三问的这个解法，我们主要有两个思路。思路一，利用倒角公式或夹角公式变成函数形式求解最值。思路二，找准特殊位置，借助于几何作图求解最值，也就是利用米勒定理第三部分思维导图。根据以上的问题来源和解法分析，我们设计了第二小问和第三小问的思维导图。第二小问思维导图如刚才所说，第二小问我们主要有三大思路。思路一证明两次斜率之积，那这个地方K2和KAQ很容易得到。在证明K1和KAQ斜率为定值的时候，计算方法多种多样，我们给出了两种。其一采用韦达定理直接进行计算，其二先平移再进行其次化求解。思路二，利用非惟非对称性韦达定理计算方法也是多种多样。我们给出了两种，其一和积转化，把积化为核的形式。其二构造核再进行化简。思路三，也就是第五种解法，交轨法求一点的轨迹。这个题目中点一的轨迹其实就为这个椭圆的内准线。第三问的思维导图两大思路。其一代数法利用夹角公式，其二几何法利用米勒定理的背景问题，后续有一个具体解法的呈现。第四部分试题详解及点评。第一小问常规的求轨迹问题，常规解法即可，注意考虑斜率是否存在，要添加X不等于0。第一问为常规轨迹问题求解，同时也是圆锥曲线常用性质的考察，学生较为熟悉，难度较低。第二问，解法一，解法一和解法二都是基于我们刚才所说的思路，一两次咸鱼之积为定值再做上。解法一当中，只是处理方式有别于解法2。处理方式为韦达定理正定值设出点P点Q和直线联立韦达定理得到两根之积，两根之和代入去求解KBQ乘以KPB这个地方的化简，直接代入韦达定理相关的值进行化简，代入化简得到乘积为定值，再由两个乘积为定值，做商得到K2比K一为定值。解法二同于解法一的思路，只不过在计算当中处理方式有所不一样，先平移再进行其次化。那么平移方法多种多样，在这个地方我们只采用了其中的一种平移方式，将它们整体往上平移根号三个单位长度，椭圆就变成了这样的式子，直线也平移廉吏再化简。得到这个形式之后进行其次化，其次化极容易得到了KBQ乘以KPB为定值，两个斜率之积为定值，坐商得到K2比K一为定值。这个是思路一解法三和解法四。思路二，非对称性韦达定理的运用。解法三是采用的计算方法为化积为和。我们可以知道韦达定理之后，能够得到两根之积和两根之和有这样的一个关系式。那么在接下来化简K2乘K1的时候，在此处第一种方法，我们可以把两根之积化为和的形式化为和的形式，再化简得到这样一个式子，得到定值。这个思路下的另外一种解法处理方法就是构造和一样。得到这个形式之后，我们不采用把积化为和的形式，而是在这个地方构造一个两根之和。配成了两根之和，那我后续就需要减掉这一部分，利用韦达定理代入进来化简得到定值。解法三解法四就是我们的思路。二解法五交轨法求点一的轨迹，再证明尚未定制交轨法当中，我们先来设LPA和LQB联立消X此处为什么采用消X而不是消Y呢？其实我们可以观察一下后续要去求证的K2与K一的比值。化简之后，我们会得到这样一个形式。要说明这个形式为定值，必然是要去求解Y相关的。所以前面我们是进行了消X的运算，运算过程这个地方有所呈现。运算过程一步一步化简，其实就可以得到Y加根号3除以Y减根号三为定值。继续化简得到Y等于3，也就说明直线AB和直线QB的交点E轨迹方程为Y等于3，如我们刚才所说，K2比K一的相关化简，代入Y等于3，即得到比值为定值。以上就是第二小问的5种解法。第二小问考察了非对称性、韦达定理、定点定值线、定值对准线、其次化等解析几何中的热点、难点、常考点的问题，对学生综合能力要求较高。第二小问与教材联系非常紧密，且思路较为丰富，深挖内容臻于完备，计算方法很是巧妙，重难点知识尤为集中，思想方法颇为聚集，可谓集重要知识于一体，可以提升数学学科的六大核心素养。当然此题的解法还很丰富，欢迎各位老师进行相关的补充。第三小问两大思路，其中思路一所呈现的解法一突出焦点一的轨迹和几何方法，紧扣课本知识和数学文化。我们刚才也有去运算过，那么先求出点一的轨迹方程为Y等于3，具体的求解设直线BQPA，然后进行一个相关的运算，前面有所呈现，得到点E的轨迹为Y等于3。那么我们要求解的最值问题就转化为了在Y等于三的这条直线线上寻找点E使得角AEB为最大值，很明显就是一个最大角问题。那么利用米勒圆相关求解即可。那这个地方如何去说明此时的角AEB？也就是说当点E为过点AB的圆与直线Y等于三的切点的时候，它为最大值。那如何说明呢？有个最详细的解决证明过程，就是我们再去取这条直线上的任意点F只需要证明角AEB始终大于圆外角afb即可，很容易说明。那此时我们求解出这个位置下的点一的坐标就行了。那我们不妨设一下直线Y等于3与Y轴的交点为点D此时根据这个米勒圆，我们知道借助于圆的切割线定理，有DE的平方等于DA乘以DB所以可以迅速求解出DE等于根号6。那么1点2个坐标值，这是解法一。解法二则是突出代数方法，紧密联系高考真题。我们可以来看，如果我把AP和QB的倾斜角分别设为一个贝塔角和阿尔法角，其实角AEB的碳均值就跟阿尔法和betta有紧密的联系。那我们思考可以利用倒角公式，但后续为了方便运算，我们来思考一下角AEB是否一定为一个锐角呢？那又如何证明它为一个锐角呢？我们不妨连接一下AQ，连接AQ我们来观察角AQB为锐角，那它一定为锐角呢？首先我们可以观察到AB是这个椭圆的短轴长，那短轴长我们就很容易发现角AQB一定是一个锐角。那么这个地方我们也可以进行一个详细的说明。详细的说明，我们不妨就是构建一下AQ向量和BQ向量，算一下它们的数量级，射出点Q我们算一下两个向量的数量积，容易发现大于0，也能够详细的严谨的去说明，叫AQB very锐角。既然角AQB为锐角，我们很容易观察角AQB为三角形AEQ的外角，也就是角AQB等于角A1Q加角EAQ，那么它为锐角，角AEB就一定为锐角。有了这样一个结论，如我们刚才所说，探针角AEB直接等于tangent尔法减贝塔的绝对值。也就是说我们把倒角公式转化为了一个夹角公式的相关继续化解。再结合第二小问的一个结论，K2比K一为定值。代入到其中得到这样一个式子，这个式子即可利用基本不等式求出最大值。当且仅当这个时候等号成立，求解得到K同时求解得到点E的坐标。第三小问丰富和延伸了教材例题和高考真题的考察内容，在生活中有着实际的应用价值。其中方法一，将圆的切割线定理和数学文化紧密联系，在进一步用平面几何的知识求最大角，这里所涉及到的数学文化就是米勒问题，这种方法体现了数形结合的解题思想。其中方法二将倒角公式延伸到了夹角公式，这里就有一个角为锐角的相关证明。后来结合基本不等式求得最值此即为利用代数思想解题。第六步，第五部分命题过程。我们在命题之初借助了信息技术挖掘知识的深度。本次命题来源于李庆林老师实际教学中发现的问题，得益于George bra中动态演示助力时刻联系教学实际和证明相关结论，进一步完善了圆锥曲线中的常规方法及其高阶版本，如韦达定理至非对称性韦达定理两次利用斜率之积为定值，证明商为定值、圆锥曲线中一般结论及其逆运用、交轨法和非对称性韦达定理的联系、倒角公式至夹角公式等等。而我们在命题过程当中，为了找到一般性的规律，我们是多角度进行证明。我们的第一稿试题如下，第一稿中我们是采用了抽象的字母抽象字母运的运算。那么在具体命题过程当中，只需要把抽象的字母替换成具体的数值即可。同时我们的第一稿采用的背景是双曲线的一个运算，在具体命题我们改成了椭圆的相关运算，都应该是一个类似的运算方式。第六部分测试情况分析。为了更好的了解学生，也为了检验本题的科学性、实用性，我们命题组借助于本题抽取刘磊老师的一个班进行了随堂测验。下面是刘磊老师对本次随堂测验的简单分析。本次测验中把本题分数设置为12分，第一问两分，第二问五分，第三问五分。测试班级为创新班，特控线，上线率百分之百，成绩较好。具体得分情况如表，共收集到有效答卷32分，最高分11分，最低分一分，平均分7.53分。学生解答中通常出现的问题主要有，第一问，部分同学没有考虑到斜率是否存在的一个问题，没有添加上X不等于0。第二问，代数化后，少部分同学对非对称性问题处理能力不足。具体的错误就像他在这儿去求解K2与K一的比值化简，没有办法再进行下去。第三问，大部分同学对于圆锥曲线中角度的处理方法和能力有待提高。不太会去运算角度相关。我们刚才所说的角度相关可以利用代数，通常可以借助于倒角公式、夹角公式，也可以通过几何，就像这里所涉及到的最大视角，结合于米乐园去求解。第七部分参加本次比赛的体会，我们命题组全体成员用心研究教材的重点和难点，认真研究高考试题，用心收集典型试题，用心研究试题的不同解法，用心总结学生解题中的常见错误，从中获取命题的经验和灵感。在命题过程中，我们命题组全体成员深知态度决定高度，想要命出高质量的试题，首先要有一个对学生、对自己高度负责的态度。通过这种态度，我们全身心的投入命题工作。在命题中大家的思想不断碰撞、提升和完善，老师们都谦虚好学，真诚的学习他人的经验和长处，收获颇多。最后非常感谢本次命题比赛的组织方，给了我们一次学习和展示的机会。以上就是我们本次的试题分享，感谢各位的观看，再见。