2.6 正多边形与圆 同步练习题 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

2.6 正多边形与圆 同步练习题 一、单选题 1．若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的周长为（   ） A．2 B．6 C．6 D．12 2．如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 3．如图，在平面直角坐标系中，点是正六边形的边与轴的交点，，点在第一象限．将绕点顺时针旋转后点的对应点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 4．如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（   ） A． B． C． D． 5．如图，正六边形内作正方形，连接，交于点O，则的值为（  ） A． B． C． D． 6．我国古代重要建筑的室内上方，通常会在正中部位做出向上凸起的穹窿状装饰，称为藻井．北京故宫博物院内的太和殿上方即有藻井图，全称为龙凤角蝉云龙随瓣枋套方八角浑金蟠龙藻井．它展示出精美的装饰空间和造型艺术．从分层构造上来看，太和殿藻井由三层组成：最外层为方井，中层为八角井，内层为圆井．图2是由图1抽象出的平面图形．若内层圆井的面积为，则最外层方井的边长是（   ） A． B．1 C． D．2 7．中国凉亭是自然与人文的交汇点，它不仅是遮阳避雨的休憩之所，更是园林的诗眼、山水的情怀，体现了天人合一、虚实相生的传统哲学意境．如图1，有一个凉亭，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，则这个正六边形地基的周长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在的内接正五边形中，，交于点，则图中等腰三角形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 9．如图，正六边形内接于，P是圆上任意一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，点A，B，C，D，E，F是圆O上的六等分点，已知圆O的半径是2，则图中阴影部分的面积是（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，正六边形内接于，若正六边形的半径为6，则正六边形的面积为 ． 12．如图，是的内接正六边形的一边，点在上，且是的内接正八边形的一边．则以为边的内接正多边形的边数为 ． 13．在半径为8的圆形纸片上裁出一个边长最大的正六边形，则这个正六边形纸片的边长应为 ． 14．如图，，分别为的内接正三角形、正四边形的一边，是圆内接正边形的一边，则的值为 ． 15．如图，已知为正六边形的内切圆，M，N是与的切点，连接，若，则五边形的周长为 ． 三、解答题 16．如图，是的直径，，是的弦，，延长到D，连接，． (1)求证：是的切线； (2)以为边的圆内接正多边形的周长等于 ． 17．历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密！ (1)如图，请在中，作一个圆内接正六边形．（要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给分） (2)若正六边形边长为，求该正六边形的边心距． 18．如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． (1)求的度数； (2)求正六边形与正方形的面积比． 19．如图1，正方形内接于，将线段绕点顺时针旋转得到线段，其中，连接并延长交于点，连接，，过作于点，连接． (1)如图1，若，，共线，求的值； (2)试探究的大小与的关系，并说明理由； (3)当为等腰直角三角形时，求的值． 20．碳60，是一种非金属单质，化学式为，是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯．如下图，足球烯是由正五边形和正六边形组成的凸多面体． (1)足球烯中正五边形每一个内角的度数为______． (2)若足球烯中正六边形的边长为a，求该正六边形的边心距． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2.6 正多边形与圆 同步练习题2025-2026学年苏科版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D D C B D C D C 1．D 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，掌握正多边形的性质是解题关键． 根据题意可得正六边形的外接圆半径等于其边长，可直接计算周长． 【详解】解：如图，六边形是正六边形，是正六边形的外接圆， ，， 是等边三角形， ， 该正六边形的周长为， 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是构造同弧所对的圆心角．构造弧所对的圆心角后即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ， ∴是正九边形的一条边， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了正六边形的性质与坐标旋转变换，解题的关键是先确定点的位置，再利用旋转求对应点坐标． 先根据正六边形的边长和角度性质找出点的位置，再依据绕原点顺时针旋转的坐标，计算出点旋转后的对应点坐标． 【详解】解：由、可知， 正六边形的中心在原点，边长为4，即 正六边形的中心角为，点在第一象限，    旋转到，如图所示， 此时，， 在中，，， 在第四象限， 旋转后对应点坐标为． 故选D． 4．D 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关性质定理是解题的关键．连接，，过点作，垂足为点，根据正多边形的性质和圆的性质证明是等边三角形， 得到、的长，然后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为点， 六边形是正六边形，点是它的中心， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中， ， 即它的内切圆半径为 ， 故选：D． 5．C 【分析】本题考查正多边形的性质，正方形的性质，勾股定理，等边三角形的判定及性质，掌握正多边形的性质是解题的关键． 连接，交于点，设正六边形和正方形的边长都为a，根据正六边形的性质可求．在中通过解直角三角形可得，从而，即可求解． 【详解】解：连接，交于点，设正六边形和正方形的边长都为a， ∵六边形是正六边形，，是其对角线， ∴，平分，平分 ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点J是正六边形的对角线的交点， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．B 【分析】由题意得，根据圆的面积公式可得圆的半径，从而得到圆的直径，利用等腰直角三角形的性质及勾股定理得的长，从而可得答案． 本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的面积的计算，知道正多边形之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，四边形是正方形， ，， ， 设圆的半径为r，内层圆井的面积为， ， ， 由图可知内层圆是正方形的内接圆，根据正多边形与圆的关系可知：内层圆的直径即为正方形的边长， ∴， 由题意可知：点E为的中点，是等腰直角三角形， ， ； 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，正多边形和圆的综合，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出，再证明等边三角形，从而可求得正六边形地基的周长． 【详解】解：∵，， ∴等边三角形， ∴， ∴这个正六边形地基的周长为， 故选：D． 8．C 【分析】本题主要考查了正多边形的圆，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关性质定理． 根据正五边形的性质，可得，进而得到图中等腰三角形有：，，，，，共5个． 【详解】解：由题可得，，，， ，， ， 图中等腰三角形有：，，，，，共5个． 故答案为：C． 9．D 【分析】本题考查正多边形与圆、圆周角定理，熟练掌握正六边形性质及圆周角定理作出辅助线是解决问题的关键．连接、，根据正六边形性质得到，再结合圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图所示： 正六边形内接于， ， P是圆上任意一点，， 根据圆周角定理，， 故选：D． 10．C 【分析】本题主要考查正多边形和圆、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 如图，连接交于点Q，设与交于点H，与交于点Q，根据题意可得是等边三角形，进而说明，再根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求得、可得，进而求得，最后求得即可解答． 【详解】解：如图，连接交于点Q，设与交于点H，与交于点Q，    ∵点A，B，C，D，E，F是圆O上的六等分点， ∴，，， ∴， 同理： ∴， ∴，， 同理：， ∴是等边三角形， ∵， ∴ ∵，垂直平分，， ∴，，， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故选C． 11． 【分析】本题考查圆内接正多边形，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键． 将正六边形分成六个边长相等的正三角形，则正多边形的半径为正三角形的边长，据此计算正六边形的面积即可． 【详解】解：根据题意得，正六边形可以分成六个边长相等的正三角形， 则正多边形的半径为正三角形的边长， 即正三角形的边长为6，高为， 因此，正六边形的面积为， 故答案为：． 12．24 【分析】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，先求得，的度数，然后利用除以度数，根据所得的结果进行分析即可得． 【详解】解：∵是的内接正六边形的一边， ∴， ∵是的内接正八边形的一边， ∴， ∴， ∵， ∴以为边的内接正多边形的边数为24． 故答案为：24． 13．8 【分析】本题主要考查圆内接正多边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，掌握正六边形内接于圆时边长最大是解题的关键． 如图：先求得圆内接正六边形的中心角，进而证明为等边三角形，再根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图， 由题意：，， ∴为等边三角形， ∴，即这个正六边形纸片的边长是． 故答案为：8． 14．12 【分析】本题考查了正多边形与圆，根据已知条件推出是解题的关键．连接、、，根据题意可得，，利用角的和差得到，即可求出的值． 【详解】解：如图，连接、、， ∵为的内接正三角形的一边， ∴， ∵为的内接正四边形的一边， ∴， ∴， ∵是圆内接正边形的一边， ∴， 故答案为：12． 15． 【分析】本题考查圆与内切多边形，多边形的内角，等边三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，先推导出是等边三角形，得到，求出，得到，可推导出，，同理可得：，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵为正六边形的内切圆， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵M，N是与的切点， ∴，即 ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴五边形的周长为． 故答案为：． 16．(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查切线的判定，圆内接正六边形的性质，掌握切线的判定方法是正确解答的前提． （1）根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理计算出即可； （2）得出以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，再求出的长即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴以为边的圆内接正六边形的周长为． 故答案为：18． 17．(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查作图复杂作图正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在上任意取一点，以为圆心，为半径把六等分可得正六边形； （2）连接，，过点作于点证明是等边三角形，进而求出，根据勾股定理即可求出，问题得解． 【详解】（1）解：如图，六边形即为所求； 证明：由作图可得， ∴，， ∴， ∴六边形是圆内接正六边形； （2）解：连接，，过点作于点． ∵六边形是圆内接正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即正六边形的边心距为． 18．(1) (2) 【分析】本题侧重考查有关圆内接多边形的题目，需要掌握圆内接多边形的性质以及等腰三角形的性质． （1）在等腰中易得顶角的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出底角的度数； （2）根据正六边形中心角的度数及同圆半径相等得到为等边三角形，设正六边形的边长为，从而得到的长；利用面积公式求出正六边形的面积以及正方形的面积，进而得到正六边形与正方形的面积比． 【详解】（1）解：连接， ∵的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴． （2）解：过作于，设正六边形的边长为． ∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是边长为的等边三角形， ∴，， ∴正方形的面积为， ∴， 正六边形的面积为， ∴正六边形与正方形的面积比为． 19．(1) (2)的大小与无关，，是个定值 (3)或 【分析】（1）连接，取的中点T，连接，可证明点O为正方形对角线的交点，则，进而可得，由旋转的性质可得，可证明是等边三角形，得到，则可得到，即； （2）连接，可求出；由旋转的性质可得，则，，进而可求出，，证明，可得到；证明E、F、D、G四点共圆，可得，据此可得结论； （3）当和当两种情况，通过构造与的全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接，取的中点T，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴都是的直径， ∴点O为正方形对角线的交点， ∴， ∵，且，，共线， ∴，； 由旋转的性质可得， ∴； ∵T为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即； （2）解：的大小与无关，，是个定值，理由如下： 如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴； 由旋转的性质可得， ∴ ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴E、F、D、G四点共圆， ∴， ∴的大小与无关，，是个定值； （3）解：如图3-1所示，当时，过点A作交于M， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，； ∵四边形是正方形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当时， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了圆与正方形综合，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形和圆的关系是解题的关键． （1）由任意多边形的外角和为，可求正五边形每一个内角的度数. （2）为等边三角形，，得，故，即边心距为. 【详解】（1）解：∵任意多边形的外角和为， ∴五边形一个外角是， ∴五边形一个内角是. 故答案为：. （2）解：如图，为正六边形的一条边，点O为它的外接圆的圆心，连接，过点O作． ， 是等边三角形， ． ． 在中，由勾股定理，得， 故该正六边形的边心距为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $