18.5 分式方程 同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学上册

18.5 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 重难点一 分式方程的概念 【典型例题1】下列关于x 的式子： 其中是分式方程的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】①分母中不含未知数，是整式方程；②是分式方程；③不是方程，是一个代数式；④分母中不含未知数，是整式方程；⑤是分式方程. 【答案】B 【即学即练】 1.下列关于x 的方程： 其中是分式方程的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 重难点二 分式方程的解法 【典型例题2】解分式方程： 思路导引 将分式方程转化为整式方程，通过求整式方程的解并检验，从而得到分式方程的解. 【解】(1)方程两边乘(x+2)(x-1),得x(x-1)=2(x+2)+(x+2)(x-1), 解得 检验：当 时,(x+2)(x-1)≠0，所以，原分式方程的解为 (2)方程两边乘(x-4),得 3-x=-1-2(x-4),解得x=4. 检验:当x=4时,x-4=0, 因此x=4不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 规律方法 1.解分式方程 (1)基本思路：将分式方程化为整式方程. (2)具体做法：去分母，即将方程两边乘最简公分母. 2.检验分式方程的解 (1)代入：将整式方程的解代入最简公分母； (2)判断：若最简公分母不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【即学即练】 2.解下列方程： 课后作业·测评 夯基达标 1.下列式子是分式方程的是（ ） 2.解分式方程 时，去分母变形正确的是（ ） A.2-6x+2=-5 B.6x-2-2=-5 C.2-6x-1=5 D.6x-2+1=5 3.分式方程 的解为（ ） A. x=1 B. x=3 D.无解 4.若分式 的值为0，则实数x的值为 . 5.分式方程 的解是 . 6.解方程： 能力提升 7.若关于x 的方程 无解，则k 的值为 8.若关于x 的分式方程 的解为正整数，则整数m的值为 . 拓展创新 9.阅读材料：关于x 的分式方程 的解是 即 的解 是 的解是 的解是 …… (1)请观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程 的解是什么?并利用“方程的解”的概念进行验证. (2)根据以上的规律方法解关于x 的方程： 第2课时 分式方程的应用 学科网（北京）股份有限公司 重难点一 列分式方程解工程问题 【典型例题1】某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两个工程队投标，经测算，若由两个工程队共同工作，则恰好12天能够完成；若两队共同工作9 天后，剩下的由甲队单独完成，则还需5 天.现要从这两个工程队中选出一队单独完成，从尽快完工的角度考虑，你认为应该选择哪个队?为什么? 思路导引 根据一项工程分几部分完成，各部分工作量之和等于总工作量，列出方程解决问题. 【解】设甲队单独完成工程需x 天，根据题意，得 方程两边乘x，得 解得x=20. 检验:x=20≠0. 所以x=20是原分式方程的解，且符合题意. 因为 所以乙队单独完成工程需30天. 因为20<30，所以选择甲队. 答：从尽快完工的角度考虑，应该选择甲队. 规律方法 工程问题所涉及的数量关系为：工作总量=工作效率×工作时间.当工作总量给出时，按照公式列方程求解；当工作总量没有给出时，一般将工作总量记为1，再根据题目中的等量关系列出方程求解. 【即学即练】 1.某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3 000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15 天完成铺设任务. (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米? (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为 300元，所有工人的工资总金额不超过18万元.该公司原计划最多应安排多少名工人施工? 重难点二 列分式方程解行程问题 【典型例题2】某旅行社组织游客从 A地到B 地的航天科技馆参观，已知A 地到B 地的路程为300 km，乘坐C 型车比乘坐D型车少用2h，C型车的平均速度是D 型车平均速度的3倍，求D 型车的平均速度. 【解】设D 型车的平均速度是x km/h,则C型车的平均速度是 3x km/h, 根据题意，得 解得x=100. 经检验，x=100是所列分式方程的解，且符合题意. 答:D 型车的平均速度是 100 km/h. 规律方法 在行程问题中，路程、时间和速度之间的关系是路程=速度×时间.解这类应用题，先分析出问题中的已知量，确定待求量，再根据题意找出等量关系，从而列出方程. 【即学即练】 2.一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的流速为（ ） A.5km/h B.6 km/h C.7km/h D.8km/h 课后作业·测评 夯基达标 1.数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍.设乙每小时做x个盒子，根据题意可列方程（ ） 2.甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工，甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成.求乙每小时加工零件多少个?设乙每小时加工x个零件，可列方程为( ) 3.为节约用水，创建文明城市，某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的 ，小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元.已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3 m³.设该市去年居民用水价格为x元/m³，则可列分式方程为 . 4.随着物流服务业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间.某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人.甲组每天加工3 000件农产品，乙组每天加工2 700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人? 5.小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时.某天，他们以平常的速度行驶了 的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/时，到达奶奶家时共用了5 小时，问小强家到小强奶奶家的距离是多少千米? 学科网（北京）股份有限公司 能力提升 6.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30 天完成了这一任务.设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） 7.某化工厂为了给员工创建安全的工作环境，采用A，B两种机器人来搬运化工原料.其中A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运30千克，A 型机器人搬运1500千克所用时间与 B 型机器人搬运1 000千克所用时间相等. (1)求A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料； (2)若每台A 型、B型机器人的价格分别为5万元和3万元，该化工厂需要购进A，B两种机器人共12 台，工厂现有资金45万元，则最多可购进 A 型机器人多少台? 拓展创新 8.某工厂计划在规定时间内生产24 000个零件.若实际每天比原计划多生产 30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件. (1)求原计划每天生产的零件个数和规定时间的天数； (2)为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划生产的同时，引进5 组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%.按此测算，恰好提前两天完成24 000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数. 学科网（北京）股份有限公司 18.5 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 【课堂探究·解析】 即学即练 1. C 【解析】①与④是整式方程;②③⑤是分式方程. 2.【解】(1)方程两边乘(x+3)(x-3),得(x-2)(x-3)-3(x+3)=(x+3)(x-3).解得 检验：当 时,(x+3)(x-3)≠0,所以,原分式方程的解为 (2)方程两边乘(x-2),得1=-(1-x)-3(x-2).解得x=2. 检验:当x=2时,x-2=0,因此x=2不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解. 【课后作业·测评】 1. D 2. A 【解析】原分式方程两边同乘2(3x-1),得2(3x-1)-2=5,即6x-2-2=5. 3. C 【解析】方程两边乘(x-1),得x-2x=x-1. 解得 检验：当 时,x-1≠0. 所以，原分式方程的解为 4.1 【解析】∵分式 的值为0， ∴x-1=0,且2x≠0,解得x=1. 5. x=-3 【解析】去分母,得 解得x=-3. 检验:当x=-3时,(x-1)(x-3)≠0,所以，原分式方程的解为x=-3. 6.【解】(1)方程两边乘(x+1)(x-1),得2+x(x+ 解得x=-3. 检验:当x=-3时,(x+1)(x-1)≠0,所以，原分式方程的解为x=-3. (2)方程两边乘(3x-1),得x=2(3x-1)+1.解得 检验：当 时,33x-1≠0,所以，原分式方程的解为 (3)方程两边乘(x-4),得-3+2(x-4)=1-x.解得x=4. 检验:当x=4时,x-4=0, 因此x=4不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 7.2或-1 【解析】去分母,得3-(kx-1)=x-2, 整理,得(k+1)x=6. ①当x-2=0，即x=2时，原分式方程的分母为0,方程无解,则(k+1)x=6=2(k+1)=6,所以k=2时方程无解； ②当k+1=0,即k=-1时,方程(k+1)x=6无解. 综上可知，k的值为2或-1. 8.-1【解析】 即 去分母,得x=3(x-1)+ mx, 移项、合并同类项，得((2+m)x=3, 解得 因为方程的解是正整数，所以2+m=1或2+m=3,解得m=-1或m=1.又因为x-1≠0,所以x≠1,所以 所以m≠1,所以m=-1. 9.【解】(1)关于x的方程 的解为 验证：把x=c代入方程，得左边 右边 即左边=右边，符合题意； 把 代入方程，得左边 右边，即左边=右边，符合题意. 的解为 (或 第2课时 分式方程的应用 【课堂探究·解析】 即学即练 1.【解】(1)设原计划每天铺设管道x 米，则实际每天铺设管道(1+25%)x=1.25x米, 根据题意，得 解得x=40. 经检验，x=40是分式方程的解，且符合题意. 所以1.25x=50. 答：原计划每天铺设管道40米，实际每天铺设管道50米. (2)设该公司原计划应安排y 名工人施工，3000÷40=75(天),根据题意,得300×75y≤180 000,解得y≤8. 答：该公司原计划最多应安排8名工人施工. 2. D【解析】设江水的流速为x km/h，则沿江顺流航行的速度为(40+x)km/h，沿江逆流航行的速度为(40-x) km/h, 根据题意，得 解得x=8. 经检验，x=8是所列方程的解，且符合题意. 所以江水的流速为8km/h.故选 D. 【课后作业·测评】 1. C 2. D 【解析】∵该市经论证从今年 1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的 ，且该市去年居民用水价格为x元/m³，∴该市今年居民用水价格为 元/m³.根据题意，得 4.【解】设甲组有x名工人，则乙组有(35-x)名工人.根据题意，得 解得x=20.经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意.∴35-x=35-20=15. 答：甲组有20名工人，乙组有15名工人. 5.【解】设平常的速度是x千米/时，根据题意，得 解得x=60. 经检验，x=60是原方程的解. 4×60=240(千米). 答：小强家到小强奶奶家的距离是240千米. 6. A【解析】据“原计划时间—实际的时间=30天”可列A 选项中的方程. 7.【解】(1)设B 型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A 型机器人每小时搬运(x+30)千克化工原料，根据题意，得 解得x=60. 经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意， 所以x+30=60+30=90. 答：A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B 型机器人每小时搬运60千克化工原料. (2)设购进m台A 型机器人,则购进(12-m)台B 型机器人,根据题意,得5m+3(12-m)≤45,解得 又因为m为正整数，所以m的最大值为4. 答：最多可购进A 型机器人4 台. 8.【解】(1)设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产(x+30)个零件.由题意，得 解得x=2400. 经检验，x=2400是原方程的解，且符合题意. 所以规定的天数为24000÷2400=10. 答：原计划每天生产零件2 400个，规定时间的天数是10. (2)设原计划安排的工人人数为y，由题意，得 24000.解得y=480. 经检验，y=480是所列方程的解，且符合题意. 答：原计划安排的工人人数为480. 学科网（北京）股份有限公司 $