各位老师，各位同学，大家好，我是李彤，来自山东省胶州市第一中学。我的题目是2023年新高考二卷第22题评析。题目是放缩法化繁为简，构造招变难为易。那么话不多说，让我们直接进入主题。第一问证明当X大于零小于一时，sine x大于X减X方小于X第二问，已知函数FX等于cosine AX减ln 1减X方，若X等于零是函数的极大值点，求A的取值范围。本题的考点是函数型不等式证明。第二部分的考察由极值点求参数范围，重点考察学生的逻辑推理与数学运算素养。第一问我们可以通过移项构造函数，进而通过求导研究函数的单调性以及最值，从而得证。第二问是本题的一个难点。难点一在于三角函数与对数函数相结合，本身就是学生处理的一个难点。二是参数位置，参数在cos里面既没有办法分离出来，也没有办法通过多次求导从而消去，这也是本题解决的一个痛点。下面对本题进行一下分析。结合题意，X00是极大值点，因此在零处的一阶导应该为零。下面我们对一阶导一阶导函数的图像进行分析。那么零应该是一阶函数的一阶导函数的一个变号零点。那么它是如何变号的呢？是如左图所示，在零附近由负变正，那么原函数也就是先减后增，显然是与题干所给action 0是极大值点相矛盾。右图是零处是先由正变负，那么原函数是先增后减，而恰恰与所给题目要求X0为极大值点相符合。那么我们可以得知在零处导函数应该是递减的，所以得到二阶导在零处小于0，进而得到A的取值范围为A大于根2或A小于负根二。那么我们接下来的证明就变成证明当A在这个区间的时候证明成立以及矛盾区间的一个否定，再结合已知条件定义为-1到1，并且我们知道FX为偶函数，那么实际上看成关于A的函数来说的话也是偶函数。我们只需要研究当X属于0到1即可，我们需要证明A大于根号成立，那么结合奇偶性也就证出了A小于负根二成立。那如果我们证出了A大于0小于根二是不成立，同理也就证出A大于负根二小于零也不成立。当A等于零时，那么代入即可证明。大致我们可以分成这几种类别去讨论，进一步明确我们的目标，要证A大于根二成立，那么也就是去证明在0到1的某个子集零到T的时候，一阶导是小于零的，也就说明原函数在零的右侧递减，要证明A大于0小于根二不成立，目标可以转化成在0到1的某个子集零到T的时候一阶导大于0，那么原函数在零的右侧递增，是矛盾的。那么问题就归结为研究函数的一阶导，一阶导函数的结构也是比较复杂的，负A乘以sine AX加上一减X方分之2X函数类型有三角函数以及一个分式函数。那么我们就可以结合第一问中的不等式，对这个导数进行放缩，这也是解决本题的一个关键所在。下面就我们的分析，对第二问研究一下它的思维导图。首先结合一阶导及二阶导研究出A的范围，再结合FX奇偶性，我们只需研究0到1即可。首先需要对矛盾区间进行否定，也就是当A大于等于负根二，小于等于根二时不成立。这里我们分成三个部分证明当A等于零时，可以通过直接代入舍去。当A大于0小于等于根二时，一阶导数的结构是比较复杂的。我们要证明一阶导大于0，那么我们需要对一阶导进行放小，结合第一问的不等式sine x小于X那么可以得到sine AX小于AX在前面乘以负A得到一阶导大于负A方X对右边分式函数2X比上一减X方进行放缩，它大于2X，因此提取公因式得到了一阶导数大于等于0，与题设矛盾，故而舍去。第三段A大于等于负根二小于零时，那么结合奇偶性，那么负A大于0小于等于根二。因此FX可以写成cosine，负AX减乱一减X方同上面的讨论一样，矛盾区间证完之后，我们需要对A大于根2或A小于负根二进行证明成立。我们可以先来证明A大于根二成立。对于一阶导而言，我们需要证明一阶导在0到1上小于0，也就希望对FX进行导数进行放大。结合第一问所证得的不等关系，sin x是大于X减X方的，那么再乘以负A我们就对FX一阶导进行了放大。那么接下来我们需要研究的函数是这个函数吗？如果研究放缩之后的函数结构还是比较复杂的，我们可以考虑能不能提取公因式，使得研究的函数变得更加简单。所以可以考虑到提取公因式X，因为在0到1上X恒大于0，因此我们只需要研究括号里边影响一阶导数的这个符号函数即可。这样我们就构造了一个较容易研究的函数，观察可以发现这个大FX是增函数加增函数，因此单调性是显而易见的。FX在0到1上单调递增，那么我们可以根据零点存在性定理代入端点值0和A分之1。这里大家可以看一下，为什么要代入A分之一呢？而不是一，因为我们在放缩的时候是对sine AX整体进行了放缩，因此要求AX是属于0到1，故而X的范围是零到A分之一。所以我们带入了A分之一这个端点值，那么两个端点值一正一负就可以得到在零到A分之一上存在一个零点，进而大FX在零到阿尔法上小于0，所以一阶导也小于等于0，FX递减。根据奇偶性可以得到FX在负阿尔法到0上递增，零到阿尔法上递减，从而满足题意。2，当A小于负根二时，那么因为负A大于根2，所以FX可以写成cosine。负AX减去ln 1减X方也满足题意。综上所述，A的取值范围最终就是负无穷到负根二并上根二到正无穷。除此之外，我们可以想一下，对于放缩之后的这个函数有没有别的处理方法呢？我们可以发现放缩之后的函数，实际上这个一减X方的符号也是确定的，也是正的。所以第二种处理方法可以把一减X方分之X整体提取出来。括号里变成关于X的一个三次函数，我们就可以构造关于X的这么一个三次函数，从而通过多次求导研究出这个大FX的正负。具体步骤是这样的，通过对大FX求一阶导，研究出在端点值0和A分之一处恒正。因此一阶导恒正大FX在零到A分之一上递增，又集合端点值一正一负，因此结合零点存在性定理，一定存在阿尔法，使得大FX在零到阿尔法上小于0，因此导函数小于0，原函数小FX递减。在考场上，有一些同学可能时间不够充分，就会想到第三种解决办法，也就是利用连续函数的局部保号性。当A大于根号的时候，在零处的二阶导为2减A方小于0，因此存在区间零到阿尔法，使得二阶导在这个区间上恒小于0，所以一阶导在零到阿尔法上递减。又因为在零处的一阶导为零，因此一阶导在这个区间上恒小于0，所以可以得到原函数FX在这个区间上递减，同理可以得到FX的单调性。这种方法我称之为不完美的解法。原因就在于对这个区间零到阿尔法的解释有一些些草率了。如果在考场上时间比较紧张的情况下，这种方法还是值得推崇的。下面是这个题目的解题步骤。我们简单就第一问进行一下说明。通过移项构造了两个函数GX和HX那么求导研究了两个函数的单调性以及最值情况，从而得证。第二问中我们强调一下一个细节问题。在A大于0小于等于根二的时候，X属于零到T我们是对sine AX进行了整体的放缩。因此需要AX大于0小于一X需要满足零到A分之1，因此我们可以取右端点T取一或A分之一的一个最小值。接下来的解题步骤就不再赘述。本题的解题本质就是放缩与构造。我们将导函数通过放缩变大，仍能找到一个区间零到阿尔法，使得一阶导小于0，这是本题的一个解题关键。对于一阶导放缩之后的结果，此处的分析很重要。因为目的是研究正负，因此只要正负明确的，就应该马上取出来，让问题简化降维。因此我们可以提取公因式X变成研究括号里的函数，下面就比较好处理。这不是简单化简问题，而是本题解析的本质。如果直接构造了化放缩之后的这个函数，那么问题就比较难处理了。这也体现了压轴题需要具体问题具体分析和找对最本质问题的思维方法。本题的溯源可以追溯到人教A版教材选择性必修第二册97页的练习题，证明sine x小于X也就是本题的第一问。另外可以追溯到2018年全国三理科的21题。这道题目是以帕德逼近为背景，同样去利用X等于零为极大值点求参数A的值，是道非常经典的导数题目，同学们有时间可以回顾一下。本题的推广从命题角度看，选择想要的函数载体让其满足，一阶导在零处为零，二阶导在零处小于零即可。命题背景可以理解为极值的第二充分条件，也就是FX在X0处具有二阶导数，并且一阶导为零，二阶导不为零。那么当二阶导小于零时，FX在X0处取得极大值，当二阶导大于零时，FX在X0处取得极小值。如果要提高难度，那么我们可以让二街道和3街道持续为零。这也就是2018年的全国三卷的压轴题。实际上命题背景可以进一步推广为机制的第三充分条件，也就是FX在X0处N阶可导，并且一阶导二阶道，直到N减一阶道都为零，N阶导不为零，那么当N为偶数时，FX在X0处取得极值。若N阶导数是小于零的，那么FX在X0处取得极大值。若N阶导是大于零的，那么FX在X0处取得极小值。当N为奇数时，FX在X0处无极值。下面提高提供两道原创命题，以供大家课后练习。第一题也是本题的一个变式，是三角与指数函数结合，根据极大值求A的取值范围。第二题是啊幂和对数相结合，根据极值求A的值egg大家可以发现这分别是本题和2018年道题目的一个辨识问题。最后结合本题的一个解题心得，对本题进行总结以及提出一些学习建议。本题考查由函数的极值点求参数的范围，与2018年全国三卷压轴题有异曲同工之妙。解题需要借助二阶导数分析函数的单调性，这恰恰是学生的痛点。再加上有了三阶三角函数的加入，使得难度更上一层。题目借助第一问所得不等式进行放缩，使题目有层次、有深度。通过构造不同的函数研究单调性，使解法更灵活、更深刻。总之，是一道设计感满满的好题。学习建议，首先要夯实基础，先保分再提升。比如说具体函数的求导、单调性、极值、最值研究切线方程等等。第二要注重解答的规范性，按点得分，注意结论性语言的使用。比如先写定义域，准确求导、构造函数等等。第三要注重已知函数的导向作用。第二问需要构造的函数往往与已知函数密切相关，要多注意观察函数的结构特点。以上就是我对本题的一个分析，感谢大家的观看，欢迎批评指正。