2.第4节 单摆-【正禾一本通】2025-2026学年高二物理选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教版）

第4节　单摆 [学习目标] 1.。 。 。 1．在什么条件下，细线悬挂小球的装置可以认为是单摆？为了更好地满足这个条件，在选材时有何要求？ 2．单摆在摆动时受几个力作用？回复力由哪个力提供？如何证明单摆在摆角很小时是简谐运动？ 3．通过实验探究可知，单摆振动的周期和哪些因素有关？它们之间的定量关系是什么？ 一、单摆及单摆的回复力 1．单摆模型 2．单摆的回复力 (1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即F＝mg_sin_θ，如图。 　　　 (2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x，由此可以判断单摆做简谐运动。 二、单摆的周期 1．影响单摆周期的因素 (1)单摆的周期与摆球质量和振幅无关。 (2)单摆的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大。 2．周期公式 (1)周期公式：T＝，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比。 (2)应用：利用简谐运动定量计时，如摆钟等。 1．判断下列说法是否正确 (1)制作单摆时要尽量选择质量大、体积小的 球和尽量细的线。(√) (2)在任何摆角下，单摆的振动都可视为简谐运动。(×) (3)单摆的回复力就是摆球所受重力和绳拉力的合力。(×) (4)单摆做简谐运动的振幅越大，振动周期越长。(×) (5)单摆做简谐运动的周期与摆球的质量无关。(√) 2．有一个理想的单摆，在地球表面振动的周期为T。设想将它搬运到某个星球上，该星球表面的重力加速度是地球的2倍，调整其振幅变为原来的3倍，摆长变为原来的8倍，则它的振动周期变为多少？ 提示：2T 单摆的回复力 如图为几种不同方式悬挂的球在竖直面内摆动的情景。 问题1：以上哪种装置能看作单摆？ 问题2：单摆的回复力就是摆球所受的合力吗？ 问题3：摆球经过平衡位置时所受的合力为零吗？ 提示：1.图5。 2．单摆的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，不一定是摆球受到的合力。 3．摆球经过平衡位置时，回复力(即沿圆弧切线方向的合力)为零，沿半径方向的合力(向心力)不为零。 1．单摆做简谐运动的推证 如图所示，在偏角很小的条件下，有sin θ≈，其中x为摆球离开平衡位置O点的位移。单摆的回复力F＝－mg sin θ＝－x，令k＝，则F＝－kx。 由此可见，单摆在摆角很小情况下的振动为简谐运动。 2．单摆两个特殊位置的特点 (1)单摆振动的平衡位置：回复力为零，而合力不为零，此时合力提供摆球做圆周运动所需的向心力。 (2)单摆振动的最大位移处：向心力为零，而合力不为零，此时合力提供摆球振动的回复力。 【典例1】 (2025·上海奉贤检测)如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将可视为质点的摆球拉至A点，此时细线处于张紧状态，静止释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置。整个过程忽略空气阻力，则在摆动稳定后的一个周期内(　　 ) A．摆球受到重力、拉力、回复力、向心力四个力的作用 B．摆球在经过A点和C点处时，速度为零，向心力不为零 C．摆球在经过B点处时，速度最大，回复力为零 D．摆球相邻两次经过B点时，细线拉力大小不相等 解析：选C。摆球受到重力、拉力两个力的作用，A错误；摆球在经过A点和C点处时，速度为零，向心力等于沿着半径方向的合力，向心力也为零，B错误；摆球在经过B点处时，速度最大，回复力等于沿着切线方向的合力，回复力为零，C正确；摆球相邻两次经过B点时，速度大小相等，根据牛顿第二定律得F－mg＝m，解得F＝mg＋细线拉力大小相等，D错误。 ►误区警示：单摆模型中的平衡位置 单摆的平衡位置是摆球静止不动时受力平衡的位置，而摆球运动至平衡位置时受力并不平衡。 单摆的周期公式及应用 惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟的结构如图所示。 问题1：将一个走时准确的摆钟从福建移到北京，摆钟的周期是否变化？ 问题2：问题1中，若摆钟的周期发生变化，为了校准，应怎样调节螺母？ 提示：1.变化。 2．调节螺母使圆盘沿摆杆下移。 对单摆周期公式的理解 单摆的周期公式T＝2π中共涉及三个物理量：周期T、摆长l和当地的重力加速度g，只要已知两个量，就可以求出第三个量。 (1)在摆角很小的情况下，单摆的周期公式才适用。 (2)单摆的摆长应是从悬点到摆球球心(均质球)的长度，即l＝l′＋，l′为摆线长，d为摆球直径。 (3)单摆的周期与摆长l有关，在g不变的情况下，仅改变摆长，即可改变周期。 (4)单摆的周期与重力加速度g有关，不同纬度，不同海拔高度处，同一单摆的周期不同。 角度1　单摆的周期公式 【典例2】 (2025·山东日照期中)周期是2 s的单摆叫秒摆。地面上某秒摆的摆长为l，振幅为A，被火星探测器携带至火星表面，已知火星表面的重力加速度为0.4g(g为地球表面的重力加速度)。如果在火星表面，仍然保持该秒摆的周期是2 s，则可以(　　 ) A．仅将摆长调整为2.5l B．仅将摆长调整为0.4l C．仅将振幅调整为2.5A D．仅将振幅调整为0.4A 解析：选B。根据单摆的周期T＝2π可知，单摆的周期与摆长及重力加速度有关，在地球表面上T地＝在火星表面T火＝2π，根据题意可知，单摆的周期不变，故有2π＝2π，解得l′＝0.4l，A错误，B正确；根据上述分析可知，单摆的周期与振幅无关，只与摆长及重力加速度有关，C、D错误。 【思维进阶】 “典例2”中在地球表面秒摆的摆长是多少？(π2取9.8，g取9.8 m/s2)。 解析：根据单摆周期公式T＝2π可得l＝，代入数据解得l＝ m＝1 m。 答案：1 m 角度2　单摆的振动图像 【典例3】 (2025·江苏宿迁期中)如图是两个单摆的振动图像，可知(　　 ) A．甲、乙两个摆的摆长之比为1∶2 B．t＝4 s时，两单摆的回复力最大 C．甲、乙两个单摆的摆球质量之比为1∶2 D．甲摆球位移随时间变化的关系式为x＝2sin cm 解析：选D。由单摆的周期公式T＝2π可得甲、乙两个摆的摆长之比为，故A错误；t＝4 s时，两单摆处于平衡位置，该位置的回复力为零，故B错误；单摆的周期与摆球的质量无关，所以由题意无法得到两摆球的质量关系，故C错误；由图可知，甲摆的振幅为2 cm，周期为4 s，所以ω＝ rad/s，且零时刻位于平衡位置并开始向上运动，故甲摆球位移随时间变化的关系式为x＝A sin (ωt＋φ)＝2sin cm，故D正确。 单摆的等效模型 1．等效摆长 (1)图(a)中，甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l sin α，这就是等效摆长，其周期T＝2π。 (2)图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙摆等效。 (3)如图(c)所示，小球在光滑且半径较大的圆周上做小幅度(θ很小)的圆周运动时，可等效为单摆，小球在A、B间做简谐运动，周期T＝2π。 2．等效重力加速度 当单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)时，等效重力加速度g等效的值等于摆球静止于平衡位置时摆线所受的张力与摆球质量的比值。 等效摆及条件 等效重力加速度 确定方法 g等效＝g－a 当单摆在平衡位置“停摆”时，摆线的拉力与质量之比 g等效＝g＋a g等效＝g sin θ g等效＝ 当摆球受到除重力、拉力以外的其他力，且其他力为恒力时，采用等效法，将重力和恒力的合力等效为“重力” g等效＝ 【典例4】 (2025·浙江杭州期末)“双线摆”如图甲所示，双线长均为L，两线夹角为θ，摆球质量为m，给摆球一个垂直于两线平面方向的较小速度，使得摆球以较小摆角(小于5°)摆动。“杆线摆”结构如图乙所示，长为L的轻杆一端通过活动绞链与立柱OO′垂直连接，另一端安装质量为m的摆球，细线一端拉住摆球，另一端系在立柱上的A点，给摆球一垂直于纸面的较小速度，使轻杆垂直于立柱来回摆动，摆动角度小于5°，摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内。已知θ＝30°，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　 ) A．图甲中摆球的周期为T＝2π B．图乙中摆球的摆动周期为T＝2π C．图乙中摆球在摆动过程中细线上的拉力大小为mg D．若增大细线长度使A点上移，则乙中摆球运动周期增大 解析：选C。题图甲中摆球的摆线长度为L×结合单摆的周期公式有T＝2π，代入角度可得T＝2π，故A错误；题图乙中摆球在平衡位置静止时，垂直于斜面方向上的合力为零， 由图可知FA sin θ＝mg cos θ，即可得细线的拉力为FA＝故C正确；结合等效单摆的摆长和加速度关系，可知题图乙的摆球的周期为T＝解得T＝2π，故B错误；由上述分析可知，细线长度对摆球的运动周期无影响，故D错误。 (2024·甘肃高考)如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　 ) A．摆长为1.6 m，起始时刻速度最大 B．摆长为2.5 m，起始时刻速度为零 C．摆长为1.6 m，A、C点的速度相同 D．摆长为2.5 m，A、B点的速度相同 审题关键 所给图像为单摆的振动图像，涉及相关振动信息。 教材溯源 与教材本节课后“练习与应用”T4图像类似，根据振动图像的信息，计算单摆的摆长和最大偏角。 突破关键 图像的振动信息与单摆的运动相结合，单摆周期公式的应用。 解析：选C。由单摆的振动图像可知振动周期为T＝0.8π s，由单摆的周期公式T＝2π，得摆长为l＝＝1.6 m，x ­t图像的斜率代表速度，故起始时刻速度为零，且A、C点的速度相同，A、B点的速度大小相同，方向不同。综上所述，可知C正确。 1．(多选)滑板运动非常有趣。如图所示，某同学踩着滑板在弧形轨道的内壁来回滑行，若人和滑板的运动可视为简谐运动，设该同学站在滑板上与蹲在滑板上滑行时，滑板到达了相同的最高点，则(　　 ) A．站在滑板上运动时周期比较大 B．站在滑板上运动时周期比较小 C．站着运动到最低点时的速度比较小 D．站着运动到最低点时的速度比较大 解析：选BD。根据题意，人和滑板的运动可视为简谐运动，该同学站在滑板上与蹲在滑板上滑行时，滑板到达了相同的最高点，由T＝2π，可知当人站起来，重心向上移，相当于摆长L变短，则周期T变小，故A错误，B正确；因为站在滑板上与蹲在滑板上滑行时，滑板到达了相同的最高点，而当人站起来时周期变小，通过相等的弧长时，周期越小，速度越大，故C错误，D正确。 2．(多选)(2025·山东威海期末)一条细线下面挂着一个小球，让它自由摆动，它的振动图像如图所示，若重力加速度g＝π2，下列说法正确的是(　　 ) A．t＝1 s时，小球的速度为0 B．t＝1 s时，细线上的拉力最大 C．摆长为1 m D．小球摆动的最大偏角约为0.05弧度 解析：选BCD。从振动图像可知，t＝1 s时，小球位于平衡位置，速度最大，A错误；t＝1 s时，小球位于最低点，速度最大，根据T－mg＝m可得T＝mg＋m，此时绳上拉力最大，B正确；从振动图像可知，该单摆的周期为2 s，根据单摆的周期公式T＝2π，可求得l＝1 m，C正确；从图像可知，摆球的振幅为A＝5 cm，最大偏角为θ≈sin θ＝＝0.05 rad，D正确。 3．(多选)(2025·河南开封检测)将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行(图甲)，让秋千以小摆角(小于5°)自由摆动，此时秋千可看作一个理想的单摆，摆长为L。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方向的a ­t关系图，如图乙所示。则以下说法不正确的是(　　 ) A. 忽略空气阻力，秋千的回复力由重力和拉力的合力提供 B．当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力大于手机所受的重力 C．秋千摆动的周期为t2－t1 D．该地的重力加速度g＝ 解析：选AC。忽略空气阻力，秋千的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，故A错误；当秋千摆至最低点时，有N－mg＝，可知秋千对手机的支持力大于手机所受的重力，故B正确；秋千摆动到最高点时，垂直手机平面方向的加速度(向心加速度)为0，根据题图乙可得秋千摆动的周期为T＝t3－t1，根据单摆的周期公式有T＝2π，可得g＝，故C错误，D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $