微专题：数列求和 导学案-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了数列求和专题，将公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法等核心考点，结合中国古代数学史（刘徽、沈括等）分“站”构建知识链，通过情境导入和问题导学，引导学生自主探究方法原理，形成系统的求和方法体系。 亮点在于数学文化浸润与自主诊断设计，融入刘徽等差数列、沈括隙积术等案例，培养学生用数学眼光观察历史、用数学思维分析问题的素养。跟踪训练含单选多选（如《算法统宗》塔灯问题），分层作业（必做题与小组论文）帮助学生自主检测提升，教师可通过学情精准指导，促进因材施教。

学科 数学 年级 高二 时间 2025年5月18日 课题 微专题：数学求和 课型 复习课 课时 1课时 主备教师 密启芳 学习目标 1、掌握数列求和的一般方法，能够灵活应用这些方法解决问题. 2、了解数列求和问题的发展历程，体会“用数学的眼光观察世界”“用数学的思维分析世界”“用数学的语言描述世界”. 3、学习古代数学家求数列和的思想方法，体会这些数学思想方法诞生的曲折过程，感受数学家在进行数学研究时的探索精神和创新意识. 学习重点 掌握数列求和的公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法等. 学习难点 利用数列求和的方法解决数列求和问题. 【情境导入】 了解数列求和问题的发展历程—从古埃及的“加罕纸草书”到级数理论 【问题导学】中国古代数学家求数列和的历史之旅---感悟数学文化 第一站: 魏晋时期数学家刘徽发现等差数列求和公式 1.刘徽在为《九章算术》所做的注文中给出了等差数列的求和公式(2).其中，“盈不足”章的第19问是一个等差数列： “今有良马与驽马发长安至齐。齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马。问: 几何日相逢及各行几何?” 2.《九章算术》中的“两鼠穿墙”是我国数学的古典名题。 “今有城墙厚若干尺。两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半......”，则前6天两只老鼠一共穿城墙 尺. 【公式法】 （1）等差数列的通项公式: （2）等比数列的通项公式: （3）等差数列的前n项和公式: （4）等比数列的前n项和公式: 【分组求和法】 第二站: 北宋数学家沈括创造求垒起的酒坛数公式---隙积术 沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题.现有一物品堆，从上向下数，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推.记第n层货物的个数为，则数列的前2021项和为(    ) A. B. C. D. 改编题：现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为，则数列的通项公式__________，数列的前n项和__________. 【裂项相消法】：利用通项变形，将通项分裂成两项或 n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和。 第三站: 南宋数学家 ，丰富了沈括的数列求和方法，发展了菱草垛、方垛等 某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的若这堆货物总价是万元，则n的值为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【错位相减法】 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法． 步骤： ① ② ③ ④ 【小结回顾】 数列求和的方法： 、 、 、 、 还有，并项求和法、倒序相加法、分类讨论（奇偶项、绝对值）、插入新数列等等。 【跟踪训练】 1.（单选）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层灯的盏数是(    ) A. 12 B. 24 C. 48 D. 60 2.（多选）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则(    ) A. B. C. D. … 【拓展作业】 【必做题】1.课本28页习题5-2B的第6题--《算法统宗》 “八子分棉花”问题 2.课本58页习题复习题A组的第6题--《周髀算经》 “二十四节气日影长度”问题 【拓展题】 以小组为单位收集、阅读我国古代数列方面的研究成果，如“杨辉三角”、 《四元玉鉴》等，撰写小论文，论述数列发展的过程、重要结果、关键事件及其对 人类文明的贡献，感悟我国古代数学的辉煌成就。 我一直觉得，像音乐一样，数学也是一门语言，为了系统地学习它，有必要一小块一小块地慢慢吸收，最终达到浑然天成的效果，从某种意义上说，数学又像古代汉语，非常典雅而优美，听一个精彩的数学讲座就好比听一场精彩的歌剧。万事齐全，一切都趋向问题的中心，我享受数学! --张圣容 学科网（北京）股份有限公司 $