2.2二次函数的图象与性质专练2025-2026学年北师大版九年级数学下册

第二章 二次函数的图象与性质专练 一．选择题（共7小题） 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t+1 D．y＝x2 2．已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 3．将表达式为y＝（x﹣3）2+5的抛物线经过平移后得到表达式为y＝x2﹣2x+3的抛物线，则平移的方向和距离是（　　） A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 4．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y在同一平面直角坐标系内的图象大致为（　　） A． B． C． D． 5．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，若ax2+bx+c≥3，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≤0 C．﹣2≤x≤0 D．x≤﹣2或x≥0 7．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．abc＜0 B．a﹣b＝0 C．3a﹣c＝0 D．am2+bm≤a﹣b（m为任意实数） 二．填空题（共5小题） 8．若y＝（2﹣m）是二次函数，且开口向上，则m的值为　 　 ． 9．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a在﹣3≤x≤1时有最大值3，则a的值为 　 　 ． 10．已知二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k（k是常数），当x≥1时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是　 　 ． 11．若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 　 　 ． 12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论中： ①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b， 正确的结论是　 　 （只填序号）． 三．解答题（共5小题） 13．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当﹣1＜x＜3时，求y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝12，求出此时点P的坐标． 14．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0）两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA+PC值最小，求最小值以及此时点P的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx（a＜0）与正比例函数y＝kx的图象都经过点A（3，3），点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交OA于点C，交x轴于点D． （1）若点A为该二次函数的顶点， ①求二次函数的表达式； ②求线段PC长度的最大值． （2）若该二次函数与x轴的一交点为B（m，0），且m＞4，求a的取值范围． 16．如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB． （1）求b、c的值； （2）求△PAB的面积的最大值． 17．如图，抛物线的顶点为（﹣1，﹣1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为﹣3． （1）求抛物线的解析式； （2）求点B的坐标及△BOC的面积； （3）若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A，O，D，E为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点D的坐标． 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C D B D C D 一．选择题（共7小题） 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t+1 D．y＝x2 【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数，故A不符合题意； B、y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B不符合题意； C、s＝2t2﹣2t+1是二次函数，故C符合题意； D、y＝x2不是二次函数，故D不符合题意． 故选：C． 2．已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+c， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2， ∵三点为（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）， ∴与对称轴的距离分别为|﹣2﹣2|＝4，|3﹣2|＝1，|7﹣2|＝5， ∴1＜4＜5， ∴y2＞y1＞y3． 故选：C． 3．将表达式为y＝（x﹣3）2+5的抛物线经过平移后得到表达式为y＝x2﹣2x+3的抛物线，则平移的方向和距离是（　　） A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【解答】解：原抛物线 y＝（x﹣3）2+5的顶点坐标为（3，5）． 平移后抛物线y＝x2﹣2x+3可化为y＝（x﹣1）2+2，顶点坐标为（1，2）． ∵顶点从（3，5）平移到（1，2）， ∴x坐标减少2，即向左平移2个单位；y坐标减少3，即向下平移3个单位． ∴平移的方向和距离是向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度． 故选：D． 4．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y在同一平面直角坐标系内的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0， ∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限， 反比例函数y的图象在第二、四象限， 故选：B． 5．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3， ∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，﹣3）， ∴当y＝﹣3时，x＝1， 当y＝15时，2（x﹣1）2﹣3＝15， 解得x＝4或x＝﹣2， ∵当0≤x≤a时，y的最大值为15， ∴a＝4， 故选：D． 6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，若ax2+bx+c≥3，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≤0 C．﹣2≤x≤0 D．x≤﹣2或x≥0 【解答】解：二次函数的对称轴为直线x＝﹣1， ∴点（0，3）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标为（﹣2，3）， ∴关于x的不等式ax2+bx+c≥3的解集是﹣2≤x≤0， 故选：C． 7．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．abc＜0 B．a﹣b＝0 C．3a﹣c＝0 D．am2+bm≤a﹣b（m为任意实数） 【解答】解：由函数图象可知， a＜0，b＜0，c＞0， 所以abc＞0． 故A选项不符合题意． 因为抛物线经过点（﹣3，0）和（1，0）， 所以抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 则， 所以2a﹣b＝0． 故B选项不符合题意． 将b＝2a代入a+b+c＝0得， a+2a+c＝0， 所以3a+c＝0． 故C选项不符合题意． 因为抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0）， 所以抛物线的对称轴为直线x． 又因为抛物线开口向下， 所以当x＝﹣1时，函数取得最大值a﹣b+c， 所以对于抛物线上的任意一点（横坐标为m），总有am2+bm+c≤a﹣b+c， 即am2+bm≤a﹣b． 故D选项符合题意． 故选：D． 二．填空题（共5小题） 8．若y＝（2﹣m）是二次函数，且开口向上，则m的值为　　 ． 【解答】解：根据题意得，m2﹣3＝2， 解得m＝±， ∵开口向上， ∴2﹣m＞0， 解得m＜2， ∴m． 故答案为：． 9．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a在﹣3≤x≤1时有最大值3，则a的值为 　或﹣3　 ． 【解答】解：y＝ax2+4ax+3a＝a（x+2）2﹣a， ∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3， ①当a＞0 时，开口向上， ∴当x＝1时，y有最大值8a， ∴8a＝3， ∴a； ②当a＜0 时，开口向下， ∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a， ∴﹣a＝3， ∴a＝﹣3， 综上，a或a＝﹣3． 故答案为：或﹣3． 10．已知二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k（k是常数），当x≥1时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是k≤1　 ． 【解答】解：∵y＝﹣x2+2kx+1﹣k＝﹣（x﹣k）2+1﹣k+k2， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝k， ∴当x≥k时，y随x的增大而减小， ∵当x≥1时，y随x的增大而减小， ∴k≤1． 故答案为：k≤1． 11．若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 　4　 ． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4）， ∴顶点到x轴的距离为4， ∵函数图象有三个点到x轴的距离为m， ∴m＝4， 故答案为：4． 12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论中： ①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b， 正确的结论是　②③④　 （只填序号）． 【解答】解：∵抛物线开口向下 ∴a＜0， ∵对称轴为x＝﹣1 ∴1 ∴b＝2a＜0， ∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴 ∴c＞0 ∴abc＞0故①错误 ∵由图象得x＝﹣3时y＜0 ∴9a﹣3b+c＜0 故②正确， ∵图象与x轴有两个交点 ∴Δ＝b2﹣4ac＞0 故③正确 ∵a﹣b＝a﹣2a＝﹣a＞0 ∴a＞b故④正确 故答案为②③④ 三．解答题（共5小题） 13．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当﹣1＜x＜3时，求y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝12，求出此时点P的坐标． 【解答】解：（1）由条件可得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，顶点坐标为（1，﹣9）； （2）∵抛物线的开口向上，顶点坐标为（1，﹣9）， ∴当x＝1时，函数有最小值﹣9， 当x＝﹣1时，y＝1+2﹣8＝﹣5；当x＝3时，y＝9﹣6﹣8＝﹣5； ∴当﹣1＜x＜3时，﹣9≤y＜﹣5； （3）由条件可知AB＝4﹣（﹣2）＝6， 设P（x，y）， 则， 即， 解得y＝±4， 此时或 ， ∴P坐标为或或或． 14．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0）两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA+PC值最小，求最小值以及此时点P的坐标． 【解答】解：（1）根据题意得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）连接BC，交抛物线的对称轴于点P，如图，则PA＝PB， ∵PA+PC＝PB+PC＝BC， ∴此时PA+PC的值最小， ∵抛物线的解析式为， ∴其对称轴为直线， 当x＝0时，， ∴， 又∵B（5，0）， ∴设BC的解析式为y＝kx+b1（k≠0）， ∴， 解得， ∴BC的解析式为， 当x＝2时，， ∴， ∴， 即P{A+PC的最小值为，此时点P的坐标为（2，）． 15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx（a＜0）与正比例函数y＝kx的图象都经过点A（3，3），点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴的垂线，交OA于点C，交x轴于点D． （1）若点A为该二次函数的顶点， ①求二次函数的表达式； ②求线段PC长度的最大值． （2）若该二次函数与x轴的一交点为B（m，0），且m＞4，求a的取值范围． 【解答】解：（1）①∵A（3，3）为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； ②因为正比例函数y＝kx经过点A（3，3）， ∴3k＝3， ∴k＝1， ∴正比例函数表达式为y＝x， 设OD＝t（0≤t≤3），则CD＝t，PD， ∴PC＝PD﹣CD ， ∴当t时，线段PC的长度取得最大值； （2）∵二次函数y＝ax2+bx经过点A（3，3）， ∴9a+3b＝3，即b＝1﹣3a， 令ax2+bx＝0， 解得x1＝0，， ∵二次函数与x轴的一个交点为B（m，0），m＞4， ∴m， ∴， ∵a＜0， ∴b＞﹣4a， ∴1﹣3a＞﹣4a，a＞﹣1， ∴a的取值范围是﹣1＜a＜0． 16．如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB． （1）求b、c的值； （2）求△PAB的面积的最大值． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+5＝5；当x＝4时，y＝﹣x+5＝1，则A（0，5），B（4，1）， 则， 解得：； （2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，设P（m，m2﹣5m+5），作PE∥OA，交AB于E， 则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2， ∴， 当m＝2时，最大值为8． 17．如图，抛物线的顶点为（﹣1，﹣1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为﹣3． （1）求抛物线的解析式； （2）求点B的坐标及△BOC的面积； （3）若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A，O，D，E为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点D的坐标． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣1， 将点O（0，0）代入，得：a﹣1＝0， 解得：a＝1， 则抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣1； （2）当x＝﹣3时，y＝3， 所以点B坐标为（﹣3，3）， 如图1，过点B作BM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N， 则BM＝OM＝3，CN＝ON＝1， ∴MN＝4， 则S△BOC＝S梯形BMNC﹣S△BOM﹣S△CON （1+3）×43×31×1 ＝3； （3）如图2所示， 分三种情况考虑： 当D1在第一象限时，若四边形AOD1E1为平行四边形， ∴AO＝E1D1＝2， ∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1， ∴D1横坐标为1， 将x＝1代入抛物线y＝x2+2x＝1+2＝3，即D1（1，3）； 当D2在第二象限时，同理D2（﹣3，3）； 当D3在第三象限时，若四边形AE2OD3为平行四边形，此时D3与C重合，即D3（﹣1，﹣1）； 综上，点D的坐标为（1，3）或（﹣3，3）或（﹣1，﹣1）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/10 16:10:36；用户：徐萍；邮箱：18669688085；学号：41110157 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $