各位专家、评委老师、同学们，大家好。我们是来自天津市滨海新区塘沽第一中学的。董亮老师。苏阳老师、杨奕老师。在此我们将为大家讲解2023年天津卷第二十题说思考缘由及思维能力。本题是由一次函数与对数函数复合的函数和一次函数与反比例函数复合的函数构成的新函数为载体。第一问考察了导数的几何意义和应用，属于课程学习情境。第二、三问考察综合运用导数、数列相关知识，证明不等式属于探索创新情境，以下将进行具体讲解。第一问求函数在某点处切线的斜率，考察内容为导数的几何意义和求导公式的应用，以下为详解过程。第二问是证明函数的恒成立问题，常规方法是利用求函数最值证明结论。因此本题的思路一为利用单调性求最值证明结论。但此处我们要解决两个难点，一是函数直接求导后，需再次构造函数求导得出单调性。二是最值无法直接求出，此时我们要利用导数定义，再结合单调性求出FX的一个下确界，具体过程见右侧详解。好，另外我们通过观察解析式中X分之一加2分之1倍的ln x加一的代数结构得到思路二分析法加差函数孤立ln x加一再构造差函数，将问题转化为新函数的最值问题加以解决。帮助学生体会对数单身狗的变形技巧及构造差函数的同时方法。本题的第三问是双边不等式的证明问题，其中右侧证明有四个思路4种解法。第三问的左侧证明给出四个思路7种解法。其中定积分方法可以解决双边不等式两侧的证明，以下将进行具体讲解。首先我们先证明第三问右侧不等式。通过观察我们发现此不等式与正整数有关，因此可以利用数列知识进行解决。思路一，将待正式的中间部分看作数列AN的通项公式，利用单调性转化成最值问题求解，通过仿写AN加一作差AN加一减AN整理出式子，观察此式子，发现与二问的结论有关。因此我们利用二问结论令X等于N分之一，进而得到此不等式，得到AN加一小于AN数列AN单调递减进而得证。下面是详解过程思路2，将待正式的中间部分看作数列AN的前N项和SN通过仿写做差，得到数列AN的通项公式。此时我们观察题目函数和AN的关系是令X等于N减1分之1，得到AN等于负的FN减1分之1加1，利用二分结论得出N大于等于20，AN小于零进而得证。下面是思路二的详解过程。思路三通过观察ln n的阶乘可以写成对数和的形式，因此可以利用累加法去处理，那么就需要构造出累加的式子。因此由二问的结论令X等于N分之一得到累加需要的式子，然后进行仿写，将这N减一个式子相加，再检验N等于一，即得到证明。下面是详解过程。本题右侧主要考察了学生的直观想象、逻辑推理、运算求解等核心素养。通过观察形式可以将待正式看作数列，通过数列的研究进而得证。本题右侧可以将待正式看作数列，通项公式利用单调性进而转化成数列最值问题。可以将待正式看作数列的前N项和求出数列通项，利用二问结论研究通项性质进而转化成最值问题。可以利用log n的阶乘可以写成对数和的形式想到数列累加，利用二问结论即可证明。证明与正整数N有关的命题还有一种常用的方法，数学归纳法。以下是思路4，数学归纳法的思维导图。利用数学归纳法证明数学命题的核心是应用假设的结论来证明N等于K加一时结论也成立。因此在详解中本题我们需要将ln k加一的集成变形为ln k加一加ln k的阶乘的形式，目的就是应用假设使结论得证。好，以上就是利用数列的知识和数学归纳法解决函正整数N的不等式右侧证明的四个思路。接下来我们继续探究左侧不等式的证明。思路一分析法反推购放错。以下是思路一的思维导图。根据右侧证明的思路三可知，通过累加法得到这样的形式验证，左侧和的结构大于-6分之1，只需寻找一个数列，使它的和比左侧小，而比-6分之1要大。因此构造数列-6分之1倍的N减1分之1减N分之1，将问题转化为以下不等式，通过观察已知函数解析式的结构，我们可以令X等于N减1分之1。再次利用对数单层狗的处理方式，将ln 1加X进行布力，构造差值函数进行证明。通过苏老师的讲解，我们知道本小问只需证明如下不等式成立。那么本题的难点就是对于对数的处理，我们可以利用对数均值不等式得到以下不等式。我们利用此不等式的左侧部分对棱X进行放缩处理观察，待正式我们令X等于N分之N减一得到需要证明的式子。下面我们利用分析法去证明这个不等式成立即可。通过证明我们得到N加上N减一大于根号下N乘以N减1。此处利用基本不等式很容易解决，进而得到。下面是详解。以上是董老师借助对数均值不等式的等价变形式进行更为巧妙的变形。那么还有其他不等式可以进行调解吗？其实从思路一的分析中可知，本题证明的关键就是处理做差后，通过对loan x加一进行放缩后，再进行累加求和。在此飘带不等式不妨一试，这也就是思路二飘带不等式巧放缩。以下是思路二的。思维导图。我们来看一看思路二的详解。借助飘带不等式，ln x大于2分之1倍的X减X分之1，在X大于零小于一时，取X等于N加一分之N代入上式观察，得出式子当中这种倒数结构，当N等于一时显然成立。那么再进行累加列项等变形处理可知，当N大于等于二时，HN大于4分之3，然而遗憾的是4分之3小于6分之5，这说明我们做的有点小了。我的处理方式是从创作过程中寻求解决途径，具体表现为保留第一项，从第二项开始放松，恰好可以使结论得证。通过苏老师的讲解，利用飘带不等式进行放缩，得出4分之3小于6分之5，这两个分数跨度大了。这时我们让飘带不等式进行一下加权中和，我们考察如下不等式。由于PQ取值不定，我们需要对PQ进行赋值。PQ取不同值时，我们得到不同的结论。因此我们不妨试一试最特殊的情况，去算术平均数，令PQ均等于2分之1，于是构造出大FX通过运算我们得到大FX大于0，于是得到相应不等式。再通过换元处理，我们得到目标不等式，进而累加上市，得到大于8分之7，而8分之7大于6分之2、6分之5进而得证。通过此证明，我们得到的范围比待正式还要小。那么我们进一步思考一般情况考察的不等式，我们可以知道K越大Q越小，针对本题的放缩就越精确。按照本题的证明方法，我又计算了如下几种情况。当P等于3分之1，Q等于3分之2时，恰好得正是大于6分之5的。那么下面是本思路的详解。下面有请杨老师利用高等数学的知识进行讲解。思路三巧解定积分图解难题，观察问题中涉及的多项式，将其化解得到这一等式。通过观察它的结构特征，发现并构造了Y等于ln x函数进行尝试解决问题。由于我们希望从定积分的几何意义上图解问题，因此尝试对ln x进行定积分。从代数结构上看，此等式右侧与代证明的多项式结构有相近之处，因此问题转化为如何将定积分与这一代数式建立起联系。这就需要数形结合利用定积分的几何意义寻找其内在联系。从定积分的几何意义看，ln x从一到N的定积分表示曲边梯形围成的面积。由此可以发现，其面积不小于割线围成的面积之和，并且不大于切线围成的面积之和，从而得解本题。以下是本解法的详解过程。思路四，高等数学是疑惑，在本思路中将用两种方法解决问题。中左侧不等式证明解法6，利用泰勒展开释放锁证明不等式。根据泰勒展开式可以发现其中蕴含着许多的不等关系。此处通过尝试发现可以借助的是ln 1加X小于等于X减二分之X方加三分之X3次方这一不等式。通过已知，借助泰勒不等式可以得到死不等关系，在混元得到关于M的不等式。已知条件我们暂时分析到此，现在让我们分析一下求证的部分，此时已知与求证有相同的代数结构，将其联系起来可以得到此不等式。在此保留更便于裂项相消的结构N方分之一进行累加解决问题。到此，通过将已知和求证相结合解决了问题，以下为详解过程。解法七，高等数学公式秒杀。因为斯特林公式形式如此，所以对等式两侧取对数再化简比大小即可描解本题以下为详解过程，在此有三种方法比大小，解法一是利用分析法的大小，解法二是借助函数不等关系和根号2、根号三的近似值比大小。解法三是利用ln 2和ln 3的近似值比大小。以上是本题组讲解的全部解法，在此将2023年天津卷20题中涉及的不等式证明方法汇总如下，不等证明方法，多差值函数显灵活。参变分离具通性无罪值用导定义证明含N不等式常见裂项与累加。归纳证明应用强右侧长度先放缩适当放缩方法。巧泰勒飘带。斯特林对数均值不等式，高等数学是疑惑，积分数形巧联系，切割作图解难题。尊重知识与学生进行数学生态课。以上是本小组的全部讲授内容，谢谢大家。