专题二数列 第3讲 数列求和讲义-2026届高三数学二轮专题复习

专题二数列 第3讲数列求和 一、考点透析 考点1公式法求和 1.(2025江西省九江市·模拟)如图，有一款合成2048游戏.游戏规则如下：在一个4*4的方 格中，游戏开始时，方格中会随机出现两个数字小方块，只能是2或4.手指向一个方向（上、 下、左、右)滑动，所有含有数字的小方块都会向这个方向移动到不能移动为止，滑动过程 中相同数字的两个小方块相撞时数字会相加，称为一次合并运算.每次滑动时，空白处会随 机刷新出一个含有数字（只能是2或4）的小方块.当界面中最大数字是2048时，最少合并运算 的次数为 2 16 8163264 1024512256128 【答案】511 【解析】解：由题意可知算式1024+1024=2048只需出现1次，而算式中有2个1024， 故算式512+512=1024需出现21次， 算式256+256=512需出现22次，…以此类推，算式4+4=8需出现28次， 故每次出现的都是数字4， 最少合并运算的次数是1+2+22+…+28=1×(1-29)=29-1=511. 1-2 故答案为511. 考点2分组转化法求和 1.(2025江苏省镇江市·模拟)已知等差数列{an}的公差d=1,且a3,a5+1,2a6成等比数列， 则数列{(-1)n+1an}的前2025项和为() A-1013 B.-505 C.505 D.1013 【答案】D 【解析】解：设首项为a1, 因为a3,a5+1,2a6成等比数列， 所以(a5+1)2=a32a6, 即(a1+4+1)2=(a1+2)2(a1+5), 解得a1=1或a1=-5, 当a1=-5时，a6=-5+5=0,此时与a3,a5+1,2a6成等比数列矛盾，故舍去； 当a1=1时，am=1+n-1=n, 令bn=(-1)m+1an=（←-1)+1n, 则其前2025项和为 1-2+3-4+-2024+2025 =(1-2)+(3-4)+·+(2023-2024)+2025 =1012×(-1)+2025=1013 故选：D. 2.(2025湖北省武汉市模拟)己知数列{an的各项均为正数，前n项和为Sn,且a1=1,Sn+1 是1-Sn与Sn+1的等差中项. (1)证明：数列{VSn}是等差数列； (2)设bn=(-1)”.(Sn+an),求数列{bn}的前2n项和T2n 【答案】(1)见解析 (2)n(2n+3) 【解析】(1)证明：由题意，得2S+1=1-Sn+Sn+1,即(S+1-1)2=S: 因为{a}的各项均为正数， 所以{S,n}一定为递增数列，从而Sn≥a1=1, 所以VSn+1-1=VSn,即Sn+1-Sn=1, 所以{Sn}是首项为1，公差为1的等差数列； (2)由(1)，得Sn=1+(n-1)×1=n,亦即Sn=n2, 从而Sm+1=(n+1)2, 所以an+1=Sn+1-Sn=2Sm+1-1=2(n+1)-1=2n+1, 从而am=2n-1,又a1=1, 所以a=2n-1, 所以{an3的通项公式为an=2n-1, bn=(-1)”.(Sn+an）=(n2+2n-1(-1)”, 所以当k为奇数时， bk+bk+1=(k2+2k-1(-1)k+[(k+1)2+2k+1)-1]-1)k+1 =2k+3, 所以T2n=(b1+b2)+(b3+b4+(b5+b6)+…+(b2m-3+b2-2)+(b2m-1+b2nd =(2×1+3)+(2×3+3)+(2×5+3)+·+[2(2n-3)+3]+[2(2n-1)+3] =5+9+13+…+(4n-3)+(4n+1) =5+(4n+1]=n(2n+3引. 2 考点3奇偶讨论法求和 1.(2025天津·高考真题)S,=-n+8n,则数列an}的前12项和为() A.112 B.48 C.80 D.64 【答案】C 【详解】因为Sn=-n2+8n, 所以当n=1时，a1=S1=-12+8×1=7, 当n≥2时，a=.-S-(-n+8n）--(n-1°+8(n-1)]=-2n+9, 经检验，41=7满足上式， 所以an=-2n+9(neN,令an=-2n+9≥0→n≤4，an=-2n+9≤0→n25, 设数列{a}的前n项和为T, 则数列{a.}的前4项和为T4=S4=-4°+8×4=16 数列{1a,}的前12项和为 Tn=a+a+…+a=a1+a+a3+a4-a5-a6--a2 =2S4-S12=2×16-（-12+8×12)=80 故选：C 2.(2025浙江嘉兴三模)记Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0,4Sn=a+2am-3,数 n为奇数 列{bn}满足bn= an-an+1, an+an+1,n为偶数 (1)求数列{an}的通项公式： (2)记数列{bn}的前n项和为Tn,若对任意neN,Tn≥l0n+元，求实数2的取值范围. 【答案】(1)a,=2n+1 (2)≤-24 【详解】(1)n=1时，4=S=+2a-3,解得4=-1或4=3，因为a>0,所以 4 a1=3, n≥2时，4，=8-81-+20-3_+203，得(a.+a,-a12到=0， 4 4 因为an+an-1>0，所以an-an-1=2,又41=3， 故数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列， 所以数列{an}的通项公式为an=2n+1; an-an+,n为奇数 「-2，n为奇数 (2)解法一：由bn= an+anti n为偶数’ 所以bn= 4n+4,n为偶数 当n为偶数时， Tn=b+b+b3+…+b-1+bn=(b+b3+…+bn-3+bn-1)+(b+b4+…+bn-2+bn) =[-2+(-2)++(-2)+(-2)+[12+20++(4n-4)+(4n+4)] =(-2)x Q2+4n+4) 2 2 2=n+3n' 当n为奇数时， T,=T1-b1=(n+1)°+3(n+1)-[4(n+1)+4=n2+n-4, 所以Tn= n2+n-4,n为奇数 n2+3n,n为偶数 因为对任意的neN,Tn≥l0n+九成立， 所以，当n为奇数时，即n2+n-4≥10n+,所以≤n2-9n-4, 9=45, 不等号的右边可看作关于n的二次函数，对称轴为n=一 因为n为奇数，所以n=5时，(n-9n-4）n=-24,则元≤-24 当n为偶数时，n2+3n≥10n+元，所以元≤n2-7n, 同理可得，因为n为偶数，所以n=4时，(n-7n)n=-12,则元≤-12， 综上，1≤-24. 解法二：由bn= a,-a+1nn为奇数 an+an+n为偶数’ 当n为偶数时， T=6+6+03++b1+6 =(a-a2)+(a+a3)+(a3-a4)+…+(an-1-an)+(an+a+1) =[a+(a,+a)++(a,+ai】+[(-a)+(a-a4)++(a1-a.] 目S+5)+(-2)x72=m+3n 当n为奇数时， Tn=Tm+1-bn+1=T+1-bn1=(n+1)+3(n+1)-[4(n+1)+4]=n°+n-4, n2+n-4,n为奇数 所以Tn= (下同解法一) n2+3n,n为偶数 解法三：因为对任意的neN,T,≥l0n+元成立， 则2≤Tn-10n,即求Tn-10n的最小值，令Cn=T,-10n, 当n为奇数时，Cn+1-Cn=Tn+1-Tn-10=bn+1-10=4n-2>0 则Cm+1>Cn,所以Cn最小值一定在n为奇数时取到， 当n为奇数时，Cn+2-Cn=Tn+2-Tn-20=bn+2+bn+1-20 =a+3-an+3+an+1+am+2-20=4n-14, 当n≥4时，Cmt2>Cn,当n≤3时，Cm+2<Cn, 所以当n为奇数时，C1>C3>C5,C5<C,7<C,<…, 则Cn的最小值为C5=T,-50=b+b+…+b-50=-24, 所以2≤-24. 考点4 倒序法求和 1.(25-26高三上黑龙江月考)已知函数f()=4+2” 4 1 (1)若8(x)=fx+ +a为奇函数，求a; 2 2025 2求2f八2026 i i=1 【答案】(1)a=-2 29空5 【详解】(1)显然g(x)的定义域为R,又g(x)为奇函数， 所以g(0)=0, 2 即 -a= 2+2 +a=0, 2 1 解得a=)此时s创子 43×4141 二 4+22 43×4+2 24*+12 国0m+8010 即8(-=-8(，g()为R上的奇函数，故a=号为所求。 (2)由(1)知8(-x)=-g(x). 即f(x)+f(1-x)=1. 2025 设∑/ i 1 +f (2 73 2024Y 2025 =S,则S=f +f +…+f 2026 2026 2026 2026 2026 2026 2025 2024 3 又S=f 1 +f 十·”十 +f +f 2026 2026 2026 、2026 (2026, 两式左、右两边分别相加， 得2N=+1+1++1+1=2025 2025项 2025 所以S=f i）2025 (2026 2 2.（2425商三上天津期末)已知各项为正数的数列f0,}满足4=18,24,4)，共 中Sn是数列{an}的前n项和. (1)求数列{an}的通项公式： (2)设bn=aC+a,C+a,C+…+anC (i)求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn; (i)若cn= ，证明：dn≤1. a a 【答案】(1)a.=n(n∈N) (2)(i)bn=n2-;Tn=(n-1)2+1;(i)证明见解析. aa, 【详解】(1)由a=L8,=a2a4)得a=2 anan 当n≥2时，由a=8,-S,得a,=2a-a)2(a.-0' andnt 整理得a,a+1+aam-1=2an2, 又因为an>0,an+1+an-1=2an,又因为a3-a4=1 所以数列{a}是首项和公差均为1的等差数列， 故数列{a,}的通项公式为a,=nn∈N (2)(i)b=aC+aC2+aC+..+a,C", 所以bn=0C0+1C+2C+3C+…+nC7, ∴.bn=nC+(n-1)C-+…+1C1+0C9, 两式相加可得2b,=n(C+C++C)=n2”, .'.bn=n.2m-1 故数列{bn}的通项公式为bn=n2-； 所以Tn=1×2°+2×2+3×22++n×2-1 又2T=1×2+2×2+3×23+.+n×2 将以上两式相减得 -T=1+2+2+23+…+2"-1-n×2”=2-1-n×2”=Q-m)2”-1 所以Tn=(1-1)2”+1. (iⅱ)由题，cn= 2bm-2 a 数列d;满足24- i=l a 务 则a+d++d=l++1+ 23 2”-1' 11 1 所以d+d++dn1=l +2+3++2-n≥2)， 1 1 1 两式相减得d。= 1 2+2+12+2 +…十 2"-1 所以42+2是++-[2-0-2+1]克 111 21 211, 当n=1时，d,=1,所以dn≤1. 考点5裂项法求和 1.(2025湖南省联考)设正项数列a,的前n项和Sn满足Sn=an+1). (1)求数列{an的通项公式： bn 2)设h,=2,1,cn=o+@1+D求数列c.的前n项和T: 【答案】(1)an=2n-1 1 (2)1534+1+ 【解析】1)由5=a,+1,两边平方可得a2+2a.+1=4S, 可知a7+1+2an+1+1=4Sn+1 两式相减，得a听+1a2+2(a+1-a)=4a+1 E2(an+1+an)=an+1-an (an+1+an)(an+1-an), an>0, .an+1-an =2, ~当n=1时，a+2a1+1=4a1, .a1=1, 则{a}是首项为1，公差d=2的等差数列， {an}的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1: (2)因为bn=2a+1=22m-1+1=4”, 4n 所以c.=+nn+D=n41+ 所以Tn=c1+c2+c3+…+Cn 11 1 1 民士宋+1++“中17 1,11 =3写4*1+} 11 =1534m*1+1) 2.(2025·江苏省镇江市·模拟)已知{an}是无穷正整数数列，定义操作D(k,s)为删除数列{an}中除 以k余数为s的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列{bn.若am=3”-1,n∈N,进行操 作D(3,1)后剩余项组成新数列bn},设数列{log3(an+bn}的前n项和为Sm (1)求Sni 2设数列c满足c=log,a1求数列一的前n项和 【答案】(1)Sn=nlog4+nn-) 2 (2)2n+1 n 【解析】(1)依题意得an=3”-1,bn=3”, 则log3(am+bn)=log3(4×3m-1)=log34+(n-1), 数列log(an+bn}前n项和Sn=nloga4+0,-); 2； (2)cn=log3b2m-1=2n-1, 1 1,11 以ec陆(2n-1)(2m+1)=22m-12 小数列的n项和 111.11.1,11 T=2×1-3)+2×(写+…+22n-12n+ 2 -02n-2 n 3.(2025四川省成都市模拟已知数列{a}是等差数列，记其前n项和为Sn,且S3=a5,a2m=2 an+ (1)求数列{an}的通项公式： (2)将数列{an}与{Sn}的所有项从小到大排列得到数列bn. ①求b的前20项和； 11 1 ②证明：房+房+…+房<32. 1.1 【答案】(1)an=24 2)①1包见解折 【解析】(1)解：设等差数列{an的公差为d, 由S3=a5,得3a1+3d=a1+4d,即2a1=d, 由a2n=2a,+京取n=1,得a2=2a1+=a1+d,即a1=d 解得a1=京d=子所以a=子 2回解：电知，S=+少×，所以S=, 因为0，=2是所以b.=n,所以b,的前20项和为20×+20X1”×=10, 11 2 2×4= 2 ②证明：因为好=名3，所以-总<=16片n≥2， 116 16 所以当n=1时，房=16<32； 当n≥2时，扇+++房<16+161++…+（日=32<2 1.1 综上即证. 考点6 错位相减法求和 1.(2025全国一卷高考真题)设数列{a,}满足a,=3,81=,+ 1 nn+1'n(n+1) (1)证明：{nan}为等差数列； (2)设f(x)=ax+ax2+…+amxm,求f'(-2). 【答案】(1)证明见解析； 2)f(-2)=7(3m+70-2 9 【详解】(1)由题意证明如下，neN, 专题二 数列 第3讲 数列求和 一、考点透析 考点1 公式法求和 1.(2025·江西省九江市·模拟)如图，有一款合成游戏．游戏规则如下：在一个的方格中，游戏开始时，方格中会随机出现两个数字小方块，只能是或手指向一个方向上、下、左、右滑动，所有含有数字的小方块都会向这个方向移动到不能移动为止，滑动过程中相同数字的两个小方块相撞时数字会相加，称为一次合并运算．每次滑动时，空白处会随机刷新出一个含有数字只能是或的小方块．当界面中最大数字是时，最少合并运算的次数为          ． 考点2 分组转化法求和 1.(2025·江苏省镇江市·模拟)已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则数列的前项和为(    ) A. B. C. D. 2.(2025·湖北省武汉市·模拟)已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项． 证明：数列是等差数列 设，求数列的前项和． 考点3 奇偶讨论法求和 1．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 2．（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围. 考点4 倒序法求和 1．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知函数． (1)若为奇函数，求a； (2)求． 2．（24-25高三上·天津·期末）已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若且，证明：． 考点5 裂项法求和 1.(2025·湖南省·联考)设正项数列的前项和满足． 求数列的通项公式 设，，求数列的前项和． 2.(2025·江苏省镇江市·模拟)已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以余数为的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列若，，进行操作后剩余项组成新数列，设数列的前项和为． 求 设数列满足，求数列的前项和． 3.(2025·四川省成都市·模拟)已知数列是等差数列，记其前项和为，且，． 求数列的通项公式 将数列与的所有项从小到大排列得到数列 求的前项和 证明：． 考点6 错位相减法求和 1．（2025·全国一卷·高考真题）设数列满足， (1)证明：为等差数列； (2)设，求． 2.(2025·福建省龙岩市·模拟)已知数列满足． 求证：是等差数列； 若，求数列的前项和． 二、跟踪练习 1.(2025·江苏省·模拟)已知正项数列的前项和为，，且． 求的通项公式； 若，求数列的前项和． 2.(2025·甘肃省白银市·模拟)若正整数，只有为公约数，则称，互质，欧拉函数是指，对于一个正整数，小于或等于的正整数中与互质的正整数包括的个数，记作，例如，． 求，，； 设，，求数列的前项和； 设，，数列的前项和为，证明：． 3.(2025·天津市市辖区·模拟)已知数列的前项和，数列满足，． 求数列和的通项公式； 数列满足，若对于一切恒成立，求实数的取值范围； 设，在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之间插入个数，，使，，，成等差数列；以此类推，在和之间插入个数，，，，使，，，，，成等差数列．若，求． 4.(2025·天津市·模拟)已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，． 求数列和的通项公式； 设数列的前项和为，求证：； 表示不超过的最大整数，； 求； ．  5．（25-26高三上·天津南开·月考）已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和． 6．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数． (1)求． (2)是否存在常数，对任意的，有? 学科网（北京）股份有限公司 $