6.4.3 平面向量的应用——正弦定理 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案围绕“平面向量的应用——正弦定理”展开，通过知识回顾复习余弦定理及推论，搭建旧知基础。以缅甸地震救援中无人机勘测受灾点的实际情景导入，引导学生将现实问题抽象为解三角形问题，引发对余弦定理局限性的思考，自然过渡到正弦定理的探究，形成“回顾-情境-质疑-探究”的学习支架。 导学案突出新课标核心素养培养，情景导入体现“会用数学的眼光观察现实世界”，将实际问题转化为数学模型。新知探究通过直角、锐角、钝角三角形的猜想与向量法严谨证明，发展逻辑推理能力。练习巩固设置辨析题、引例解决及方法总结，结合数学运算培养模型意识，课后思考鼓励多种证明方法，激发创新意识。习题层次分明，从基础辨析到综合应用，助力学生逐步掌握正弦定理的应用。

6.4.3平面向量的应用——正弦定理 学习目标 1.掌握正弦定理的内容及证明方法.(数学抽象、逻辑推理) 2.能利用正弦定理解决三角形度量和边角转化问题.(数学运算) 一、知识回顾： 1、余弦定理 2、余弦定理推论 a2＝ ； cos A＝ ； b2＝ ； cos B＝ ； c2＝ ． cos C＝ ． 2.解决题型： ； ． 二、情景导入： 近日，缅甸发生7.9级特大地震，导致大量房屋倒塌、山体滑坡及通信中断，灾情严峻。中国国际救援队紧急驰援，派出无人机对交通阻断的重灾区进行勘测。无人机从临时基地A点起飞，向正东方向飞行100米抵达B点后，通过热成像技术探测到一处刚刚发现的受灾点C。控制系统显示，无人机在B点测得∠BAC为45°，且此时无人机与基地A的连线AB与受灾点C的连线BC形成的∠ABC为75°。请计算临时基地A到受灾点C的直线距离AC，以便规划最短救援路线。 思考： 问题1:如何将上述问题抽象为数学问题? 问题2:余弦定理是否能解决上述问题？ 3、 新知探究 问题1：通过对直角三角形的研究，观察它的角和三边之间的关系，猜想它们之间的联系. 问题2：在钝角三角形和锐角三角形中，上述等式是否仍成立？ 问题3：如何严谨地证明？ 分析：1.三角形与向量有什么关系呢？ 2. 哪种向量运算可以使向量等式数量化呢？ 3. 数量积中用的是角的余弦，如何能变名转化为角的正弦呢？ 4. 引入一个什么样的向量既能变名又方便运算？ 证明： 思考：钝角三角形的证明与锐角三角形的证明有什么联系与区别？ 四、新知生成： 正弦定理:在一个三角形中, 即 。 探究思考：前边的学习中，我们认识了正弦定理，并且知道当一个三角形确定时，等式的比值是一个定值，那这个比值的几何意义是什么呢？C D B A 课后思考:探索和证明这个定理的方法很多，有些方法甚至比向量法更加简洁.你还能想到其他方法证明正弦定理吗？ 五、练习巩固 辨析：判断正误. (1)正弦定理只适用于锐角三角形.（ ） (2)在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是定值.（ ） (3)（ ） 思考：引例中的问题如何解决？ 【方法总结】：正弦定理可以解决： 思考：在前面的题目中我们可以发现，有一些三角形有一个解，有一些有两个解，为什么会出现这一情况？ 6、 随堂检测 . 7、 课堂小结 8、 课后作业 1.整理巩固本节知识点及习题； 2.完成本节思考题； 3.完成课本48页练习1.2.3。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $