各位老师同学们，大家好，我是人大附中石景山学校的江冬梅老师。下面由我来和大家分享2023年北京卷19题，解析几何议题的思考与想法。解析几何的本质是用代数的方法研究几何问题，充分体现了数字形结合的数学思想，即将几何问题代数化，用坐标和方程表示几何元素，再通过一系列的代数运算，最终将代数运算的结果翻译为几何结论。在具体的解答过程当中，学生一般要经历以下几个环节，首先要搞明白试题要解决的是什么样的几何问题。其次要弄清楚解决这个几何问题需要用到哪些代数条件，再把几何问题代数化。有时候这个过程不是很直观，需要把几何问题转化为另外一个等价的几何问题以后再进行代数化。第三步是利用已知的题设条件，分析这些条件之间的联系，研究并解决转化之后的代数问题，最后要返回去解决几何问题。2023年北京卷十9题解析几何考察了函数与方程的思想方法，针对数学运算，重点考察学生对算理的理解和算法多样性的应用，考察了学生运算过程中的严谨性以及运算的灵活性。下面我们一起具体来看这道题目。读好题目以后，我们很容易做出第一问，得到椭圆方程为九分之X方加四分之Y方等于一。第二问我们根据题意先画好图，明确哪些点是定点定直线，哪一些是动点动直线。不难发现ABCD为定点，P为动点，MN是由P引发的动点。接下来我们要明确题目要解决的是一个什么样的几何问题是MN平行于CD这样的一个平行问题。其次我们要思考是将这个几何问题直接代数化，还是转化为另外一个几何问题再代数化。我们发现MN平行于CD这个几何问题可以直接代数化，也可以通过转化后再代数化，他们有这样的一些形式。第三步是利用已知的题设条件，分析这些条件之间的联系，研究并解决转化之后的代数问题。在这个过程中我们首先关注如何社员的问题。该题目是一个非常经典的单动点问题，我们可以设出动点坐标，将题目中的文字描述翻译成数学语言，再利用动点在椭圆上消圆求解即可。也可以设出动点所在的直线方程，联立该直线和椭圆方程，求出该动点，在同上即可。关于动点P它有如下的表征方式。有了这两个关注，关注如何社员问题，关注如何将几何问题代数化，我们便可以形成解决该问题的基本思路。先简单成下呈现下面八个思路。其实两个关注他们做组合可以出更多的解法，而本质都是一样的。通过下面八个思路及其对应的解法赏析便足以。简单呈现八个思路，下面我们具体来看思路一，我们将动点P设为X0Y0几何问题MN平行于CD我们转化为KMN等于KCD等于3分之2. 便有了。这个思路。一有了点P. 我们表示出动直线PD将其与定直线BC联立，我们求得M点。我们在表示出动直线AP将其与定直线Y等于-2，我们求得N点，进一步我们去求KMN然后计算它和CKCD是相等的，进而得证MN平行于CD有了这个思路，我们有了具体的解法。一过程呈现。如下。当我们在求证KMN等于KCD等于3分之2，是我们其实在这个过程当中采用的是分析法治国所因。这样的话我们只要计算这个过程是仔细的便可以得证。当然我们也可以采用综合法去计算KMN等于3分之2。在上述计算过程当中，当我们计算算到KMN等于具体的这个表达式的时候，我们要观察如何消元。我们观察分子和分母的结构，发现我们应该依靠椭圆方程去消掉该分时当中这个分母部分X0的平方这样的一部分。这个观察非常重要，不然很难就是我们最终得到结果为3分之2这件事儿。我们也可以进一步去优化如何求证KMN等于3分之2这一步的计算过程，我们将其改为KMN减3分之2等于0。在这个计算过程当中，其实我当我们将其进行简单的整理，我们发现只要证明了分子部分为零便可得证。而分子部分为零这件事儿计算起来就非常简单了。这也成功的回避掉了前面两种处理方式中计算量大的难点，还有就是需要认真观察如何消元的这个难点。如果我们把动点P设为X0Y0，我们的几何问题转化为DM比DQ等于CN比CQ。进一步在代数化为这个YM比YQ等于XN比XQ这样的一个问题，其实我们就形成了思路二了。思路二关于MN和M点和N点的这个坐标和思路一是一致的。只是在此我们又将动直线和定直线Y等于负二又进行了一次联力求了一个Q点。这样的话我们再去计算YM比YQ等于XN比XQ。过程呈现如山。在这样的一个计算过程当中，当我们算出DM比DQ以及CN比CQ的时候，其实在这里我们也是要观察如何消元的事儿。通过对这两个分式它的分子和分母的结构观察，需要借助椭圆方程去消掉第二个分式分子分母当中的Y0的平方。整体来看相对于解法一的计算量是略减的。如果我们设原石设直线PD的方程，我们几何问题还是转化成这个KMN等于KCD等于3分之2，这样的话我们就有了这个思路。四我们设出直线PD将其与椭圆一联立求得了P点。然后进一步借助P点将动直线PD表示出来，然后与定直线去联立求M同样的过程去求N，这个M和N的这个部分思路也是和前面的思路是一致的，然后最终去求KMN等于KCD，进而得知MN平行于CD，这就是我们的解法。三现餐法它的过程如下。我一看整个这个解法当中，它所涉及到的计算，其实就是我们在KAP就AP直线的斜率他的表示中有一点要注意是需要观察。它是可以进行因式分解的，这样结果更为简洁，然后也为后续计算减少了很多工作量。如果我们在设P所在的直线PD的时候，我们通过反射直线的方法，然后当然几何问题我们继续还是转化成KMN等于KCD等于3分之2这件事儿，那么我们就形成了这个思路4，整个思路四和思路3，它的这个思路是一致的，只是计算的表现形式略有不同。这个方法它在联立直线和直线方程的时候计算量略小。在后续计算当中我们还是要注意KAP它可以因式分解的问题。这个。过程沉淀如上。我们如果把动点P还是设为X0Y0，然后我们将这个几何问题进行一些挖掘，我们转化成三角形BCD和3角形CMN相似这件事儿，进一步代数表征为XN等于两倍的XM去求这个事儿我们便形成了思路5思路再求M和N这个过程和前面是一致的，只是在几何条几何这个问题转化最终要求的这个目标上和前面略有不同。其实我们可以看出在几何问题的转化或者在代数问题的转化两个方面，看似是两个平行的系统。一个是几何系统深挖，一个是代数系统深挖。其实两者是齐步并进的。就是要么在几何条件下几何条件深挖上下功夫，要么在代数运算中多观察多优化，他没有白费的功夫。我们带着觉察关注好几何性质和代数运算中的每一个发现，都会优化问题的解决方式。那么我们在解法五当中这个几何问题的深入挖掘以后，其实跟解法一我们后续关于KMN与KCD的计算的那一步的深入挖掘，最终会发现其实都是最终搞定XN等于两倍的XM就可以了。如果我们把动点P设为三倍的cosine西塔和2倍的三西塔，我们几何问题还是这样去转化，我们便形成了这个思路。六有也有了解法六叫参数方程法，具体呈现解法下，在这个计算过程当中，如果有关于三角恒等变换当中这个代数运算能力过硬的同学，其实在这个计算过程当中是可以很好的去优化的。当然我们按部就班的计算也是没有任何问题的。其实考试当中我们整个回看前面的思路，最直接的想法应该都是从P入手，从问题出发，问什么求什么，按部就班的循着解析几何的点线构图来逐步展开。但我们也关注到我们所研究的几何问题，它直接涉及的是由P发的M点和N点。其实我们不免就会产生这样的思考，可否由M或者N入手来设圆？那么我们尝试这样的计算发现如果我们设点N然后进一步把AN表示出来，然后与椭圆联立去求得了P点。我们再过N去做CD的平行线，让它和BC交于M1撇，那么我们表示出这个M1撇N来，还有将它与直线BC去联立去求得MEP，最终我们去求KPD和KME撇D它们俩相等，得正M撇PD3点共线，其实这样也是可以得正的。这个过程如下，在这样的一个计算过程当中，计算量是明显降低了。只需要有一点注意，也是在KAP的这个KPD的这个计算过程当中，有需要观察到因式分解的这样的一个部分。如果有竞赛背景或者学有余力的同学也可以关注我们的解法八。我给他起名叫极点极限法。其实他就是利用上了极点极限相关的一些结论，利用这些结论干什么呢？就有了这些已知的结论，我们可以更简洁的去计算相关点的坐标，进而使得计算量大大减小，这个过程也是呈现在这里。此题的背景是六边形帕斯卡定理退化为五边形的应用。帕斯卡定理说的是什么呢？是圆锥曲线内接六边形，也含退化的六边形。其三组对边的交点共线。那么我们看在该题目当中，如果我们将这个C处的切线即为CC其实就是椭圆过C处的切线。然后设AB和CD在无穷远处的焦点为S，我们将五边形写成标准的帕斯卡定理的六点排序形式，得到了三组对边，它们的交点分别为MNS那么这三点是共线的。我们又知道AB和CD平行，所以我们就能得到MN平行于CD平行于AB那么把问题的背景弄清楚以后，其实我们也进一步得到了这道题的一般情况。就是我们可以把它推广到一般的一个椭圆上，我们的P点也不仅仅是在第一象限运动，它可以在第二第三第四象限上运动，均有以上结论。成B我们。用JJB动画演示，让大家直观的去感受MN和CD永远平行这件事儿。当然我们也可以利用参数方程法或者其他的这样的一些解析方法进行一般的证明，证明过程如下。2023年北京高考数学卷解析题目。这个题目重点考查数学运算，如何运算容易知道能否运算正确是关键。在具体的计算上，设点或者射线并没有明显的差别。设点可能更容易想到，但本题在本质上是帕斯卡定理的特殊形态。这是一个摄影几何当中非常重要的一个定理。那么这道题也是这个定理的一种特殊退化形式。当然我们不知道这个定理也不影响正确运算。北京剧院在考察数学运算上，它非常注重运算的严谨性，以及带着觉察去运算。这也是这几年北京高考解析几何它所呈现出来的一个显著特征。希望同学们理解运算，重视运算。几何好懂不好算？代数好算不好懂，那么坐标法把两者很好的结合起来。但是在平面直角坐标系中点的坐标是由几何作图得到的，要将各种几何性质翻译成坐标运算，需要求助于几何定理，这里就体现了数形结合的思想方法，这就是解析几何这门学科的精髓。高考数学北京卷中解析几何试题考察就是解析几何的本质特点，要求学生把灵活的几何问题转化为代数问题来计算，利用形象生动的几何模型帮助理解、关注对运算对象的考察和观察使精辟的数学思想。随风潜入夜，让强大的数学方法润物细无声，使得貌似困难的问题迎刃而解，让学生体会数学学科的神韵。最后是一道链接的练习题，老师和同学们可以借鉴。感谢大家的聆听，谢大家。