18.3分式的加法与减法 学案 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案围绕分式的加法与减法展开，第1课时聚焦同分母、异分母分式加减运算，第2课时深化至分式混合运算，通过“重难点解析—典型例题—规律方法—即学即练”的脉络搭建学习支架，引导学生从基础运算逐步过渡到综合应用。 资料突出运算能力与推理意识培养，典型例题配套规律方法总结（如同分母分式加减带括号运算、异分母通分四步法），即学即练即时巩固。课后作业分层设计（夯基达标、能力提升、拓展创新），融入实际应用案例（购物平均单价比较、行程时间计算），助力学生理解数学与现实联系，发展应用意识，适合分层教学与自主探究。

18.3分式的加法与减法 第1课时 分式的加法与减法 重难点一 同分母分式的加减运算 【典型例题1】计算： 【解】(1)原式 (2) 原 式 规律方法 1.当两个分式的分母互为相反数时，可通过提取负号将它们变成同分母的分式. 2.当分子是多项式，对分子进行加减时，要先带括号，后去括号进行运算. 3.加减运算后，对运算的结果要化简，最后的结果应是最简分式或整式. 【即学即练】 1.计算: 重难点二 异分母分式的加减运算 【典型例题2】计算： 思路导引 异分母的分式相加减，先找出最简公分母进行通分，变为同分母的分式相加减，最后结果一定要化成最简分式或整式. 【解】(1)原式 (2)原式 规律方法 异分母分式加减运算的一般步骤 (1)通分：将异分母分式转化为同分母分式. (2)加减：运用同分母分式加减运算的法则计算. (3)合并：分子去括号，合并同类项. (4)约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式. 【即学即练】 2.计算: 学科网（北京）股份有限公司 课后作业·测评 学科网（北京）股份有限公司 夯基达标 1.计算: A.2 B.2a-b 2.化简 的结果是（ ） A. a+b B. a-b D.1 3.化简: 4.已知实数a,b 满足 ab=1的两根,则 5.计算: 能力提升 6.已知 (a+b≠0),则 A. B.1 C.2 D.3 7.已知A 为整式,若计算 的结果为 则A=（ ） A. x B. y C. x+y D. x-y 8.一组学生春游，预计共需总车费120元，后来人数增加了 ，但总车费不变.如果这组学生原有 a 人，那么增加人数后每人少花 元. 9.计算: 10.化简 并求值，其中a，2，3分别为一个三角形的三边长，且a为整数. 拓展创新 11.欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹.设a，b，c为 两 两不同的数，称 为欧拉分式. (1)写出P₀对应的表达式； (2)化简 P₁对应的表达式. 学科网（北京）股份有限公司 第 2 课时 分式的混合运算 重难点一 分式的混合运算 【典型例题1】计算： 【解】(1)原式 (2)原式 (3)原式 规律方法 1.进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算. 2.运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程变简单. 3.运算结果应是最简分式或整式. 学科网（北京）股份有限公司 【即学即练】 1.先化简，再求值： 其中x=2-y. 重难点二 分式的混合运算的应用 【典型例题2】甲、乙两位采购员去同一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料，两次购买的饲料单价分别为 m元/千克和n元/千克(m，n均为正数,且m≠n). (1)甲、乙两次购买饲料的平均单价各是多少? (2)谁的购货方式更合算? 【解】(1)甲每次购买1 000 千克,两次购买的饲料单价分别为 m 元/千克和n元/千克，由此可得甲两次购买饲料的平均单价为 (元/千克). 而乙每次用去800元，可得乙两次购买饲料的平均单价为(元/千克). (2)甲、乙两次购买饲料的平均单价的差 为 因为 m，n均为正数，且m≠n，所以 即 因此，乙的购货方式更合算. 规律方法 作差法是比较两个代数式大小的基本方法，一般步骤是：(1)作差；(2)变形，变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等；(3)定号，即确定差的符号；(4)下结论，写出两个代数式的大小关系. 【即学即练】 2.小明从甲地到乙地的速度是a，从乙地返回甲地的速度是b(a≠b)，小彬从甲地到乙地，又从乙地返回甲地的速度一直是 小明和小彬在甲、乙两地往返一次，谁用的时间短? 课后作业·测评 学科网（北京）股份有限公司 夯基达标 1.化简 的结果是（ ） B.1 2.化简: 3.计算: 4.先化简: 再从-2,-1,0，1，2之中选择一个合适的数作为x的值代入求值. 5.先化简，再求值： 其中a，b满足b-2a=0. 6.一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距 f 满足关系式： (1)试用含有 u，v的式子表示焦距f； (2)若像距v=8厘米,物距u=24厘米,则焦距f= 厘米. 学科网（北京）股份有限公司 能力提升 7.先化 简，再求 值： 其 中 a 满 足 8.小丽和小刚从家到学校的路程都是3km，小丽走的是平路，骑车速度为2v km/h,小刚需要走 1 km的上坡路、2k m的下坡路，在上坡路上的骑车速度为 v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h.那么: (1)从家到学校小丽和小刚分别需要多长时间? (2)小刚和小丽谁在路上花费的时间少?少用多长时间? 拓展创新 9.某服装店有两种上衣售价均为a(a>0)元，其中甲上衣盈利b%(b>0)，乙上衣亏本b%.服装店老板说，他不赔也不赚，你认为这种说法正确吗?请说明理由. 18.3分式的加法与减法 第1课时 分式的加法与减法 【课堂探究·解析】 即学即练 1.【解】(1)原式 (2)原式 2.【解】(1)原式 (2)原式 【课后作业·测评】 1. A 【解析】原式 2. A 【解析】原式 【解析】 4.1 【解析】∵ab=1, ∴原式 5.【解】(1)原式 (2)原式 (3)原式 (4)原式 6. C【解析】 7. A 【解析】. 由题意知x≠0， ∴A=x.故选A. 【解析】 (元). 9.【解】 10.【解】原式 因为a，2，3分别为一个三角形的三边长，所以3-2<a<3+2,即1<a<5.因为a为整数，所以a=2或3或4.当a=2或3时，分式的分母为0，舍去，故a=4,当a=4时，原式 11.【解】(1)由题意,得 : (2)由题意，得 第2课时 分式的混合运算 【课堂探究·解析】 即学即练 1.【解】原式 因为x=2-y,所以x+y=2,所以原式= 2.【解】设甲、乙两地之间的路程为s，由题意知，小明、小彬在甲、乙两地往返一次的时间差为 ∵a>0,b>0,s>0,a≠b, 由此可知，小彬用的时间短. 【课后作业·测评】 1. B 【解析】原式 【解析】原式 3.【解】(1)原式 (2)原式 4.【解】 ∵x-2≠0,且x+2≠0且x≠0且x+1≠0, ∴x的值可以为1.当x=1时，原式 5.【解】 因为b-2a=0,所以b=2a,所以原式 6.【解】(1)因为 所以 (2)6 7.【解】原式 由 得 所以 8.【解】(1)小丽花费的时间为 小刚走上坡路花费的时间为 走下坡路花费的时间为 h，小刚花费的总时间为 所以小丽花费的时间少，少用了 9.【解】这种说法不正确.理由如下： 设甲上衣的成本价为x元，乙上衣的成本价为y元,由(1+b%)x=a,得 由(1-b%)y=a,得 两种上衣的总成本价为 由题意，得 故 2a.由于两种上衣的总成本价大于总售价，所以这样销售赔了，所以老板的说法不正确. 学科网（北京）股份有限公司 $