精品解析： 福建省厦门市湖里实验中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

厦门市湖里实验中学2025-2026学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题：（每题4分，共10题，40分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、选项中的图形是中心对称图形，故此选项符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由于所给的是二次函数的顶点式，可以直接写出该抛物线的对称轴． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 3. 已知点P在半径为r的内，且，则r的值可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系定理是解决问题的关键．根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：∵点P在半径为r的内，且， ∴， 比较四个选项，只有， 故选：D． 4. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项B： ，，， ，有两个相等的实数根，不符合题意； 选项C： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项D： ，，， ，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 5. 如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角． 两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案． 【详解】解：A．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故A不符合题意； B．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故B不符合题意； C．旋转后的对应边为，故不可以作为旋转角，故C符合题意； D．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故D不符合题意； 故选C． 6. 地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　） A. 小球滑行12秒停止 B. 小球滑行6秒停止 C. 小球滑行6秒回到起点 D. 小球滑行12秒回到起点 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象结合s与t的关系式得出答案． 【详解】解：如图所示：滑行的距离要s与时间t的函数关系可得， 当t=6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确数形结合分析是解题关键． 7. 如图，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长10），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得平行于住房墙的一条边的长为，结合题意即可得解． 【详解】解：由题意可得：平行于住房墙的一条边的长为， ∵， ∴★表示的代数式为， 故选：C． 8. 看似简单的数学公式背后蕴含着深刻的设计智慧．跑道弯道设计既要保证运动员比赛时的安全性，又要确保不同跑道之间的距离差异最小化，从而公平地反映每位参赛者的实力．高小新同学对厦门高新田径场第一道跑道的弯道进行了测试．如图，他测得该跑道在拐弯处的弦，弓形的高度，则对应弯道所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．设圆弧圆心为O，连接，，根据垂径定理，勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，设圆弧圆心为O，连接，， ∵是弓形的高， ∴，， ∴， ∴ 在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴对应弯道所在圆的半径为长为36m 故选：C． 9. 如图，小明为了测量圆形鼓面的直径，将直角三角板角的顶点落在鼓面圆上任意一点，三角板的两边分别交圆于点、，若测量得到弦的长为，则鼓面圆的直径为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识；设鼓面圆的圆心为，连接、，则，因为，所以是等边三角形，则，所以的直径为，于是得到问题的答案． 【详解】解：设鼓面圆的圆心为，连接、，则， ，， ， 是等边三角形， ， 的半径为， 的直径为， 故选：C． 10. 已知二次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是（ ）． A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当△≤0，抛物线在x轴下方无点，此时满足题意；当△＞0时，必须同时满足当x=0时，y＞0，对称轴x=b-2＞0，才能满足题意，此时b无解． 【详解】解：∵二次函数的图象不经过第三象限， ∴当△≤0，抛物线在x轴下方无点，此时满足题意， ∴， 解得：， 当△＞0时，必须同时满足当x=0时，y＞0，对称轴x=b-2＞0，才能满足题意， ∴， 解得：， 当x=0时，， 解得：b＞1或b＜-1， 对称轴， 解得：b＞2， ∴b无解， 综上，， 故选A. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 二、填空题：（每题4分，共6题，24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是关于原点对称的点的坐标的特点，解题关键是熟练掌握关于原点对称的点的坐标的特点． 根据关于原点对称的点的坐标，横纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 已知是方程的解，则m的值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】直接把代入方程，即可求出的值． 【详解】由题意得： 把代入方程中， 则，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义，正确求出的值． 13. 如图，四边形内接于圆，为延长线上一点，图中与一定相等的角是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得到，根据邻补角的定义得到，根据同角的补角相等解答即可． 【详解】解：∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， 则图中与一定相等的角是， 故答案为：． 14. 某二次函数的几组对应值如下表所示，若 x1＜x2＜x3＜x4＜x5，则该函数图象的开口方向是_____． x x1 x2 x3 x4 x5 y ﹣3 ﹣ 0 2 ﹣1 【答案】向下． 【解析】 【分析】由条件可判断二次函数的增减性，则可求得答案． 【详解】解：由表中所给函数值可知： 当x＜x4时，y随x的增大而增大， 当x＞x5时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下， 故答案为向下． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，由题目条件得出二次函数的增减性是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴正方向的夹角为，且，若将线段绕点O 顺时针旋转得到线段，则此时点的坐标为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．过点作轴于点B，根据旋转的性质可得，，求得，，再结合含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，将线段绕点O沿顺时针方向旋转到线段， 过点作轴于点B， ，， ． 在直角中，，， ， ∴， 点的坐标为． 故答案为：． 16. 如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，点与圆的位置关系；过点作的垂线，在垂线上截取，连接，从而可证，进而得到，将求线段的最大值转化为求的最大值，然后结合点与圆的位置关系求出最大值即可． 【详解】如图，过点作的垂线，在垂线上截取，连接， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ， 在和中， ， ， ， 连接，并延长交圆于点，即为最大值， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共9题，共86分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解方程即可． 【详解】解：． 移项，得， 配方，得， 即． ． ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】; 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 19. 已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式．正确记忆相关知识点是解题关键． （1）根据，，三个点求解析式即可； （2）画出函数图象；观察图象可得当时有最大值，当时有最小值，即可求出y的取值范围； 【小问1详解】 解：∵设二次函数的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：, 当时，， 当时，， 当时，， 函数图象如图所示： 所以，当时，． 20. 芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业．芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个．解决下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到175万个，请通过计算说明该目标能否实现？ 【答案】（1） （2）该目标不能实现 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二、三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的芯片生产量第一季度的芯片生产量第二、三季度生产量的平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）利用第四季度的芯片生产量第三季度的芯片生产量第二、三季度生产量的平均增长率），可求出第四季度的芯片生产量，再将其与175万个比较后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设第二、三季度生产量的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：第二、三季度生产量的平均增长率为； 【小问2详解】 解：该目标不能实现，理由如下： 按照（1）中的平均增长率，该公司第四季度的芯片生产量为（万个）， ∵， ∴该目标不能实现． 21. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使得点B的对应点E落在边上（点E不与点B重合）． （1）求作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）试判断线段、的位置关系，并证明． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） ， 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）作，在上截取，连接即可； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得出，再根据旋转的性质得出，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图-旋转变换，平行线的判定，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22. 如图，在中，，与边相切于点E． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵为半圆的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，圆周角定理和相等的圆心角所对的弧线段，所对的弦线段的性质解答即可； （2）设的半径为r,利用圆的性质定理，含角的直角三角形的性质，求得圆的半径，再利用等边三角形的判定与性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的半径为r， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴ 23. 综合与实践：某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查阅资料获得以下信息： 材料一：由于司机的反应和惯性的作用，从发现情况到刹车停止前汽车还要继续向前行驶一段距离，这段距离称为制动非安全距离．从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离总共需要的反应时间为0.6秒．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离． 材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过）进行测试，测得数据如下表： 车速x（） 0 30 45 60 90 105 120 150 制动距离y（m） 0 7.8 13.05 19.2 34.2 43.05 52.8 75 探究任务： （1）已知该款新型汽车的制动距离y（m）和车速x（）之间存在已学过的某种函数关系，请你根据上表提供的数据，在坐标系中描出点，顺次连接各点，结合图象求出这个函数的解析式并写出自变量x的取值范围（参考数据：）； （2）若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度； （3）若某司机驾驶这种新型汽车以的速度在单行道上行驶，发现前方处有一辆大货车停在公路上挡住去路，司机紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由，并根据计算结果给司机提出一条建议． 【答案】（1） 函数图象如图所示， （2）该款汽车开始刹车时的速度为 （3） 有碰撞危险，理由如下： 当时，， ， 故有碰撞危险，建议司机降低车速保持安全距离． 建议司机降低车速保持安全距离． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．求函数关系是计算相对复杂，需要细心，关键是理解并应用得到的函数解析式． （1）观察函数图象可猜测函数关系式为过原点的抛物线，设出抛物线解析式，把表格中的数据代入，即可求得函数表达式； （2）取，代入（1）中得到的函数解析式，求得合适的x的值即可； （3）取，代入（1）中得到的函数解析式，求得制动距离y的值，进而计算出制动非安全距离与所给的比较即可得到是否有碰撞危险． 【小问1详解】 解：根据图象可得该款新型汽车的制动距离y（m）和车速x（）之间为二次函数， 设， 把代入可得 ， 解得， 该款新型汽车的制动距离y（m）和车速x（）之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，可得， 解得（舍去）， 故该款汽车开始刹车时的速度为； 【小问3详解】 略 24. 在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线. （1）当时，求t的值； （2）点，在抛物线上，若，比较，的大小，并说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质、熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，结合已知求解即可； （2）先根据已知求得，进而求得，然后根据抛物线的开口向上，得到离对称轴越远，函数值越大求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴，解得， 由得抛物线的对称轴为直线， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，则或， ∴， ∵， ∴， ∵，，又抛物线的开口向上， ∴． 25. 如图，为的直径，点A在上且，为上的一点，连接，过A作于点，交于点，交于点，连接并延长交于点，连． （1）请判断的形状，并说明理由． （2）求证：平分． （3）当时，求与的面积之比． 【答案】（1）等腰直角三角形， 理由：如图，连接，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2） 证明：过O作于G，于P， 则，，， ∴四边形是矩形， 由（1）得，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，又， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，即平分； （3） 【解析】 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，再证明，进而可得结论； （2）过O作于G，于P，利用垂径定理可得，，易证，证明四边形是正方形，得到即可得结论； （3）设，，证明得到，，则，，进而可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴设，， 由（2）中四边形是正方形可得， 在中，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合，涉及圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、弧与弦的关系、垂径定理、矩形的判定、正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市湖里实验中学2025-2026学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题：（每题4分，共10题，40分） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 已知点P在半径为r的内，且，则r的值可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把四边形绕点O顺时针旋转得到四边形，则下列角中不等于旋转角的是（ ） A. B. C. D. 6. 地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　） A. 小球滑行12秒停止 B. 小球滑行6秒停止 C. 小球滑行6秒回到起点 D. 小球滑行12秒回到起点 7. 如图，某农户用长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长10），且面积为的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为，若可列方程为，则★表示的代数式为（ ） A. B. C. D. 8. 看似简单的数学公式背后蕴含着深刻的设计智慧．跑道弯道设计既要保证运动员比赛时的安全性，又要确保不同跑道之间的距离差异最小化，从而公平地反映每位参赛者的实力．高小新同学对厦门高新田径场第一道跑道的弯道进行了测试．如图，他测得该跑道在拐弯处的弦，弓形的高度，则对应弯道所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小明为了测量圆形鼓面的直径，将直角三角板角的顶点落在鼓面圆上任意一点，三角板的两边分别交圆于点、，若测量得到弦的长为，则鼓面圆的直径为( ) A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是（ ）． A. B. 或 C. D. 二、填空题：（每题4分，共6题，24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 12. 已知是方程的解，则m的值为____________． 13. 如图，四边形内接于圆，为延长线上一点，图中与一定相等的角是_________． 14. 某二次函数的几组对应值如下表所示，若 x1＜x2＜x3＜x4＜x5，则该函数图象的开口方向是_____． x x1 x2 x3 x4 x5 y ﹣3 ﹣ 0 2 ﹣1 15. 如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴正方向的夹角为，且，若将线段绕点O 顺时针旋转得到线段，则此时点的坐标为_______________ 16. 如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大值为___________． 三、解答题：（本大题共9题，共86分） 17. 解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 … … 0 0 … （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围． 20. 芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业．芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个．解决下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到175万个，请通过计算说明该目标能否实现？ 21. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使得点B的对应点E落在边上（点E不与点B重合）． （1）求作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）试判断线段、的位置关系，并证明． 22. 如图，在中，，与边相切于点E． （1）求证：； （2）若，求的长度． 23. 综合与实践：某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查阅资料获得以下信息： 材料一：由于司机的反应和惯性的作用，从发现情况到刹车停止前汽车还要继续向前行驶一段距离，这段距离称为制动非安全距离．从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离总共需要的反应时间为0.6秒．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离． 材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过）进行测试，测得数据如下表： 车速x（） 0 30 45 60 90 105 120 150 制动距离y（m） 0 7.8 13.05 19.2 34.2 43.05 52.8 75 探究任务： （1）已知该款新型汽车的制动距离y（m）和车速x（）之间存在已学过的某种函数关系，请你根据上表提供的数据，在坐标系中描出点，顺次连接各点，结合图象求出这个函数的解析式并写出自变量x的取值范围（参考数据：）； （2）若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度； （3）若某司机驾驶这种新型汽车以的速度在单行道上行驶，发现前方处有一辆大货车停在公路上挡住去路，司机紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由，并根据计算结果给司机提出一条建议． 24. 在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线. （1）当时，求t的值； （2）点，在抛物线上，若，比较，的大小，并说明理由. 25. 如图，为的直径，点A在上且，为上的一点，连接，过A作于点，交于点，交于点，连接并延长交于点，连． （1）请判断的形状，并说明理由． （2）求证：平分． （3）当时，求与的面积之比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $