数列课时作业-2026届高三数学一轮复习

2026届高考数学一轮复习课时作业：数列 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.若{an+是等比数列，且4=2，a,=4,则数列{a}的前8项和为() A.689 B.716 C.729 D.1597 2.若数列{an}满足a+1+an=2n+1(n∈N),a4=2,则q+a2+4+…+4,=() A.155 B.156 C.203 D.204 3.已知数列a,}是等差数列，b,=】 2’且4=1，么三3，数列}的前n项和为X,若不等式元之T恒成 则实数的最小值为() 1 A.1 B. C.3 D. 4.关于x的不等式lnx-ax2+ar>0(a>0)的整数解个数为n(n∈N)时，a∈[Pa,q,),设Sn为数列 的前n In (n+2) 项和，则S=() A号 B.删 c.25 101 51 D.102 5.已知数列{a}的通项公式为a,=21-1,其前n项和为S。,则数列{《-1)°·S}的前2025项和为() A4. 2024×2025 B.-2024×2025 C. 2025×2026 2 D. 2025×2026 2 2 6.记数列{an}的前n项和为Sn,若a1=a+2a,+1,且4=0，则So的最小值为() A.0 B.1 C.2 D.3 7.已知数列b.}满足b=2,b.-b1=2n(≥2)，设数列 1 的前n项和为T.,则To=() 9 A.10 11 n 8.已知等差数列{a}的公差d=1,且4，a,+1,2a,成等比数列，则数列{(-1)a}的前2025项和为() A.-1013 B.-505 C.505 D.1013 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.已知数列{a}满足4=1,4+1= an-1,为3的倍数 a,+5,不是的倍数’则() A.am-2=5n-4 B.∀neN,3T∈N,a+r=a C.若n≤k(k∈N),an≤2026，则k的最大值为1214 D.{a}的前36项和为1226 10.已知数列{a}的前n项和为S,且4=3，S1=Sn+2a,-1,则() A.a2=5 B.数列{a,+1}是等差数列 C.am=2"+1 D.S=2m1+n-2 11.已知数列{a}满足：4=3,3a。=(n+1)a+1,则下列说法正确的是() A.a3=9 B.{a}是单调递增数列 C.若T为数列 的前n项和，则Tn<1 (n+1)3 D.若对任意n∈N,都有(-1)”a,≤a,则-3≤≤1 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.已知数列a}的前n项和为，-2如，-2∈N).6a-8+加∈N).则数列私}的前n项和 T=」 1 2 13.已知数列{a}的前n项和为Sn,a.+a1=3,若数列 S2S2 的前k项和为买19，则=—· 14.已知正项数列{a}的前n项和为Sn,a=1,a=2,且aa+2=a+1a+3,则S6的最小值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 3 5.(13分)已知数列a满是4)凸74+3，=4 (1)证明：数列{a1-a}为等比数列： (2)求{a}的通项公式： (3)记b.=20n+1,数列{ }的前n项和为8，证明：G≤8，<专 b.b1 16.(15分)已知等比数列{a}的前n项和为Sn,若S,S,Sn2成等差数列. (1)求等比数列{a}的公比9： (2)若a=1,b.=log2a,求数列{abn}的前n项和Tm. 17.(15分)已知首项相同的等差数列a的公差与等比数列的公比大小相等，目®>6，冬=了，0一4=5 (1)求数列{a}和b}的通项公式， (2)令cn=abn,求数列{cn}的前n项和T. 18.(17分)已知数列{a}的前n项和为Sn,4=8,2Sn=n(a1-1). (1)证明： a。+1 是常数列： n (2)设b. 1 3灯-1，求数列b,}的前n项和 19,(17分)已知数列a}的前n项和为S,且5-3”3 2-2 (1)求数列{a}的通项公式： 1 (2设b,-1og,a0g:an ,求数列{b}的前n项和T: 国滨数到)满足+写日1.不等式5对-切acN恒皮立，求A取 值范围. 2026届高考数学一轮复习 课时作业：数列 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若是等比数列，且，则数列的前8项和为（    ） A．689 B．716 C．729 D．1597 【答案】C 【分析】先求出的公比，再求出的通项，故可求的前8项和. 【详解】设等比数列的公比为，则，所以，则， 故数列的前8项和为.故选：C. 2．若数列满足，，则（    ） A．155 B．156 C．203 D．204 【答案】A 【分析】由，可以得到奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，再由，利用合并项求出 【详解】由，则，故奇数项成等差数列，偶数项成等差数列， 由，则，，则， 故.故选：A 3．已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得，进而有的公差，则，应用裂项相消法求，最后由不等式恒成立求参数最小值. 【详解】由题设，则，又为等差数列，则其公差， 所以，故， 所以，而不等式恒成立，所以，即实数的最小值为.故选：B 4．关于的不等式的整数解个数为时，，设为数列的前项和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，，，求出两函数在处的切线斜率，得到，进而得到的整数解个数为时，所满足的不等式，求出，再裂项相消求和，得到答案. 【详解】，， 设，，，，显然，，， 其中在处的切线斜率为，在处的切线斜率为， 若，时，的图象在的上方，不等式无解， 则的整数解个数为0，不合要求，所以， 当时，需满足，解得， 当时，需满足，解得， 当的整数解个数为时， 需满足，解得，所以， 所以，所以， 故。故选：C 5．已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列求和公式计算，再结合分组求和计算求解. 【详解】数列的通项公式为，其前n项和为， 所以，则数列的前2025项和为 .故选：D. 6．记数列的前项和为，若，且，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用结合分组求和、裂项求和求，通过规律探寻得知是整数，进而得出是偶数的平方，欲使取最小整数值，则即可，再举例说明的可行性. 【详解】数列中，由，得， 即， 所以， 又，所以.又由，得且， 可知， 所以是整数，于是是整数，且是偶数的平方，则，当取等号. 下面举例说明可以取到，， ，此时， 所以的最小值为3.故选：D. 7．已知数列满足，设数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，且，利用累加法求得，从而得到，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为，且， 所以当时，. 因为也满足，所以. 因为，所以.所以. 故选：B. 8．已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 【答案】D 【分析】根据成等比数列，结合等差数列的通项公式可得，进而得到，，进而求和即可. 【详解】设首项为，因为成等比数列， 所以，则， 解得或，当时，，此时与成等比数列矛盾，故排除， 当时，，此时令， 而其前2025项和为，.故选：D 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知数列满足，则（    ） A． B． C．若，则的最大值为1214 D．的前36项和为1226 【答案】AC 【分析】根据给定的递推公式，求出的表达式，再结合单调性及并项求和法逐一分析判断. 【详解】对于A，，数列是首项， 公差为5的等差数列，，A正确； 对于B，由选项A得， 数列均为递增数列， 数列中除外，其它项均不为1，B错误； 对于C，由选项B得， 当时，因此的最大值为1214，C正确； 对于D，由选项B得，因此数列的前36项和为 ，D错误.故选：AC 10．已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B．数列是等差数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】令直接代入计算可得A正确，根据的关系式以及等比数列定义即可求得数列为等比数列，可得B错误，再求得数列的通项公式可得C正确，结合分组求和以及等比数列前项和公式计算可得D正确. 【详解】对于A，由可得， 即，所以，因此A正确， 对于B，由可得，即， 显然不是定值， 因此数列不是等差数列，即B错误；对于C，结合B分析由可知， 即数列是以为首项，公比为2的等比数列，因此可得，所以，即C正确； 对于D，，即D正确. 故选：ACD 11．已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B．是单调递增数列 C．若为数列的前项和，则 D．若对任意，都有，则 【答案】ABC 【分析】根据累乘法可得，即可判断A,根据即可求解B，根据裂项相消法即可求解C，根据单调性，对分奇偶即可求解D. 【详解】由，可得，故, 也符合，故，，A正确， 由于，故，因此是单调递增数列，B正确， ，故，C正确， 由可定， 当为偶数时，则恒成立，由于单调递增，故， 当为奇数时，则恒成立，由于单调递增，故， 故对任意，都有，则，故D错误，故选：ABC 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知数列的前项和为，则数列的前项和 . 【答案】 【分析】先根据与的关系求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求解即可. 【详解】由，当时，，即； 当时，，即，所以数列为等比数列，首项为2，公比为2， 则，，所以， 则.故答案为：. 13．已知数列的前项和为，若数列的前项和为，则 ． 【答案】18 【分析】由题意可求出，进而利用裂项相消对数列求和即可. 【详解】因为，所以， 则解得， 故答案为：18． 14．已知正项数列的前项和为，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据给定的递推公式探求得数列的周期，再利用周期性及基本不等式求解即得. 【详解】正项数列中，由，得，则， 即数列是以4为周期的周期数列，而，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为.故答案为： 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知数列满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)记，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列定义推理得证. （2）由（1）求得，再利用累加法求出通项. （3）由（2）求得，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）在数列中，由，得， 由，得，所以是以1为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）知， 当时， ，满足上式， 所以的通项公式为. （3）由（2）得，， 则 ，显然是递增数列，因此，又，则，所以. 16．（15分）已知等比数列的前项和为，若成等差数列. (1)求等比数列的公比； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由和并结合题意即可求解； （2）由（1）可求得，从而可得，再利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）由题意若成等差数列，则得，即， 则得，所以，故. （2）由（1）可知，又，所以，则，所以， ， ， 由可得 ，解得. 所以数列的前项和. 17．（15分）已知首项相同的等差数列的公差与等比数列的公比大小相等，且， (1)求数列和的通项公式; (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，因为，结合题中等式的联立方程组，结合，即得首项和公差，最后利用等差数列等比数列通项公式求解即可； （2）由（1）可知，利用错位减法求解前项和即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为， 由题意可知， 根据题意可得，解得或， 且，等比数列单调递增，，所以 等差数列的通项公式为， 等比数列的通项公式为. （2）由（1）可知，当， 则①， ②， ②①得 18．（17分）已知数列的前项和为. (1)证明：是常数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用的关系作差变形，并验证首项证明即可； （2）利用第一问的结论，先计算，由等差数列的求和公式计算，再根据裂项求和法计算即可. 【详解】（1）已知数列的前项和为. 当时，. 当时，，∴. 当时，， ∴，即，∴， 当时也符合上式，∴数列是常数列. （2）由（1）知，∴，∴， ， ∴. 19．（17分）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)若数列满足，不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)数列的通项公式为：. (2)数列的前n项和为：. (3)的取值范围为：. 【分析】（1）利用数列前n项和与通项的关系来求解； （2）先根据（1）的结果求出，再利用裂项相消法求数列的前n项和； （3）先根据已知条件求出，再区分n为奇数和偶数两种情况讨论不等式恒成立时的取值范围. 【详解】（1）当时，.当时，. 根据指数运算法则,,则.当时，也满足. 故数列的通项公式为：. （2）已知，由（1）可知，则， ；所以. 所以. 故数列的前n项和为：. （3）已知，由（1）可知，则①. 当时，，解得.当时，②. ①②相减得：，所以. 当时，也满足. 那么不等式可化为. 当n为偶数时，若恒成立，即恒成立： 因为在n为偶数时单调递增，当时取最小值，，所以时，不等式恒成立. 当n为奇数时，若恒成立，即恒成立： 因为在n为奇数时单调递减，当时取最大值，所以时，不等式恒成立. 故的取值范围为：. 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高考数学一轮复习课时作业：数列 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.若{an+心是等比数列，且4=2,42=4，则数列{a}的前8项和为() A.689 B.716 C.729 D.1597 【答案】C 【分析】先求出{a,+n}的公比，再求出{a}的通项，故可求{a}的前8项和 【详解】设等比数列a,+码的公比为q,则q-4+2-2,所以a+n=(4+g1=3x2,则a=3×2-n, a,+1 故数列a}的前8项和为3×1-21+8×8=729.故选：c 1-22 2.若数列{a}满足a+1+an=21+1(neN),a4=2,则a+a2+4+…+4=() A.155 B.156 C.203 D.204 【答案】A 【分析】由41+a.=2n+1(n∈N),可以得到奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，再由a,=2,利用合并项求 出4+42+4+…+47 【详解】由a+1+4,=2n+1(n∈N),则a+1-a-1=2,故奇数项成等差数列，偶数项成等差数列， 由a4=2,则4+4=7,4=5，则a7=4+ +17-3×2=19. 2 故a+a2+4+…+a,=(4+a2)+(a+a)+…+(a,+46)+a7=3+7+11+.…+2×15+1+19155.故选：A 3.已知微列和}是等差数列，么，且41，么-背数列他}的前n项和为，若不等式2恒成立， ad 则实数2的最小值为() 1 1 A.1 B. 2 C. D. 3 4 【答案】B 【分析】根据已知得a,=3,进而有a}的公差d=2,则6，-2m-2n+D· 1 应用裂项相消法求T,最后由不等式 恒成立求参数最小值. 【年解】由超设4女号则A=8,又仅芳得茶数别：期共公花：风a-之 1 11-1) 所以a=4+0n-d=2n-1,故b,=2n-D(2n+D221-12n+1 所以兮女0。宁面不等式A2江恒成立，所以号即实数A的量小值为好故选：B 4.关于x的不等式lnr-ar2+ar>0(a>0)的整数解个数为n(n∈N)时，a∈[Pn,qa),设Sn为数列 的前n In (n+2) 项和，则=() A吉 100 25 101 B. C. D. 101 102 【答案】C 【分析】设f(x)=lnx,x>0,8(x)=ar2-ar,x>0,f()=g()=0,求出两函数在(1,0)处的切线斜率，得到0<a<1, In(n+2) 进而得到lnr-a2+ax>0(a>0)的整数解个数为n时，所满足的不等式，求出P.= n+1)0+2,再裂项相消求和， 得到答案 【详解】nx-a2+ar>0(a>0)→lnx>2-(a>0),x>0, 设f(x)=hx,x>0,g(s)=am2-a,x>0,显然f0=g)=0,f(e)=1,g(y)=2m-a, 其中f(x)=lnx在(1,0)处的切线斜率为∫'(1)=1，g(x)=2-在(1,0)处的切线斜率为g'(1)=2a-a=a, 若a≥1，x>1时，f(x)=nx的图象在g(x)=ar2-ar的上方，不等式无解， 则lnx-2+x>0(a>0)的整数解个数为0，不合要求，所以0<a<1, 血3s9a-3n,解得血3s。 In 2>4a-2a 当n=1时，需满足 In 2 -≤a<1 6 2 当n=2时，需满足 ian解钓ag。 [ln3>9a-6a 6 当lnx-ax2+>0(a>0)的整数解个数为n≥1时， n(n+1)>(+1)a-+1a h(n+2),n+1) n(n+2) 需满足 ,解得 n(n+2)≤n+2)'a-n+2a m+00+2)sa<na+,所以p, ≤a< (n+1)(n+2)' 1 11 11,11,，1111 所以nm+2m+lm+2n中n+2,所以S=23+34 十 n+1n+22n+2 1125 故w2102引。故选：C 5.已知数列{a,}的通项公式为a,=21-1,其前n项和为S,则数列{(-1)S}的前2025项和为() 2024×2025 2025×2026 2025×2026 A. B.-2024×2025 C. D 2 2 2 2 【答案】D 【分析】根据等差数列求和公式计算，再结合分组求和计算求解 【详解】数列和}的通项公式为a,=2-1,其前u项和为S.=”1+2”-少， -=n2, 2 所以(1)S。=(-1)2,则数列(-1).S}的前2025项和为 -12+22-32+42--20232+20242-20252=(2-1)(2+1)+(4-3)(4+3)++(2024-2023)(2024+2023)-20252 =1+2+3+4++2024-20252 2024(1+2024-2025-2024×20252025:-2025×(2026）故选：D 2 2 6.记数列{a}的前n项和为Sn,若a1=a+2a.+1,且a=0,则S0的最小值为（) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 分析】利用。一C-结合分组求和裂顶求和求S,通过规律探寻得知4是整数，进而得出©听是偶数的 2 平方，欲使S0取最小整数值，则41=6即可，再举例说明41=6的可行性. 【详解】数列{a}中，由a1=a+2an+1,得2a=a1-a-1, 即a,=g-1-g_1, 2 22 所以s。=4+a++a。2[g-g)+(G-公)++(G-】-15=(6-g)-15, 又4=0，所以5l=-30又由c=d+2a,+1,得a=a,+且a=0, 可知a2=±1,4=±2,0，a4=±3，±1，a=±4，±2,0，a。=±5，±3，+1，， 所以a是整数，于是S是整数，且a是偶数的平方，则S=G,-30≥62-30-3，当41=6取等号 下面举例说明a1可以取到6,4m-1=0,n∈N,n≤13,4m=-1,neN,n≤12 a426=1,47=2,a2s=3,a2g=4,40=5,41=6,此时S0=4+42++40=13×0+12×-1）+1+2+3+4+5=3, 所以S0的最小值为3.故选：D. 7.已知数列bn}满足b=2,bn-b-1=2(n≥2)，设数列 的前n项和为Tn,则T。=() b 9 10 11 12 A. B. D. 10 11 C.12 13 【答案】B 1111 【分析】根据-b=2之2，且么=2，利用累加法求得6，=广+，从而得到方n+Dn十，再利 用裂项相消法求解. 【详解】因为b.-bn-1=2n(n≥2)，且b=2, 所以当n≥2时，6=么+6，-b)+6,-6++6-b,+上2464+=(2+2nn n 4n. 2 因为b=2也满足b=t+n,所以b.=n2+n. 因为方所似z--3+日4)1所以x=1立品 1111 故选：B. 8.已知等差数列{a}的公差d=1,且a,a+1,2a成等比数列，则数列{(-1)a}的前2025项和为() A.-1013 B.-505 C.505 D.1013 【答案】D 【分析】根据a,a+1,2a。成等比数列，结合等差数列的通项公式可得4=1，进而得到a.=n,b.=(-1)n,进而 求和即可。 【详解】设首项为a,因为a,a+1,2a,成等比数列， 所以(4+1)=4×2a,则(4+5)=(a+2)×2(a+5), 解得a=1或4=-5，当4=-5时，a4,=0,此时与a,a+1,2a成等比数列矛盾，故排除， 当a=1时，a.=1+n-1=n,此时令bn=(-1)+an=(-1)mn, 而其前2025项和为1-2+3-4+..-2024+2025， =(1-2)+(3-4)++(2023-2024)+2025=1012×(-1)+2025=1013.故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分) an-,n为3的倍数 9.己知数列{a}满足a=1,a+1= a,+5,不是的倍数'则（) A.am-2=5n-4 B.n∈N,3T∈N,an+r=a C.若n≤k(k∈N),an≤2026，则k的最大值为1214 D.{a}的前36项和为1226 【答案】AC 【分析】根据给定的递推公式，求出4-2，a-1,a的表达式，再结合单调性及并项求和法逐一分析判断。 【详解】对于A,4+1-4-2=4m-1-4m-2=4m-2+5-4m-2=5,数列{4m-2}是首项4=1， 公差为5的等差数列，4m-2=4+5(1-1)=5n-4,A正确： 对于B,由选项A得4m-1=a-2+5=5n+1,am=4m-1+5=5n+6, 数列{a-2,{a-},{an}均为递增数列， 数列{a}中除a=1外，其它项均不为1，B错误： 对于C,由选项B得421=2021,4122=2026,423=2021,4214=2026,4215=2031， 当n<1215时an≤2026，因此k的最大值为1214，C正确： 对于D,由选项B得a-2+am1+an=15n+3,因此数列{a}的前36项和为 a+a+a)+a,+4+a)+a4+a,+a)=18+183×12=1206,D错误故选：AC 2 10.已知数列{a}的前n项和为Sn,且a1=3,S1=Sn+2a,-1,则() A.4=5 B.数列{an+l}是等差数列 C.an=2+1 D.S=2m++n-2 【答案】ACD 【分析】令=1直接代入计算可得A正确，根据a,S.的关系式以及等比数列定义即可求得数列{a,-1}为等比数列， 可得B错误，再求得数列{a}的通项公式可得C正确，结合分组求和以及等比数列前项和公式计算可得D正确. 【详解】对于A,由a1=3,S1=Sn+2a.-1可得S2=S+2a-1, 即4+4，=34-1，所以4，=2a-1=5,因此A正确， 对于B,由Snt1=Sn+2an-1可得Sn1-Sn=2a.-1,即a1=2a.-1, 显然(a1+1)-(a+1)=an1-an=2an-2an-1不是定值， 因此数列{a.+1}不是等差数列，即B错误；对于C,结合B分析由a+1=2an-1可知a1-1=2(a-1), 即数列{a.-1}是以4-1=2为首项，公比为2的等比数列，因此可得a,-1=2×2-1-2”,所以an-2”+1,即C正确： 对于D,8,=4+a++a=2+1+22+1++2+1=2+2+…+2°+n=20-2） +n=2++n-2,即D正确. 1-2 故选：ACD 11.已知数列{a}满足：4=3,3a.=(n+1)a+1,则下列说法正确的是（) A.4=9 B.{a}是单调递增数列 C.若T为数列 a (n+1)3" 的前n项和，则T,<1 D.若对任意n∈N,都有(-l)2an≤an,则-3≤≤1 【答案】ABC 【分析】根据累乘法可得4=”，即可判断A根据>1即可求解B,根据裂项相消法即可求解C,根据单调性， 1 对n分奇偶即可求解D. 【详解】市3ma+a,可得会杂故a-2及g-3 a30m-13(n-23x23x18 3 a1 an-2 a n n-1 32 名地符合数a=马号9A正统 33 au1=3n= 由于 1+2>1,枚a1>a,因此a}是单调递增数列，B正确， a.n+1n+1 n 上占故=动}引动11，c正， (0m+1)30m+1)3Gm+1nnn+1 i-aa可定y2=名-3司 a 当为激时，则天恒成立：由于侧=1品单词递瑞，故3中)2 n+1 当n为奇数时，则-1≤31-1 )恒成立，由于回=1单造，放≤3- n+1 故对任意n∈N,都有（←少a,≤a,1,则-s元≤2，故D错误，故选：ABC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.已知数列a}的前n项和为8，=a-2eN).么-a-8+eN),侧数列}的前项和 T= 201-2 【答案】 20H-1 【分析】先根据a.与Sn的关系求出数列{a}的通项公式，再利用裂项相消法求解即可. 【详解】由Sn=2a,-2,当n=1时，S=a=2a-2,即4=2； 当n≥2时，a4.=Sn-S1=2a.-2a1,即an=2a1,所以数列{a}为等比数列，首项为2，公比为2， 则a-2×2=2,9-2x2）=2…-2所以6=a-8+02-0e-22m1· a 2州 1 1-2 则r1写 11 201-2 21-2 ++2-2i-121 2"1-1 故答案为： 2”1-1 1 13.己知数列{a}的前n项和为S,a,+a+1=3,若数列 2 SS) 的前k项和为工=19则=— 【答案】18 1 【分析】由题意可求出S2,进而利用裂项相消对数列 求和即可. 【详解】因为an+a1=3,所以S2n=(4+42)十(q+4)十+2n1+n片31， 1 则。 S2 w8900到-期后解w8 故答案为：18. 14.已知正项数列{a}的前1项和为Sn,4=1,4,=2，,且aa+2=a+a+3,则S6的最小值为 【答案】12+82 【分析】根据给定的递推公式探求得数列{a}的周期，再利用周期性及基本不等式求解即得 【详解】正项数列{0}中，由aa4+2=anh03,得a+1a+3=a+2a+4,则a+4=a, 即数列{a}是以4为周期的周期数列，而41=1，a=2,则a,44=44=2, 因此S6=4(a+a+4,+a)=12+4(a,+a,)≥12+8a,a=12+82,当且仅当a,=a,=V2时取等号， 所以S6的最小值为12+8√2.故答案为：12+8√2 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 1 3 15.(13分)己知数列a}满足a=24=2a:+3a,=4a, (1)证明：数列{a1-a}为等比数列： (2)求{a}的通项公式： (3)记b.=2a.+1,数列{ }的前n项和为S。,证明： 【答案】(1)证明见解析： ②a,=3 (3)证明见解析. 【分析】(1)根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列定义推理得证 (2)由(1)求得a1-4,=3-1,再利用累加法求出通项 3)由(2)求得6b ,再利用裂项相消法求和即得。 【详解】(1)在数列{a}中，由an+2+3a=4an1,得a+2-a1=3aa+1-3a.=3(a+1-a), 1 由4，)得a4；)1≠0，所以a是以1为首项，3为公比的等比数列 (2)由(1)知a+1-4.=1×3-1=3”-1, 当n≥2时，an=(an-a-)+(an-1-a-2)+(aa-2-a4-3)+…+(a2-a)+a =3-2+3-3+3-4+139+3-201 3司）134 11、 、22，ㄢ-号满足上式 3 3-1 所以{a}的通项公式为a= 2 由2得62血+1-1,8.0g 38-1 111 、111 、1,11 11 =年3)+4)41)++有131 则Sn=( )+ 于中是缕积是谣播数外园此886义写0，则双骨}安所似6我 16.(15分)已知等比数列{a}的前n项和为S,若S,S,S+2成等差数列. (1)求等比数列{a}的公比9： (2)若a=1,b=log2a,求数列{ab}的前n项和T 【答案】（①）9=-2 (2)工=-2-31-2-2)° 9 【分析】(1)由a4+1=Sn+1-Sn和a1+a+2=Sn+2-Sn并结合题意即可求解： (2)由(1)可求得a,=(-2),从而可得ab.=(n-1)(-2)，再利用错位相减法即可求解. 【详解】(1)由题意若S2,Sn,Sn2成等差数列，则得2Sn=Sn+H+Sn+2,即2S=Sn+aH1+S,+aH+a+2, 则得a1=-201,所以82=-2=g,放g=-2 4+1 (2)由(1)可知g=-2,又a=1,所以a,=(2),则a=2",b,=lg2la=n-1,所以a.b,=(n-1)(-2), T.=0+1×(2)+2×(-2)2+.+(n-2)(-2)-2+(n-1)(-2)◆1， -2T.=0+1×(-2)2+2×(-2)++(n-2)(2)+(n-1)(-2)°◆2， 由1-02可得3江=0+(-2)+(-2)2++(-2)1-(1-1)(-2)” 21-210m-K22-2》12j解得7=2-6m,22 1-(-2) 3 9 所以数列{ab,}的前n项和T=-2-(3n-2)(2少 9 =7 17.(15分)已知首项相同的等差数列a}的公差与等比数列私的公比大小相等，且b1>b,么2a,么=5. (1)求数列{a}和b}的通项公式； (2)令cn=ab,求数列{Cn}的前n项和I 【答案】(1)4.=21-1，bn=2-1 (2)Tn=3+(21-3)2” 【分析】(1)设等差数列{a}的首项为a,公差为d,等比数列b}的首项为b,公比为9，因为a=b,d=q,结 合题中等式的联立方程组，结合b1>b,即得首项和公差，最后利用等差数列等比数列通项公式求解即可： (2)由(1)可知cn=abn=（(2n-1)2”-1,利用错位减法求解前n项和T即可. 【详解】(1)设等差数列{a}的首项为a,公差为d,等比数列{b}的首项为b,公比为9， 由题意可知a1=b,d=q, 4+3d7 4+3d7 [a=6 根据题意可得 b92 ad2,解得 4=1 ,1或 a+3d-bg=5 a +3d-ad=5 d=3la-2 且b1>b,等比数列单调递增，d=g>1,所以 4=b=1 d=q=2 等差数列{a}的通项公式为a.=4+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1, 等比数列b}的通项公式为b=b,q1=21 (2)由(1)可知cn=abn=(21-1)21，当c=ab=1, 则Tn=G+C2+C3++Cn-1+Cn=2°+3×2+5×22++(2n-3)×2"-2+(2n-1)×2-1①， 2T=2+3×22+5×2+-+(2n-3)×2-1+(2n-1)×2"②， ②-①得Tn=-2°-2×2-2×22+-2×21+(21-1)×2”=-1-2×2-2×22+..-2×2-1+n×2"H-2 12+2++2）2之.1上292x8m2-140-2r40wg-3 =3-2+1+1n×2m1-2”=3-3×2”+n×21=3+(2n-3)2 18.(17分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a=8,2Sn=n(an-1). (1)证明： a+1 是常数列； (2)设b.= 3S-1’ 求数列b}的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 四42 【分析】(1)利用S,an的关系作差变形，并验证首项证明即可； (2)利用第一问的结论，先计算a,由等差数列的求和公式计算S,再根据裂项求和法计算即可. 【详解】(1)已知数列{a,}的前n项和为Sn,4=8,2Sn=n(a+1-1). 当n=2时，2(a+a2)=2×(8-1),a+a2=7 当n=1时，2a=a2-1,.4=2,42=5 当n≥2时，2Sn-1=(n-1)(an-1), ÷2a=2,-2=(aa-1)-(n-10(a-,即(0n+1)a,=a4-1,8=a 11) 6+1-马+1 nn+1 nn+1) nn+1 当n=1时也符合上式，.数列 a+1 是常数列 n (2)由(1D知8=3，÷a,=3m-1,·g=n3n+, n 2 2 2 b 211 9m+3n-23n+2)3n-1)33n-13n+2 3n-13n+2323n+23n+2 19(17分)已知数列a,》的前n项和为S,且8=”？ 22 (1)求数列{a}的通项公式； 1 (2)设b.-1og,a,0g,a.n ,求数列{bn}的前n项和T.; 6数列)满足后气++了古，不等式（少8《对一切e水相成立，求天的取 值范围！ 【答案】(1)数列{a}的通项公式为：a,=3”. (②)数列{化，}的前n项和为：工= n+1 (3)入的取值范围为 17) 3'9 「S,n=1 【分析】(1)利用数列前n项和Sn与通项a,的关系a= 9,-S,n≥2来求解： (2)先根据(1)的结果求出b.,再利用裂项相消法求数列b}的前n项和； (3)先根据已知条件求出c,再区分为奇数和偶数两种情况讨论不等式(-1)”2<3-c.恒成立时2的取值范围. 【详1当1时，4=9=3当a2时a=成-8片引传引于 3”3- 根据指数运算法则a=44,3=3-3则3,3-3当n=1时，4=3也满足a=3 2 故数列{a}的通项公式为：a,=3”. (2)己知b.1g,a0ga 1 ，由(1)可知a。=3”，则1ogan=log,3”=n, 2026届高考数学一轮复习 课时作业：数列 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若是等比数列，且，则数列的前8项和为（    ） A．689 B．716 C．729 D．1597 2．若数列满足，，则（    ） A．155 B．156 C．203 D．204 3．已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 4．关于的不等式的整数解个数为时，，设为数列的前项和，则（   ） A． B． C． D． 5．已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 6．记数列的前项和为，若，且，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知数列满足，设数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 8．已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知数列满足，则（    ） A． B． C．若，则的最大值为1214 D．的前36项和为1226 10．已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B．数列是等差数列 C． D． 11．已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B．是单调递增数列 C．若为数列的前项和，则 D．若对任意，都有，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知数列的前项和为，则数列的前项和 . 13．已知数列的前项和为，若数列的前项和为，则 ． 14．已知正项数列的前项和为，且，则的最小值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知数列满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)记，数列的前项和为，证明：. 16．（15分）已知等比数列的前项和为，若成等差数列. (1)求等比数列的公比； (2)若，求数列的前项和. 17．（15分）已知首项相同的等差数列的公差与等比数列的公比大小相等，且， (1)求数列和的通项公式; (2)令，求数列的前项和. 18．（17分）已知数列的前项和为. (1)证明：是常数列； (2)设，求数列的前项和. 19．（17分）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)若数列满足，不等式对一切恒成立，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $