重庆市重庆市北碚区西南大学附属中学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题 -

2025 年重庆西附九上第二次月考 数学试题 （全卷共三个大题，满分 150 分，考试时间120 分钟） 注意事项： 1 ．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； . . . 2 ．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； . . . 3 ．作图（包括作辅助线）请一律用黑色 2B 铅笔完成； 4 ．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． . . . 参考公式抛物线y = ax2 + bx + c （a ≠ 0）的顶点坐标为（ ），对称轴为x ． 一、选择题：本大题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每个小题的下面，都给出了代号为A、 B 、 C 、D 四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． . . . 1．下列四个数中，为有理数的是 ( ) A．π B． C．3 D． 2．下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( ) A．X B ．D C ．F D．Z 3．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是 ( ) A．调查北碚区初三学生的课外阅读情况 B．调查“阳光二号”柑橘的质量情况 C．调查重庆市火锅店底料的卫生合格情况 D．调查全班学生对数学学科的喜爱情况 4．如图，若 △ABC 与 △A’ B’C’是以点 O 为位似中心的位似图形， 已知 AA’= 3OA，则 △ABC 与△A’B’C’ 的周长之比为 ( ) 4题图 A．1 ： 3 B．1 ：4 C．1 ： 9 D．1 ： 16 数学试卷 第 1页 第9页 学科网（北京）股份有限公司 5．估计 的值应在 ( ) A．4 和 5 之间 B．5 和 6 之间 C．6 和 7 之间 D．7 和 8 之间 6．小西用大小相同的正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 1 个正方形，第②个图 案中有 3 个正方形，第③个图案中有 7 个正方形，第④个图案中有 13 个正方形 …… 按此规律，则第 10 个图案中正方形的个数是 ( ) A．88 B．89 C．90D D．91 7．换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到 81 人．设每个患者平均传染x 人，则可列方程为 ( ) A．1 + x + x2 = 81 B．1 + x + x (x-1） = 81 C．1 + x + (x+1）2 = 81 D．1 + x + x (x+1） = 81 8．如图，在Rt△ABC 中， ∠BAC = 90° , ∠B = 30° , AC = 2，以 C 为圆心， CA 为半径作弧，与BC交于点D，再以 B 为圆心，BD 为半径作弧，与AB 交于点E，则图中阴影部分的面积为 ( ) A D 9．如图，在正方形ABCD 中，点 E 为线段 BC 上一点，满足 ，连接AE，过点 B 作BF ⊥ AE，分别交AE ， CD 于点 G ，H，交AD 的延长线于点F，作 ∠CDF 的角平分线交BF 于点M， 连接 CM，则 的值为 ( ) 8题图 9题图 A． B． C． D． 10．已知函数y1 = a1x2 + a2x + s，函数y2 = a3x + a4 ，其中s 为正整数 a1 ， a2 ， a3 ， a4 均为自然数，且满足max{a-1 ，a2 ，a3 ，a4 }=，其中max{a1 ，a2 ，a3 ，a4}表示 a1 ， a2 ， a3 ， a4 中最大的数，例如max{0 ， 1 ， 2 ， 2} = 2 ．则下列说法中，正确的个数为 ( ) ①若函数y2 的图象经过点（1 ， 8），则函数y1 的图象一定经过点（0 ， 1）； ②若 0 < a1 < a2 < a3 < a4 且关于x 的方程y1 - y2 = kx - 4 恰有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为k<-3 或k> 1； ③若 a1 = a2 = a3 = a4 = s，则函数y 的图象上有 4 个整数点．（注：横纵坐标均是整数的点为整数点） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分．请将每小题的答案填在答题卡中对应的横 . . . 线上． 11．某互联网公司 2025 年第一季度的用户活跃量达到了672800000 人次，把“672800000”用科学记数法表示为 ． 12．一个多边形的内角和是外角和的4 倍，则这个多边形的边数是 ． 13．一个不透明的零食袋里有 4 块包装相同的小饼干，其中 2 块巧克力味、 2 块牛奶味．先随机拿 1块吃掉，再拿 1 块，则两次都拿到牛奶味饼干的概率是 ． 14．若 |x -1| = 2x - 3，求： （6x2 - 20x + 15）2025= ． 15．如图，四边形ABCD 内接于半径为 的 ⊙ O，且 ∠ABD = ∠CBD = 45° , BC = ．过点 C 作 CE ⊥ BD 于点E，则ED = ；延长 CE 交AD 于点G，交 ⊙ O 于点F ．连接BF 交AD 于点H，连接 BG，则 △BGH 的面积为 ． 15题图 数学试卷 第3页 第9页 学科网（北京）股份有限公司 16．若一个四位正整数M= （各数位数字均不为 0），满足a≠b，c≠d，则称其为“特异数”．去掉M任意一个数位的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和除以3的结果记P（M）．例如：对于四位数1234，1≠2，3≠4，所以1234是“特异数”．将1234其中一个数位上的数字去掉，得到四个新三位数：123，124，134，234，则P（M）=．求最大的“特异数”的P（M）= ；若N=100a+10b+d，满足：P（M）+（M-10N）-（c+d）被13除余2，且是自然数的平方，求符合条件的M的最小值 . 三、解答题：本大题 9 个小题，共 86 分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答题过程书写在答题卡中对应的位置上． . 17．（8 分）求不等式组： 的所有整数解的和． 18．（8 分）在学习了平行四边形的相关知识后，小明进行了拓展性研究，他发现：在平行四边形中，通过尺规作图，作角和边相等，可以得到新的特殊的四边形．请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）用尺规完成基本作图：在平行四边形ABCD 的边 CB 的左边，作 ∠CBE = ∠A 交边 CD 于点E，在边AB 上取一点F，使得AF = BE，连接 DF；（不写作法，保留作图痕迹） （2）利用相关知识，证明小明的发现． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD ，AB = CD ， ∠A = ∠C． ∵∠CBE = ∠A， ∴ ① , ∴BE = CE． ∵② , ∴AF = CE ∵AB = CD ∴③ ,即 FB = DE． ∵AB∥CD， ∴四边形FBED 是④ . 数学试卷 第4页 第9页 学科网（北京）股份有限公司 19．（10 分）重庆蜜雪冰城旗舰店推出川渝限定新品“火锅味脆筒”（结合冰淇淋与火锅风味），招募体验员，分为本地组和游客组，并为该新品打分．从两组各随机抽取 20 名体验员进行百分制打分，并对数据进行整理、描述和分析（分数用 x 表示，分为四组： A ． 90 ≤ x ≤ 100 ；B ． 80 ≤ x < 90； C ． 70 ≤ x < 80；D ． 60 ≤ x < 70），下面给出了部分信息： 抽取的本地组打分： 68 ， 71 ， 75 ， 78 ， 78 ， 82 ， 83 ， 85 ， 85 ， 85 ， 85 ， 88 ， 91 ， 93 ， 93 ， 96 ， 98 ， 100 ， 100， 100． 抽取的游客组打分在B 组 (80≤x <90( 中的数据： 81 ， 84 ， 85 ， 86 ， 86 ， 86 ， 86 ， 89； ( D 15 % ) ( A m % ) ( C 20 % ) ( B )抽取的对“火锅味脆筒”的打分情况统计表 抽取的游客组打分扇形统计图 组别 平均数 中位数 众数 本地组 86. 7 85 b 游客组 86. 7 a 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： a = ， b = ；m = ； （2）根据以上数据，你认为“火锅味脆筒”会更受本地组还是游客组喜爱？请说明理由．（写出一条理由即可）； （3）若本地组与游客组共有 2500 人对“火锅味脆筒”进行打分，请估计本地组与游客组本次对 “火锅味脆筒”打分在 C 等级 （70≤x <80）的人数共是多少? （10 分）先化简，再求值：，其中 21．（10 分）列方程解下列问题： 十五运会和残特奥会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受人们喜爱，其周边商品持续热销．甲顾客在某专卖店购买了 3 个喜洋洋挂件和 2 个乐融融摆件，共花费 310 元．已知喜洋洋挂件的销售单价比乐融融摆件的销售单价少 10 元． （1）求该专卖店中喜洋洋挂件和乐融融摆件的销售单价分别是多少？ （2）为回馈顾客，该专卖店决定，每个喜洋洋挂件的销售单价降 m 元，每个乐融融摆件的销售单价降 2m元．乙顾客购买喜洋洋挂件花费了 560 元，购买乐融融摆件花费了 1280 元，且购买乐融融摆件的数量是购买喜洋洋挂件的数量的 2 倍．求m 的值． 22．（10 分）如图，点 O 为矩形ABCD 的对角线BD 的中点，AB = 8 ，AD = 6，点P 是对角线BD 上 的一点（点P 不与点B、点D 重合），连接AO 、AP，过点P 作PH 丄CD 交 CD 于点H ．以x 表示线段PD 的长度，△AOP 的面积为y1， △AOB的面积与线段PH的长之比为y2． （1）请直接写出y1 ，y2 分别关于x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1 ，y2 的图象，并写出函数y1 的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当y1 ≥ y2 时x 的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 0. 2）． 23．（10 分）如图， 甲、乙两架救援无人机从A 点出发沿不同的路线前往E点，甲无人机沿路线A-C-D-E前往，乙无人机沿路线A-F-E前往．已知调度中心B在A的正北方向，E、B、A三点位于同一直线上，F位于A的北偏东60°方向，且在B 的正东方向，C位于A的西北方向，且位于B的正西方向10千米处，D位于C的正北方向，E位于D的正东方向且位于F的西北方向．（ =1.73，=2.24，=2.45） （1）求 EF 之间的距离；（结果保留根号） （2）救援过程中，受地形影响，在调度中心 B 定位两架无人机存在信号盲区，当距离调度中心15 千米外均为信号盲区，两架无人机速度相同，请通过计算说明甲、乙无人机谁呆在信号盲区的时间更长? （结果保留一位小数） （10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2 +bx-1与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且A点坐标为(-1，0)，与y轴交于点C，连接AC，BC，已知tan∠OBC. （1）求抛物线的表达式； （2）点P 为直线BC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⎳ y 轴，交直线BC 于点 ．将点B向上平移 2 个单位长度得到点E，作直线AE，点 G 为直线AE 上一个动点，点H为x轴上一个动点，连接DG ， GH，当PDCD取得最大值时，求点P 坐标及DG +GH的最小值； （3）在（2）中PDCD取得最大值的条件下，将原抛物线沿着射线CA方向平移2个单位长度，得到新的抛物线y’，点P平移后的对应点为点M ，点 Q 为新抛物线y’上一个动点，若∠QMP=45°+∠CDP，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 25．（10 分）如图，△ABD中，AB=AD，点C为BD延长线上一点，连接AC． （1）如图1，已知∠C=∠BAD=45°,AC=2，求线段BD的长度； （2）如图2，点E 为直线AC上一点，连接BE，DE，将线段DE绕点E 顺时针旋转120°得到线段EF，连接BF 交AC 于点G，且BF⊥AC．若BE平分∠FBC，试猜想线段CD与AE的数量关系，并证明； （3）如图3，∠BAD=90°,∠C=15°,BD=2，E为直线AC上一点，以E为直角顶点作等腰直角△EDM，连接AM，当线段AM取最小值时，点H为直线BC上一动点，连接MH，AH，将△AMH沿着AH所在直线翻折到△ABD 所在的平面内，得△AHN，连接BN，当BN取得最大值时，请直接写出△BEN 的面积． 数学试卷 第9页 第9页 学科网（北京）股份有限公司 $