2026年中考数学专题复习（河北） 专题八　函数图象与性质综合题

专题八　函数图象与性质综合题 类型一　一次函数图象与性质综合题 　　一次函数图象与性质综合题通常出现在解答题的21,22题的位置,分值一般为9分.通常考查单个一次函数图象与几何变换结合或两个一次函数图象相交问题. ❶ (2025·石家庄模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,0),点B(-1,3),点D(1,-1). (1)求直线BD的解析式和线段AB的长度. (2)连接线段BD,AD,求tan∠ABD的值. (3)设线段BD与x轴交于点P,如果点C在x轴上,且△ABC与△ABP相似,求点C的坐标. ❷ (2025·辽宁)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+4与y轴相交于点A,与x轴相交于点B,点C在线段OA上(不与点O,A重合),过点C作OA的垂线,与直线AB相交于点D,点A关于直线CD的对称点为E,连接DE. (1)求证:∠OAB=45°. (2)设点C的坐标为(0,m),当0<m<2时,线段DE与线段OB相交于点F,求四边形COFD面积的最大值. 类型二　反比例函数图象与性质综合题 　　反比例函数经常和其他函数或图形结合起来,主要考查反比例函数的图象与性质,其中反比例函数与一次函数图象的交点问题是重点. ❸ (2025·苏州)如图,一次函数y=2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,与反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象交于点C,过点B作x轴的平行线与反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象交于点D,连接CD. (1)求A,B两点的坐标. (2)若△BCD是以BD为底边的等腰三角形,求k的值. ❹ 如图1,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A,B分别为(m,0),(0,n),顶点C在反比例函数y=(x>0)的图象上,顶点D在反比例函数y=(x>0)的图象上. (1)当点D坐标为(4,1)时, ①求k2的值; ②求m,n的值. (2)求当m,n满足什么关系时,k1>k2,并说明理由. (3)如图2,当k1=k2时,在AD的延长线上取一点E(a,4),过点E作EF⊥EA交x轴于点F,交反比例函数图象于点G,当G为EF的中点时,代数式m2-m的值为　　　　.  类型三　二次函数图象与性质综合题 　　二次函数图象与性质综合题通常出现在解答题的压轴题的位置,分值一般为12分.属于纯数学问题,以考查函数的图象与性质为主. ❺ 如图,抛物线y=ax2+2ax+c(a>0)与x轴交于A(-3,0),B两点(A在B的左侧),与y轴交于点 C(0,-3),抛物线的顶点为M. (1)求抛物线的解析式,并写出点M的坐标. (2)若点P是线段AC上一个动点,连接BC,OP,是否存在点P,使得以点O,C,P为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. ❻ (2025·武安三模)如图,已知抛物线y=x2+ax+b经过A(-5,0),B(-4,-3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连接CD. (1)求该抛物线的解析式. (2)如图1,点M从点C出发,在线段CB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动,同时点N从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动,当其中一个点到达终点时,另外一个点也停止运动,设运动时间为t秒,求t为多少时,△MNC的面积最大,并求出最大面积. (3)如图2,P为该抛物线上一动点(与点B,C不重合),连接BP.该抛物线上是否存在点P,使得∠PBC=∠BCD?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.(提示:当直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2垂直时,k1·k2=-1) 【详解答案】 1.解:(1)设直线BD的解析式为y=k1x+b1,把点B(-1,3),点D(1,-1)代入得解得 ∴直线BD的解析式为y=-2x+1. 由两点间的距离公式得AB= =3. (2)BD== =2, AD=, 又∵AB=3, ∴BD2=AD2+AB2, ∴△ABD为直角三角形, ∴tan∠ABD=. (3)由(1)知直线BD的解析式为y=-2x+1, 令y=0,得x=,∴P, 当△ACB∽△ABP时,∠ABC=∠APB, 如图,过点B作BQ⊥x轴于点Q,则BQ=3,OQ=1, ∵△ACB∽△ABP, ∴∠BCQ=∠ABD, 由(2)得tan∠ABD=, ∴tan∠BCQ=, ∴, ∴CQ=9, ∴OC=CQ+OQ=10, ∴点C的坐标为(-10,0); 当△ABC∽△ABP时,相似比为1,即点C和点P重合, 此时点C的坐标为. 综上,点C的坐标为(-10,0)或. 2.解:(1)证明:由条件可知A(0,4),B(4,0),∴OA=4,OB=4, ∵∠AOB=90°, ∴∠OAB=45°. (2)∵点C的坐标为(0,m), ∴OC=m,AC=4-m, 由条件可知CE=AC=4-m, ∠OAB=∠CED=45°, ∴OE=CE-OC=4-2m, ∵∠EOF=90°, ∴∠OEF=∠OFE=45°, ∴OF=OE=4-2m, ∵CD⊥OA, ∴∠OAB=∠CDA=45°, ∴CD=AC=4-m, ∴四边形COFD的面积=(OF+CD)×OC=(4-2m+4-m)·m=-m2+4m=-, ∵-<0, ∴当m=时,四边形COFD的面积有最大值,最大值为. 3.解:(1)在y=2x+4中,令y=0得x=-2, ∴点A的坐标为(-2,0), 在y=2x+4中,令x=0得y=4, ∴点B的坐标为(0,4). (2)过点C作CE⊥BD,垂足为E,如图: ∵△BCD是以BD为底边的等腰三角形,∴CB=CD, ∵CE⊥BD,∴BE=DE, 在y=中,令y=4得x=, ∴D,∴BE=DE=, 在y=中,令x=得y=8, ∴C, ∵点C在一次函数y=2x+4的图象上,∴8=2×+4, 解得k=16, ∴k的值为16. 4.解:(1)①∵点D(4,1)在反比例函数y=的图象上, ∴k2=4×1=4. ②如图,过点D作DM⊥x轴于点M, ∴∠AOB=∠AMD=90°, ∵∠BAD=90°, ∴∠BAO+∠DAM=∠DAM+∠ADM=90°, ∴∠BAO=∠ADM, ∵AB=AD, ∴△AOB≌△DMA(AAS), ∴OB=AM=n,OA=DM=m, ∴OM=m+n,∴D(m+n,m), ∴解得 (2)当m<n时,k1>k2.理由如下: 如图,过点C作CN⊥y轴于点N, 由(1)知D(m+n,m),将D(m+n,m)代入y=,得k2=m(m+n), 同(1)可得△AOB≌△BNC(AAS), ∴OB=CN=n,OA=NB=m, ∴ON=m+n,∴C(n,m+n), 将C(n,m+n)代入y=,得k1=n(m+n), 若k1>k2,则n(m+n)>m(m+n), ∵m>0,n>0,∴m<n, 即当m<n时,k1>k2. (3)6 解析:如图,过点E作EH⊥x轴于点H, 由(2)得,当k1=k2时,m=n, ∴OA=OB,∴∠OAB=45°, ∴∠EAF=45°, ∴△AEF是等腰直角三角形, ∴EH=AH=HF=4, ∴E(m+4,4),F(m+8,0), ∵点G是EF的中点, ∴G(m+6,2). ∵m=n,∴k1=k2=2m2, ∵点G(m+6,2)在y=的图象上, ∴2m2=2(m+6), 整理得,m2-m=6. 5.解:(1)将点A(-3,0),C(0,-3)代入y=ax2+2ax+c,得 解得 ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3. ∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4, ∴M(-1,-4). (2)存在点P,使得以点O,C,P为顶点的三角形与△ABC相似. 当y=0时,x2+2x-3=0, 解得x=1或x=-3, ∴B(1,0),∴AB=4, 设直线AC的解析式为y=kx+b, 把点A(-3,0),C(0,-3)代入,得 解得 ∴直线AC的解析式为y=-x-3, 设P(m,-m-3), 当△OCP∽△CAB时,, ∴,解得CP=2, ∴2|m|, 解得m=-2或m=2(舍去), ∴P(-2,-1); 当△OCP∽△BAC时,, ∴,解得OP=, ∴, 解得m=-或m=-(舍去), ∴P. 综上所述,点P的坐标为(-2,-1)或. 6.解:(1)将A(-5,0),B(-4,-3)代入y=x2+ax+b,得 解得 ∴该抛物线的解析式为y=x2+6x+5. (2)过点M作MH⊥OA于点H,设BC与y轴交于点G,如图. 令y=x2+6x+5=0,解得x=-5或x=-1. ∴C(-1,0),∴OC=1. 设直线BC的解析式为y=kx+n, 将点B(-4,-3),C(-1,0)代入, 得解得 ∴直线BC的解析式为y=x+1, ∴G(0,1),∴OG=OC=1, ∴∠GCO=45°,∴∠HCM=∠GCO=45°. ∵CM=2t, ∴HM=CM·sin 45°=2t·t. ∵NC=AC-AN=4-t, ∴S△MNC=·NC·HM=·(4-t)·t=-t2+2t=-(t-2)2+2. ∵-<0, ∴当t=2时,△MNC的面积最大,最大面积为2. (3)存在. 设直线BP与CD交于点Q,如图. 当点P在直线BC下方时, ∵∠PBC=∠BCD, ∴QB=QC,即点Q在BC的垂直平分线上. ∵线段BC的中点坐标为-,-, 过该点与BC垂直的直线的k值为-1, 故设BC的垂直平分线的解析式为 y=-x+c, 将点代入,得c=-4, ∴直线BC的垂直平分线的解析式为y=-x-4. ∵y=x2+6x+5=(x+3)2-4, ∴D(-3,-4),同理可得直线CD的解析式为y=2x+2. 联立解得 ∴点Q的坐标为(-2,-2). ∴直线BQ的解析式为y=x-1. 联立 解得x=-或x=-4. ∴点P的坐标为. 当点P(P')在直线BC上方时, ∵∠P'BC=∠BCD, ∴BP'∥CD,则设直线BP'的解析式为y=2x+s, 将点B的坐标代入,得s=5, ∴直线BP'的解析式为y=2x+5, 联立 解得x=0或x=-4, ∴点P的坐标为(0,5). 综上所述,点P的坐标为或(0,5). 学科网（北京）股份有限公司 $