解三角形专项突破课件-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“解三角形”专项，覆盖正余弦定理、面积公式、边角互化等高考核心考点，对接高考评价体系，分析高频考点权重，归纳面积最值、角分线问题等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于高考真题训练与素养导向，如2020年甲卷理7用余弦定理求cosB，培养数学思维，通过齐次式边角互化、不等式求最值等方法突破考点，帮助学生掌握答题技巧，为教师提供系统复习指导，助力高考冲刺。

突 破 解 三 角 形 专 项 复习课 1 两把刷子 解三角形的 正弦定理 余弦定理 解三角形教学法指导 Ⅰ 3 两个定理 01 PART 正弦定理 余弦定理 其中：R为三角形外接圆半径. 边角对应得比值 连等式⩥囊括三角形的6个量 前提：在三角形中 价值之处：左变量为角、右变量为边 [2020年甲文11.]在△ABC 中， ， ， ，则 A. B. C. D. 典例1 [2020年甲理7.] 在△ABC中， ， ， ，则 A. B. C. D. [2018年卷Ⅱ理科6.] 在△ABC中， , , ,则 A． B． C． D． [2025年Ⅱ卷5.] [2024年甲卷11.改编] △ABC中，若 ， ,则 （    ） A． B． C． D． 法1 由边向角的转化 又 代入上式 法2 函数消元思想 排除ABD 思考：已知三边,怎样求三个角的余弦值呢？ 变形： C B A b a c 边角互化的思想 已知两边及夹角求 第三边 (SAS) 已知三边 求三角（SSS) 余弦定理的选择： 由角决定 用“脚”决定的事儿 余弦定理 面积公式 向量内积 正余弦定理优先规则 1.已知一边及对应角 2.已知两个角 1.已知两边及一角 2.已知三边 观察永不过时 公式结构特点 两个定理拓展技能 03 PART 边角互化 将边和角进行有机统一起来是正余弦定理的价值体现. “角”的核心就是“边与边的位置关系” 前提：齐次式 类型1 边化角 角化边 类型2 思考：为什么必须要是齐次式？ [2019年卷Ⅰ理17.] 已知在△ABC中，设 . (1)求A; (2)若 , 求 . [2018年Ⅰ卷理17.]在平行四边形ABCD中， (1)求 ; (2)若 ，求BC. 04 PART 由角决定 三角形的面积公式 类型1 类型2 其中： 为周长， 为内切圆半径. 等面积法 内切圆问题 类型3 其中： 为半周长. 无需角度 三边关系 联想：扇形面积一致性？ 体会数学的自洽美. 类型4 其中： 为外接圆半径. 类型5 其中： 无边 坐标 类型6 向量 无角 05 PART 判断三角形的形状 能力提升 在△ABC中，“sinA<cosB”是“△ABC为钝角三角形”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 典例1 在△ABC中，若 ， ,则△ABC的形状（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 解三角形 Ⅱ 函数与导数分点突破 16 审题 有什么 求什么 是什么 要什么 化简 转换 怎么用数学语言进行表达 怎么做？ 数学意义 数学性质 数字特征 使之成立的条件 思维与方法论 00 PART 化简 举例 法1 数学敏感 数值0的特殊性⩥移项 得 法2 眼光独到 系数1， 的特殊性⩥辅助角公式 得 变1 变2 在三角形ABC中 法3 ⩥解方程组 双基应用 反解 代入 或 因为 解得 所以 变3 法4 ⩥平方关系 主动改造 ⩥弦化切 所以 变4 (1) (2) 求 求 法5 ⩥万能公式 所以 或 或 舍 所以 变5 万能公式揭示sin,cos,tan的内在本质. 法6 根与系数的关系⩥方程思想 所以 将 看作方程 解得： 所以 或者 若 所以 改 变6 法7 构造共轭型⩥解方程组 改 所以 在三角形中 所以 联立 得 改7 审题 有什么 求什么 是什么 要什么 解方程 正(余)弦定理+面积公式 怎么用数学语言进行表达 怎么做？ 数学意义 数学性质 数字特征 使之成立的条件 两边+恒等式 两边及对角 的三个元素 等式右边为0 边+面积 两邻边及夹角 敏感数字 [2017年卷Ⅲ]在△ABC中,已知 , , b=2. (1)求c. (2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC,求△ABD的面积. 数形结合 面积问题 01 PART 典例1 [2017年卷Ⅲ]在△ABC中,已知 , , b=2. (1)求c. (2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC,求△ABD的面积. 4 所求对象 (i)求角B. →正弦定理 (ii)求面积. →面积公式 法一： 建方程￭算两次 4 在△ABD中 在Rt△ACD中 m x 得 重新代入，得 法二： 角分线定理 A C B D m n 得 又 得 在Rt△ACD中 2 4 法三： 数学敏感 A C B D m n 2 4 所以 角分线定理的本质：等面积法 法四： 借助辅助线 A C B D m n 2 4 E 2 在Rt△AEB中 [2023年乙卷理18.] 真题演练 [2017年全国卷Ⅱ]在△ABC中,已知 . ①求cosB; ②若a+c=6，△ABC的面积为2，求b. 真题演练 逆向求解 [2018年卷Ⅲ理科9.] 若△ABC的面积为 ，则 A． B． C． D． [2024年Ⅰ卷15.] [2025年Ⅰ卷11.]（多选） 面积最值问题 02 PART 在△ABC中，已知 , . (1)求B. (2)求△ABC面积的最大值. 典例2 任务1：化简 理论上边化角or角化边都行， 但是具体的选择运算量不同。 为什么要齐次式？ 为什么选择角化边？ 对比： 可约! 哪里有这个式子特征？决定接下来的选择！ 可约! 不能分割的整体 在 上单调递减 所以 唯一值 第2问，我们不妨先来猜测一下！ 固定 角B固定，边AC固定. 猜一下：什么情况下取最值？ 最值是什么样的情况？ 特殊（极端）情况！ 等腰三角形是特殊情况！ 选择面积公式 下求：ac的最小值 路径1 正弦定理+三角函数 由正弦定理有 所以 将a,c分别表达出来，可以利用函数思想研究其任何形式的组合 所以这种方法是优先掌握，且适用性更广. 则 因为 化简，整理得 （涉及：恒等变换，辅助角公式，降次公式） 所以 （涉及：三角函数的值域问题） 适应性广 ，涉及的知识面也广，但都是同一板块. 进一步地：当且仅当 时，面积最大.符合预期！ 路径2 余弦定理+不等式 由余弦定理 化简得 想要的保留 不要的转化 由重要不等式 有 解得 所以 与基本不等式知识的融合 更简洁和高效 但适用性没有法一广泛 思维训练⦁策略应用 在△ABC中， . (1)求 的值; (2)若b=2，求△ABC面积的最大值. 题目 3.需不需要边角互化？为什么？ 问题：1.恒等式的形式让你想到了什么？ 余弦定理 2.哪个余弦定理？ 边角互化的特征不满足. (1) 观察：1.式子有哪些特征？ 平方+2倍+A,B,C同时出现 2.先做什么？ 题目只知道B，先将换掉（消角元） 3.又出现什么新情况，怎么办？ 出现，利用诱导公式消去 4.接下来？ 降次+倍角 1 = = = = 5.条件有什么，缺什么，怎么办？ 有 缺 因为，所以， 即 上式=1++2= 6.知一得二：角度的范围⩥决定正负 (2) 策略：1.面积公式的选择由什么决定？ 角 2.求最大值，你想到了什么？ 的最大值，转化为求的最大值 一方面，由余弦定理： 另一方面，由重要不等式： 则 得 所以 即的最大值为2. 在△ABC中，已知 . [2019年卷Ⅲ理科18.] (1)求B; (2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围. 真题演练 周长问题 03 PART 典例3 [2024年Ⅱ卷15.] 角分线问题专项突破 03 PART [23届市一模20.]已知∆ABC中， . (1)求B； (2)若b=3，BD为∠ABC的角平分线，D在AC上，且BD=2，求∆ABC的面积. 典例3 角分线问题 ⩥等面积法 A B C D 解：(1) ② ① (2)由BD为角分线得：∠ABD=∠CBD=. 思考2：使用等面积法的前提条件是什么？ 面积可表达是使用等面积法的关键. 3 2 c a 化简得： 思考1：欲求面积，已知什么？使用哪个公式？需要什么？怎么产生？ 已知，使用，需要. 等面积法 思考3：有了(想要)，多了(不要)，怎么办？ 44 思考4：有积有和，想到完全平方，进而利用余弦定理. 余弦定理 思考5：公式：余弦定理的选择，依据什么原则？ ①已知条件限制，②目的指导方向 解得 ⩥角分线定理 补充 在∆ABC中，BD为∠ABC的角平分线，则有 A B C D 另解 ，则 = ① = ② ③ 理论上：3个方程解3个未知量一定可行. 但往往计算量很大，恰到好处地求即可.不要暴力，使用巧劲. 由①②得 ④ ⑤ 由⑤④，代入③得 化简得 已知△ABC中 . (1)求角A的大小； (2)若AD平分∠BAC并交BC于D， 且AD=2，a=3，求∆ABC的面积． ∆ABC中，D为边BC上一点，已知AB＝2，AC＝AD＝1． (1)若∠CAD＝30°，求sinB的值； (2)若AD平分∠BAC，求BC的长． 针对训练1 针对训练2 对比实验 在∆ABC中， ． (1)求角C； (2)若 ，D为BC的中点，在下列两个条件中任选1个，求AD的长度. 条件①： 且 ; ②: . 赏析： 1.仔细观察、熟悉公式结构. 2.边角互化等技能是一种思维方式或解决路径，但并不意味任何时候都需要. 3.结构不良问题. （1） 观察1：关于边是齐次，想边角互化，运算量大，不推荐！ 观察2：式子结构中包含余弦定理 原式可化为 特征：弦切混现+边角混出 利用：商数关系+边角互化 特征：A,B,C同时出现 利用：内角和公式消角，消单都的项为最佳. 利用：恒等变换公式打开，消项. 因为 所以 C A B D 注意：AD分的不是角C，不满足角分析模型. 选① 面积公式 余弦定理 暴力解方程 所以 又因为 得 在△ABC中 C A B D 在△ABC中 本质 余弦定理 向量 C A B D 选② 由正弦定理 4 法一：可以用余弦定理算出BC，然后与选①一致. 法二：巩固角分线模型.（非常麻烦） 又，D是BC的中点 又， 等面积法 C A B D 4 此时只知道 是不够的，需要计算出具体的值. 不再深入 [2019年卷Ⅰ理科17.] 已知在 中，设 . (1)求A; (2)若 ,求 . 二级结论 Ⅲ 55 射影定理 01 PART 例：在∆ABC中，若 则∆ABC的形状为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 分角 截边 爪型三角形模型 鸡爪模型 02 PART 角平分线定理 A B C D 在∆ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则： 证明： 在∆ABD中 在∆ACD中 因为+=；= 所以=;= 两式作比得： 类型一 AD分角模型 角分线定理 A B C D 在∆ABC中，D是BC上一点，则： 其中：叫线段BD的张角，叫线段CD的张角. 在∆ACD中 因为+= 所以= 证明： 在∆ABD中 两式作比得： 进一步: 角分线模型缺点：分线AD无法表达上 [2023年省适应性考试理15.]在∆ABC中，点D在BC边上一点，BD=2DC，AB=2, ，则 . A B C D 2 3 2 角分线定理的本质： 等面积法 [23届市一模20.]已知∆ABC中，且. (1)求B； (2)若，BD为∠ABC的角分线，D在AC上，且BD=2，求∆ABC的面积. A B C D 解：(1) ② ① (2)由BD为角分线得：∠ABD=∠CBD=. 思考2：使用等面积法的前提条件是什么？ 面积可表达是使用等面积法的关键. 3 2 c a 化简得： 思考1：欲求面积，已知什么？使用哪个公式？需要什么？怎么产生？ 已知，使用，需要. 等面积法 思考3：有了(想要)，多了(不要)，怎么办？ 61 思考4：有积有和，想到完全平方，进而利用余弦定理. 余弦定理 思考5：公式：余弦定理的选择，依据什么原则？ ①已知条件限制，②目的指导方向 解得 在∆ABC中，满足 ． （Ⅰ）判断∆ABC的形状； （Ⅱ）若点D在线段AC上，且CD＝2DA， ，求tanA的值． 极化恒等式 D 其中D为BC中点 ① 类型二 AD截边模型 ② 共轭关系 ①2+②2得 中线 三边 中线定理 [2023年Ⅱ卷17.] 思维训练⦁策略应用 在△ABC中， . (1)求证 ; (2)若b=4，且D是边AC的中点，求BD的最小值. 法一： 跨知识板块应用（椭圆） 由（1）知 b=4 D B 所以B点的轨迹是以A.C为焦点的椭圆（除左右顶点） 其中D为原点. 半焦距为：2 长半轴为：6 得，短半轴为 所以，根据椭圆的性质知，BD最小值为短半轴长 法二： 二级结论应用（中线定理） D D为中点 由中线定理 由重要不等式 所以 法三： 基本技能应用（算两次） D 设 因为 所以 由重要不等式 得 所以 [2021年贵州省适应性考试]在△ABC中，已知△ABC的面积为 ， . (1)若 ,求a. (2)若D为BC边的中点，求线段AD长的最小值. 中线问题 04 PART 分边线 A B C D 当D为中点时 算两次 极化恒等式 由向量的平行四边形法则得 特别地， 证明： 向量味 4 O 极化恒等式 O M 其中M为AB中点 证明：逆向思维 当|OM|最大时，原式取最大 O 法一 向量法 法二 正弦定理 法三 辅助线 法四 等面积法 法五 余弦定理 法六 建系 [2023年市三模理16.]在∆ABC 中， ，点D为BC边上一点，且 ， 则 的最小值为 . A B C D 法一 A B C D 素养： ①高级点向低级点转化 ②已知A ③抓住所求 ① ② ③ 整体代换 当 时 此时为等腰三角形 [2023年市三模理16.]在∆ABC 中， ，点D为BC边上一点，且 ， 则 的最小值为 . 法二 A B C D 在 素养： ①角A和边BC ②抓住所求AB 在 素养： ③抓住所求AD ④契合前面角C ⑤已表达出CD 当 时 选择大于努力 [2023年市三模理16.]在∆ABC 中， ，点D为BC边上一点，且 ， 则 的最小值为 . 法三 A B C D E 素养： ①比例关系想相似 ②平行出相似 ③构造在同一三角形中 在 中 [2023年市三模理16.]在∆ABC 中， ，点D为BC边上一点，且 ， 则 的最小值为 . 法四 等面积法 A B C D [2023年市三模理16.]在∆ABC 中， ，点D为BC边上一点，且 ， 则 的最小值为 . [2022年甲卷文理16.]已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD， 当 取最小值时，BD= . A B C D 2 设 在 中，分别用余弦定理有： 分离常数法 当且仅当 即 时，原式最小. 求谁谁设 线段表达 分离常数法 基本不等式 情感 能力 方法 模型 ⩥ ⩥ ⩥ 补充思考：能否使用角分线模型？ 缺点：角分线模型不表达AD 类型三 高线模型 [2023年Ⅰ卷17.] 主要考察： 1个图像：的图像及性质 2个方面：三角函数是周期函数的典型代表 解三角形是平面几何问题的开端 2个关系：平方关系、商数关系（同角三角函数的基本关系） 3大技能：弦化切、边角互化、知一得二 3个定理：正弦定理、余弦定理、射影定理 3种变换：伸缩变换、恒等变换、保值变换 5大问题：值域与单调性、对称性与周期性、恒等化简、角分线问题、(线段与面积)范围 9大公式：诱导公式、辅助角公式、降次公式、倍角公式、正余弦公式、面积公式、万能公式、半角公式、弧度制公式 核心能力：根据需求，选择知识、改造式子、利用公式、变形公式、形成规律的能力. 考点概述 [2022年甲卷文理16.]已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD， 当 取最小值时，BD= . A B C D 2 设 在 中，分别用余弦定理有： 分离常数法 当且仅当 即 时，原式最小. 求谁谁设 线段表达 分离常数法 基本不等式 情感 能力 方法 模型 ⩥ ⩥ ⩥ 补充思考：能否使用角分线模型？ 缺点：角分线模型不表达AD $