2025-2026学年北师大版数学九年级上册期末培优检测试题

2025-2026学年北师大版数学 九年级上册期末综合培优检测试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式凸出部分叫榫或榫头，凹进部分叫卯或榫眼、榫槽，榫和卯咬合，起到连接作用，如图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是(    ) A. B. C. D. 2.如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点不与点，重合，于点，于点，若，，则的最小值为    ． A. B. C. D. 3.如图，在正方形中，，点，分别在边，上，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为(    ) A. B. C. D. 4.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是    ． A. B. 且 C. D. 且 5.在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以，，为顶点的三角形与相似，则的长为(    ) A. B. C. 或 D. 或 7.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高为(    ) A. B. C. D. 8.如图是一块三角形钢材，其中边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长是(    ) A. B. C. D. 9.已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴，轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点，，轴，垂足为，连接，，，与相交于点下列结论：；四边形与面积相等；若，；若，，则直线的函数解析式为其中正确的个数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.一个平行四边形的一边长是，两条对角线的长分别是和，则此平行四边形的面积为          ． 12.如图，正方形纸片的边长为，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为          ． 13.已知，且，则           ． 14.商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件设每件商品降价元，商场日盈利可达到元，则可列方程为          ． 15.如图，已知的顶点，分别在反比例函数和的图象上，且轴．若的面积为，则          ． 16.如图，在中，，，，点，分别在，上，将沿折叠，点的对应点刚好落在上当与相似时，的长为          ． 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形； 若，，求的长． 18.本小题分 请阅读下面解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为． 解得，． 当时，，． 当时，，，此方程无实数解． 原方程的解为，． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 19.本小题0分 冬季来临，某超市以每件元的价格购进某款棉帽，并以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为只，月份的销售量为只． 求该款棉帽月份到月份销售量的月平均增长率； 经市场预测，下个月份的销售量将与月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价元，月销售量就会增加只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达元？ 20.本小题分 如图，等腰三角形中，，为延长线上一点，为延长线上点，且满足． 求证：∽； 若，求的度数． 21.本小题分 教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序若在水温为时接通电源，水温与时间的关系如图所示． 分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式 怡萱同学想喝高于的水，请问她最多需要等待多长时间 22.本小题分 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，过点作垂直轴于点，连接，若的面积为． 求的值． 轴上是否存在一点，使为直角三角形若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由． 23.本小题14分 【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题．   【初步探究】如图，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，若，将绕点顺时针旋转，得到易证：． 根据以上信息填空：           ； 线段，，之间满足的数量关系为          ． 【迁移探究】如图，在正方形中，若点在的延长线上，点在的延长线上，，猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【拓展探索】如图，已知正方形的边长为，，分别在，上，，连接分别交，于点，，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 参考答案 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13. 或  14.   15.   16. 或  17. 解：证明：， ， 为的平分线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ▱是菱形； 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ．  18. 解：． 设 则， 解得或， 当时，， 解得，， 经检验，是分式方程的解， 当时，，解得， 经检验，是分式方程的解， 原分式方程的解是，．  19. 【小题】 解：设该款棉帽月份到月份销售量的月平均增长率为． 由题意，得． 解得：，不符合题意，舍去． 答：该款棉帽月份到月份销售量的月平均增长率为． 【小题】 解：设该款棉帽售价为元，则每件的销售利润为元． 根据题意，得． 解得：，不符合题意，舍去． 答：该款棉帽售价为元时，月销售利润达元．  20. 证明：， ， ， ， ， ∽； ， ， 为的外角，为的外角，且，， ， 则．  21. 【小题】 当时，设与之间的函数关系式为将，代入，得解得当时，与之间的函数关系式为当时，设将代入，得，解得，当时，与之间的函数关系式为．水温降至，饮水机关机，综上，与的函数关系式为 【小题】 将代入，得将代入，得将代入，得．，，怡萱同学想喝高于的水，最多需要等待．  22. 解：正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点关于原点对称，  ． 又垂直于轴， ． 存在设点的坐标为由 解得   ，． ，，． 当为直角顶点时，，．点的坐标为或． 当为直角顶点时，由，得， 解得，即． 当为直角顶点时，由，得 ， 解得，即． 点的坐标为或或或．  23. 【小题】 【小题】 证明如下：如图，在上截取，连接在和中， ，即，在和中，． 【小题】 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接四边形是正方形，，，，，，由旋转可得，，，，，，，又，，设，则在中，，，解得，．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $