专题二数列 第4讲 数列与函数、不等式综合讲义-2026届高三数学二轮专题复习

专题二 数列 第4讲 数列与函数、不等式综合 一、考点透析 考点1 数列的函数特征 1.(2025·河北省衡水市·模拟)数列满足，若数列单调递增，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：因为单调递增， 所以，解得， 即实数的取值范围为． 故选：． 2.(2025·山西省吕梁市·模拟)数列的前项和与前项积分别为，，已知，，，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由， 则，又，即， 则， 则， 则， 则，， 可得数列是以为周期的周期数列， 则，，， ，， 所以数列是以为周期的周期数列， 则，解得， 则， 则， 所以． 故选：． 考点2 数列与函数综合 1.(2025·湖北省·期末)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数已知数列满足，，，当时，令，若函数的图象关于点成中心对称图形，则          ． 【答案】  【解析】解：因为，或， 又， 设个差中有个和个， 所以， 所以，， 即数列前项成等差数列，公差为， ， 令， 即， 所以，从而为奇函数， 从而，， 则． 故答案为：． 2.(2025·四川省成都市·模拟)已知函数，数列满足：，，． 若，求的取值范围； 证明：对任意，； 定义，证明：． 【答案】（1） （2） 见解析 （3）见解析 解：因为， 所以，令， 所以，令， 则，时，时， 所以时单调递减，时单调递增， 所以时，取得最小值， 所以； 证明：即证数列为递减的且， 因为， 引入待定常数，使得， 令，解得， 将这两值分别代回上式得 两式相除，有， 所以数列是以为公比的等比数列， 从而知，， 又知，故上式右端， 即有； 又， 即也就是数列为递减数列， 有， 即对任意，； 证明：由知当时， 即，由知， 则， 从而， 于是， 注意到， 于是 ， 而，即， 于是．   考点3 数列与不等式综合 1.(2025·湖北省襄阳市·模拟)已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由，得， 即，即， 又，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，， ， 问题转化为求使不等式成立的的最大值， 又函数在上单调递增， 所以使不等式成立的的最大值为． 故选：． 2．（25-26高三上·浙江·月考）已知函数的导函数为，为数列的前n项和，且，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：； (3)设，证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【详解】（1）由题，， 则，又， 所以曲线在处的切线方程为， 即. （2）证明：因为， 所以，所以当时，， 又，所以， 所以， 欲证，只需证得，即证， 设，则， 设，则， 因为，所以，故（即在单调递减， 而时，，，故，故在单调递减， 所以，所以得证. （3）证明：因为，即， 所以， 由（2）知，且， 所以，即， 所以， 所以. 所以.得证. 二、跟踪练习 1.(2025·山西省·模拟)数列的前项和为，若，当为偶数时，，当为奇数时，，则          ． 【答案】  【解析】解：由题意，，则，， ，，， 归纳可得数列是以为周期的数列，且，则， 故． 故答案为：． 2.(2025·河南省·联考)已知等差数列的前项和为，，，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】解：设等差数列的公差为，则 解得所以． 所以， 当时，取得最大值为． 因为有且只有两个正整数满足，所以满足条件的为和． 又，所以实数的取值范围是． 3．（25-26高三上·重庆·月考）已知正项数列的前项积为，，记表示实数的小数部分，例如，则使得不等式成立的正整数的最大值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【详解】由题意，当时，，因，则由解得：， 当时，因，可得，即，两边取平方整理得， 即是以为首项，公差为2的等差数列，故， 于是，则， 由可得：，解得，所以正整数的最大值为5. 故选：D. 4.（多选题）(2025·山西省·模拟题)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过个步骤变成简称为步“雹程”现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：为正整数，，记数列的前项和为则(    ) A. 当时，的值为 B. 当时， C. 当时，是步“雹程” D. 当时， 【答案】BD  【解析】解：对于选项进行逆推， 或或，故A错误； 对于、选项，当时，即， 共需经过个步骤变成，故B正确，C错误； 对于选项，当时，，，，以后进入循环， 因此，故D正确． 故选：． 5．（25-26高二上·江苏苏州·期中）若存在正整数，使得对任意，都有，则称数列为“整有界数列”. (1)已知，数列的前项和为，分别判断和是否为“整有界数列”，并说明理由； (2)已知数列中，，，. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）若是数列的前项和，求证：是“整有界数列”，并求的最小值. 【答案】(1)数列和都为“整有界数列”，理由见解析. (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析，的最小值为12. 【详解】（1）数列和都为“整有界数列”，理由如下： 因为，则， 当时，， 当时，， 所以取，对任意，都有成立，因此数列为“整有界数列”. 又， 所以是以1为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 所以取，对任意，都有成立，因此数列为“整有界数列”. （2）（ⅰ）因为， 所以，则 又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即， 则， 各式相加可得， 则，， 所以，又满足上式， 所以. （ⅱ）证明：由（ⅰ）得， 当时，，当时，， 当时，增速快于，所以，即， 所以对于任意，， 所以， 所以， 所以， 而， 故结合题意可知正整数的取值需大于等于12， 所以取即为M的最小值，对于任意，， 所以是“整有界数列”. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二 数列 第4讲 数列与函数、不等式综合 一、考点透析 考点1 数列的函数特征 1.(2025·河北省衡水市·模拟)数列满足，若数列单调递增，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 2.(2025·山西省吕梁市·模拟)数列的前项和与前项积分别为，，已知，，，若，则(    ) A. B. C. D. 考点2 数列与函数综合 1.(2025·湖北省·期末)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数已知数列满足，，，当时，令，若函数的图象关于点成中心对称图形，则          ． 2.(2025·四川省成都市·模拟)已知函数，数列满足：，，． 若，求的取值范围； 证明：对任意，； 定义，证明：． 考点3 数列与不等式综合 1.(2025·湖北省襄阳市·模拟)已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为(    ) A. B. C. D. 2．（25-26高三上·浙江·月考）已知函数的导函数为，为数列的前n项和，且，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：； (3)设，证明：. 二、跟踪练习 1.(2025·山西省·模拟)数列的前项和为，若，当为偶数时，，当为奇数时，，则          ． 2.(2025·河南省·联考)已知等差数列的前项和为，，，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是          ． 3．（25-26高三上·重庆·月考）已知正项数列的前项积为，，记表示实数的小数部分，例如，则使得不等式成立的正整数的最大值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 4.（多选题）(2025·山西省·模拟题)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过个步骤变成简称为步“雹程”现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：为正整数，，记数列的前项和为则(    ) A. 当时，的值为 B. 当时， C. 当时，是步“雹程” D. 当时， 5．（25-26高二上·江苏苏州·期中）若存在正整数，使得对任意，都有，则称数列为“整有界数列”. (1)已知，数列的前项和为，分别判断和是否为“整有界数列”，并说明理由； (2)已知数列中，，，. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）若是数列的前项和，求证：是“整有界数列”，并求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $