精品解析：青海省西宁市湟川中学2025-2026学年高二上学期第二次考试数学试卷

青海湟川中学2025-2026学年第一学期 高二年级数学第二次考试试卷 本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分．全卷共150分． 考试时间为120分钟 第I卷（选择题共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知空间单位向量两两垂直，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若圆：与圆：有且仅有3条公切线，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中作，在中，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则该圆的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（ ） A. C的离心率为 B. C. 的最大值为 D. 使为直角的点P有4个 10. 圆，直线，则（　　） A. 直线与圆必相交 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 D. 时，圆上存在四个点到直线的距离为2 11. 如图，正方体棱长为2，、分别是棱，棱的中点，点是其侧面上的动点（含边界），下列结论正确的是（ ） A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离为 B. 过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 当时，点的轨迹长度为 D. 保持与垂直时，点的运动轨迹长度为 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为______． 13. 若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为__________. 14. 已知椭圆的右焦点为F，P，Q在椭圆上且关于原点对称，则的取值范围是__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 16. 如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点、，它们距离城市中心的距离均为是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路，如图所示，道路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，其中道路起点到东西方向主干道的距离为，线路段上的任意一点到的距离都相等，以为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求道路的曲线方程； （2）现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置（即确定点的坐标）并写出最短距离． 17. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离； 18. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若外接圆的直径为，求的取值范围． 19. 已知椭圆的标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于，两点且不过原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标； （3）若直线，，的斜率分别为，且，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青海湟川中学2025-2026学年第一学期 高二年级数学第二次考试试卷 本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分．全卷共150分． 考试时间为120分钟 第I卷（选择题共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知空间单位向量两两垂直，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的运算性质，结合空间向量垂直的性质进行求解即可. 【详解】因为空间单位向量两两垂直， 所以， 因此， 故选：D 2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 若圆：与圆：有且仅有3条公切线，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定两圆相外切，再转化为圆上点到直线的距离问题. 【详解】由题可知圆，半径，圆，半径. ∵圆与圆有且仅有3条公切线，∴圆与圆外切， ∴，即， ∴点在以原点为圆心，半径为4的圆上， 又，∴代表点到直线的距离的5倍， 圆心到直线的距离为1，所以直线与圆相交， 所以圆上的点到直线的距离的最小值为0，最大值为， 所以的取值范围是. 故选：C 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆定义以及勾股定理解方程即可求得离心率大小. 【详解】连接，如下图所示： 由椭圆定义可知，又，可得； 易知， 因此在中可得， 满足，因此， 因此可得，即, 所以离心率. 故选：D 5. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中作，在中，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则该圆的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可得边上的高线、垂直平分线和中线合一，其“欧拉线”为边的垂直平分线，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件，求得边上的垂直平分线方程，再由直线和圆相切的条件：，可得所求值． 【详解】解：在中，，点，点， 可得边上的高线、垂直平分线和中线合一， 则其“欧拉线”为边的垂直平分线， 可得的中点为，，直线的斜率为， 则的垂直平分线的斜率为1， 可得的垂直平分线方程为，即为， 其“欧拉线”与圆相切， 可得圆心到“欧拉线”的距离为， 即有半径， 故选：B． 【点睛】本题考查直线方程、三角形的“欧拉线”的定义，以及直线和圆相切的条件，考查推理能力与计算能力． 6. 已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点差法求解中点弦问题求解即可. 【详解】设，，则， 将A，B的坐标代入椭圆方程得：，， 两式相减，得：， 变形为， 又直线的斜率为，所以，即， 因此椭圆的焦距为， 故选：B. 7. 已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设左焦点为，为椭圆右焦点，利用椭圆定义转化，然后利用平面几何的性质得最大值． 【详解】解：椭圆，所以为椭圆右焦点，设左焦点为， 则由椭圆定义， 于是. 当不在直线与椭圆交点上时，､､三点构成三角形，于是， 而当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有， 在第三象限交点时有. 显然当在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为 . 故选：A. 8. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易得，再由，，设，可得，两边平方即可求解. 【详解】因为双曲线的渐近线的斜率小于， 所以，则，， 设，则 所以；由于， 因为，所以，则，则， 因为，所以 故选：B 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（ ） A. C的离心率为 B. C. 的最大值为 D. 使为直角的点P有4个 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程求出，由离心率定义判断A，由椭圆定义判断B，由椭圆的几何性质判断C，根据以线段为直径的圆与椭圆交点个数判断D. 【详解】由原方程可得椭圆标准方程为， ，，故A错误； 由椭圆定义可知，故B正确； 由椭圆的性质知，故C正确； 易知以线段为直径的圆（因为）与C有4个交点，故满足为直角的点有4个，故D正确. 故选：BCD 10. 圆，直线，则（　　） A. 直线与圆必相交 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 D. 时，圆上存在四个点到直线的距离为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据圆的方程求得圆心和半径，根据直线的方程求得直线所过定点，通过判断定点在圆内，知直线与圆必相交；对于B，直接求圆和轴的交点，进而求得圆被轴截得的弦长；对于C，当圆被直线截得的弦长最短时，直线与垂直，根据垂直直线斜率关系，求得直线的斜率为，从而求得直线的方程；对于D，求圆心到直线的距离，结合半径做出判断. 【详解】由题可知圆的圆心，半径. 由直线，得，所以直线过定点. 对于A，因为，所以点在圆内，所以直线与圆必相交，所以A正确； 对于B，当时，，所以，或.所以圆被轴截得的弦长为，所以B正确； 对于C，当圆被直线截得的弦长最短时，圆心到直线的距离最大，最大值为，此时，直线与垂直，因为的斜率为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.所以C不正确； 对于D，当时，直线的方程为，此时圆心C到直线的距离为，因为，所以圆上存在四个点到直线的距离为2，所以D正确. 故选：ABD. 11. 如图，正方体棱长为2，、分别是棱，棱的中点，点是其侧面上的动点（含边界），下列结论正确的是（ ） A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离为 B. 过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 当时，点的轨迹长度为 D. 保持与垂直时，点的运动轨迹长度为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据正方体的侧面展开图，可判断A；连接，得到过点的平面截该正方体所得的截面为等腰梯形，可判断B；取的中点，连接，证得平面，得到，得到点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆在正方形内的部分，可判断定C；以为原点，建立空间直角坐标系，设，根据，求得点的轨迹方程，可判断D. 【详解】对于A，如图所示，将正方形沿着展在平面， 在直角中，可得， 将沿着展开到与平面重合， 在直角中，可得，故A错误； 对于B，如图所示，连接， 因为为的中点，可得， 因为，所以， 所以过点的平面截该正方体所得的截面为等腰梯形， 其中，且，可得高为， 可得等腰梯形的面积为，故B错误； 对于C，取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 因为平面，可得平面， 又因为平面，所以， 在直角中，由，可得， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆在正方形内的部分， 如图所示，在直角中，由，可得， 所以，可得， 即当时，点M的轨迹长度为，故C正确； 对于D，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，设，其中， 则， 因为与垂直，可得，即， 令，可得；当，可得， 即直线与正方形的边的交点为， 可得，故D正确. 故选：CD. 【点睛】方法点睛：立体几何中最值问题，一般可从三个方面处理解决： 一是函数法，即根据题中信息直接建立函数关系式，或通过空间向量的坐标运算建立函数关系式，转化为函数的最值问题求解，最后根据函数的形式，选择利用函数的性质、基本不等式或导数求最值； 二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断求解； 三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设所求双曲线方程为，将点代入即可求解. 【详解】设所求双曲线方程为， 将点代入双曲线方程得， 故双曲线方程为，则双曲线的实轴长为2． 故答案为：2. 13. 若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出曲线，考查直线与圆相切且切点在第四象限时的值、直线过点、时的值，以及直线过点时的值，数形结合可得出实数的取值范围． 【详解】由，可得，即， 所以，曲线表示圆的下半圆， 作出曲线与直线如下图所示， 当直线与圆相切且切点在第四象限时， 且由几何关系可得，解得，此时，直线与曲线有1个公共点； 当直线过点时，，此时，直线与曲线有2个公共点； 当直线过点时，，此时，直线与曲线有1个公共点； 由上图可知，曲线与直线恰有个公共点时，的取值范围是． 故答案为：． 14. 已知椭圆的右焦点为F，P，Q在椭圆上且关于原点对称，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆性质，有，，，则，利用构造函数的方法求取值范围. 【详解】由椭圆方程可知，，左焦点为，设， ， 由对称性可知，由， 得，则有， ， 令，设， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， ，，， 则，所以. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点、，根据中点坐标公式化简得出，代入等式化简可得出点的轨迹方程； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得答案. 【小问1详解】 设点、， 因为点是线段的中点，则，所以， 因为点在圆上，则，即， 化简得， 故点的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为. 若轴，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 16. 如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点、，它们距离城市中心的距离均为是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路，如图所示，道路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，其中道路起点到东西方向主干道的距离为，线路段上的任意一点到的距离都相等，以为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求道路的曲线方程； （2）现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置（即确定点的坐标）并写出最短距离． 【答案】（1）段：；NP段： （2），距离最小为 【解析】 【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义可得线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上，求得其标准方程，再结合圆的定义，得到线路所在的曲线为以为圆心，为半径的圆，求得此圆的方程，即可得到答案； （2）根据题意，分点在线路与线路上两种情况讨论，分别求得的最小值，比较大小，得出最小值，以及点的坐标. 【小问1详解】 根据题意，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多， 则线路所在的曲线在定点为左右焦点的双曲线的右支上，且， 所以，且道路起点到东西方向主干道的距离为， 则线路所在的曲线方程为，即， 又由线路段上的任意一点到的距离都相等，则线路所在的曲线为以为圆心，为半径的圆， 其方程为， 故道路曲线方程为段：，段：. 【小问2详解】 设，又，则， 当点在线路上，由（1）知，则， 可得当时，有最小值，且， 当点在线路上，由（1）知，则， 又，则当时，有最小值，且， 因为，所以有最小值为，此时，则， 则点的坐标为，此时到的距离最小，最小距离为. 17. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离； 【答案】（1） 由题意知、分别、中点，则得， 因为平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理即可求证； （2）建立空间直角坐标系，然后求出直线的方向向量及平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； （3）利用点到平面距离的向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，，则可以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则得， 设直线与平面所成角为，则， 故线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）可得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 18. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若外接圆的直径为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案； （2）由正弦定理可得，由两角差的正弦公式和辅助角公式可得，再由三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由可得：，所以， 所以， ， ，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可得， 所以， 故， 又，所以， 所以 ，又，所以， 所以，所以的取值范围为. 19. 已知椭圆的标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于，两点且不过原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标； （3）若直线，，的斜率分别为，且，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，， 联立方程组消去得， 则，， 由，得， 由，得，即， 化简得， 从而， 化简得，即， 所以或（直线过点，舍去）， 即直线的方程为，所以直线过定点． 当直线的斜率不存在时，令，代入椭圆方程得， 则，所以， 可得，则，解得或（舍）， 所以直线的方程为，也过定点； （3）. 【解析】 【分析】（1）由离心率及椭圆上的点求椭圆参数，即可得方程； （2）讨论直线斜率的存在性，设直线为，，，联立椭圆，应用韦达定理并结合的坐标表示列方程求，即可得结论； （3）由（2）及题意得，进而得到，且，，应用点线距离、弦长公式、三角形面积公式得，最后应用基本不等式求范围即可. 【小问1详解】 由已知得，且， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知且，， ， 因为直线，，的斜率分别为，且， 所以，即，即， 又，所以，， 因为直线的斜率存在且不过原点，结合可得， 而斜率存在，故不为上下顶点，故， 设为点到直线的距离， 则 ， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $