5.3.1组合（教学课件）数学北师大版2019选择性必修第一册

3.组合问题 3.1组合 第5章 计数原理 北师大版选择性必修第一册·高二 2.排列数：把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，符号 : 1.排列：一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。 区别：一个排列就是完成一件事的一种方法，它不是数； 排列数是所有排列的个数，它是一个数. 3.排列数公式： 规定： 复习回顾 我班有3名同学想参加比赛，但是学校只给了每个班2个名额，且其中1名参加流行组，1名参加民歌组，共有几种不同的报名结果？ <m>（种）. 我班有3名同学想参加比赛，但是学校只给了每个班2个名额，共有几种不同的报名结果？ 由列举法可知有3种. 上述两个问题的区别是什么？ 问题1是排列问题，有顺序，问题2是无顺序问题，是我们要学习的组合问题. 新知探究 3 典例分析 问题1：某个城市有3座大型体育场需要选择2座体育场承办一次运动会，共有多少种选择方案？ 分析：利用列举法，把所以可能都列出来共有3种，分别是.因此,从3座大型体育场中选择2座体育场承办一次运动会,共有3种选择方案. 思考1：将具体问题背景舍去，上述问题可以概括为？ 从已知的3个不同元素中每次取出2个元素合成一组。 问题2：从这4个元素中取出2个元素，共有多少种可能？ 方法1：利用列举法，我们把所有可能都列出来,共有6种,分别是.因此,从4个元素中取出2个元素，共有6种可能. 方法2：从排列问题分析. 从这4个不同元素中取出2个元素的排列问题可以分解成以下2个步骤: 第1步，从这4个不同元素中取出2个元素，设其取法总数为； 第2步，将取出的2个元素进行排列，排列数为 根据分步乘法计数原理， =x,从而x==6; 所以从这4个元素中取出2个元素，共有6种可能. 思考2：两种方法可以分别概括为？ 方法二：从已知的4个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列. 方法一：从已知的4个不同元素中每次取出2个元素合成一组. 思考3：这两个问题有何不同？ 组合问题 组合与元素顺序无关 排列问题 排列与元素顺序有关 问题3：某次团代会，要从5名候选人中选出3名担任代表，共有多少种方案？ 方法1：列举法： 因此,要从5名候选人中选出3名担任代表,共有10种方案. 方法2：从排列问题分析. 从这5个不同元素中取出3个元素的排列问题可以分解成以下2个步骤： 第1步，从这5个不同元素中取出3个元素，设其取法总数为； 第2步，将取出的3个元素进行排列，排列数为. 根据分步乘法计数原理， =x,从而x==10； 所以从这5个不同元素中取出3个元素，共有10种方案. “组合”与“排列”的联系与区别 排列 组合 相同点 不同点 步骤 从个不同元素中取出个元素 元素的顺序有关 元素的顺序无关 第一步、取 第二步、排 仅一步、取 一般地，从个不同元素中取出个元素为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.有关求组合的个数的问题叫作组合问题. 两个组合相同仅当两个组合的元素相同． 课堂练习 练习1.判断下列问题是排列问题，还是组合问题. （1）10个人相互写一封信，共写出了多少封信？ （2）10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？ （3）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛需要进行多少场次？ （4）从10个人中选出3人担任不同学科的科代表，有多少种选法？ [解析] （1）是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的. （2）是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序的区别. （3）是组合问题，因为每两支球队比赛一次，没有顺序的区别. （4）是排列问题，因为3个人担任哪一科的科代表是有顺序区别的. 题型一　组合概念的理解 判断组合问题的方法技巧： 区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题; 而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题. 也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关. 练习2.在四位候选人中， 若选举两人一起收作业，共有几种选法？写出所有可能的选举结果. 题型二　简单的组合问题 练习3. 从5个不同元素中取出2个，共有多少种不同的组合？ 请写出所有组合. 解：先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合 逐个写出来，如图所示： 由此可得所有的组合： ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种. 写出有关问题的组合的一般思路： 注意：确定列举时要不重不漏. 1.由于组合与顺序无关，故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出的一个组合不可交换位置.如写出后，不必再交换位置为，因为它们是同一组合， 2.画“树形图”时，应注意顶层及下枝的排列思路，防止重复或遗漏. 练习4.一个口袋内装有大小相同的4个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的5个球中取出3个球，取法种数是10. (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是需要从4个白球中取出2个，取法种数是6. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从4个白球中取出3个球，取法种数是4. 题型三　双重元素的组合问题 练习5.某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益活动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有(　　) 解析：分3类完成： 男生甲参加，女生乙不参加，只需在其余5人中选3人，有10种选法； 男生甲不参加，女生乙参加，只需在其余5人中选3人，有10种选法； 两人都不参加，只需在其余5人中选4人，有5种选法． 所以共有(种)不同的选派方案． 答案　A 练习6.某校开设类选修课3门，类选修课5门，一位同学要从中选3门． 若要求两类课程中各至少选1门，则不同的选法共有(　　) 解析：分两类，类选修课选1门，选修课选2门， 或者类选修课选2门，类选修课选1门， 因此，共有3×10＋3×5＝45(种)选法． 答案　 规律方法　 练习中用到两个计数原理解题，两个原理的区别在于：前者每次得到的是最后结果，后者每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成． 这节课学习了哪些知识？ 课堂小结 组合问题 一般地，从个不同元素中取出个元素为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.有关求组合的个数的问题叫作组合问题. 感谢聆听! 解：从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题， 所有可能的选举结果：有6种选法。 $