17.2用公式法分解因式 同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学上册

17.2用公式法分解因式 第1课时 运用平方差公式分解因式 学科网（北京）股份有限公司 重难点 运用平方差公式分解因式 【典型例题】分解因式： 思路导引 先整理成两数平方差的形式，再运用平方差公式进行因式分解. 【解】 =(3a+4b)(3a-4b). =(1+2ab)(1-2ab). =[3(a+2b)+2(a-b)][3(a+2b)-2(a-b)]=(5a+4b)(a+8b). 【即学即练】 1.如果实数x，y满足方程组 那么 的值为 . 2.分解因式： 课后作业·测评 夯基达标 1.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ） 2.将多项式 分解因式，正确的是（ ） A.(2x+1)(2x-1) B.(1-2x)(1+2x) C.(1+2x)(2x-1) D.(1+4x)(1-4x) 3.若k 为任意整数，则( 的值总能（ ） A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除 4.若多项式 能用平方差公式分解因式，则单项式M= (写一个即可). 5.分解因式： 6.若a+b=2,则 的值是 . 7.利用因式分解简便运算： 能力提升 8.若a,b,c 是△ABC 的三边长,则a²- 的结果（ ） A.大于零 B.等于零 C.小于零 D.不确定 9.利用平方差公式分解因式： 拓展创新 10.在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆.原理：如对于多项式 因式分解的结果是(x-y)(x+y)· 若取x=9,y=9,则各个因式的值是(x-y)=0,(x+y)=18, 于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式 取x=10,y=10时,用上述方法产生的密码可以是 .(填一个即可) 学科网（北京）股份有限公司 第2 课时 运用完全平方公式分解因式 学科网（北京）股份有限公司 重难点 运用完全平方公式分解因式 【典型例题】分解因式： 【解】 规律方法 1.完全平方公式的特点：左边是一个三项式，其中两项同号，且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2 倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号与左边的乘积项的符号相同. 2.运用完全平方公式分解因式的一般步骤： (1)观察多项式的特点，确定a，b. (2)把多项式写成 的形式. (3)因式分解成 的形式. (4)因式分解结果能化简的要进行化简. 【即学即练】 1.填空: (1)x² +10x+ =(x+ )²; ( )². 2.分解因式： 课后作业·测评 夯基达标 1.将下列各式分解因式，结果中不含有因式(x+2)的是( ) 2.把代数式 分解因式，结果正确的是（ ） 3.如果多项式 加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，那么添加的单项式不可以是（ ） A.2x B.-2x C. x⁴ 4.分解因式： 5.分解因式:(a+1)²-4a= . 6.利用分解因式计算： 7.分解因式： (1)m(m+4)+4; (4)4+12(x-y)+9(x-y)². 能力提升 8.若 是关于x的完全平方式，则m 的值为（ ） A.7 B.-1 C.-1或7 D.1或-7 9.已知a-b=1,则 的值为 . 学科网（北京）股份有限公司 10.若 求a,b的值. 拓展创新 11.对于形如 的二次三项式，可以用公式法将它分解成( 的形式.但对于二次三项式 就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式 中先加上一项a²，使它与 的和成为一个完全平方式，再减去a²，整个式子的值不变，于是有 (x-3a)(x+a).像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去添加的项，使整个式子的值不变的方法称为配方法.利用以上配方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知m 是实数，求二次三项式 6m+1的最小值; (3)已知x 是实数，试比较 与 的大小，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 第 3课时 综合运用各种方法分解因式 重难点 综合运用各种方法分解因式 【典型例题】将下列各式分解因式： 【解】(1)原式 (2)原式 (3)原式 规律方法 因式分解的一般步骤：首先看有无公因式可提；然后考虑是否可用公式法分解，若是两项可考虑平方差公式，若是三项可考虑完全平方公式.每个因式都要分解到不能再分解为止. 【即学即练】 1.分解因式: 2.分解因式： 课后作业·测评 学科网（北京）股份有限公司 夯基达标 1.分解因式: ( ) A. a(a-3)(a+3)B. a(a²+9) C.(a-3)(a+3) 2.如果a+b=3, ab=1,那么 的值为（ ） A.0 B.1 C.4 D.9 3.分解因式： 8x+8= . 4.分解因式：3x²-18x+27= . 5.分解因式: 能力提升 6.已知m=5,x=y-3,则代数式 的值为（ ） A.-15 B.25 C.-45 D.45 7.分解因式： 8.分解因式(a-b)(a-4b)+ ab 的结果是 9.分解因式： 拓展创新 10.“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下. 甲： (分成两组) (直接运用公式) =(a-b+2)(a-b-2) 2 (a-b)(分成两组) = a(a-b)-(a-b)(提公因式) =(a-b)(a-1) 请在他们解法的启发下解答下列各题. (1)分解因式： (2)若a,b,c 分别为△ABC三边的长. ①若满足 请判断△ABC 的形状，并说明理由； ②若满足 求c 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 17.2用公式法分解因式 第1课时 运用平方差公式分解因式 即学即练 【解析】 2.【解】 (a+b)(a-3b). 【课后作业·测评】 1. B【解析】 不能用平方差公式进行分解. 2. B 3. B 【解析】 3-2k)=3(4k+3). ∵k为任意整数， 的值总能被3整除，故选 B. 4.-4(答案不唯一) 6.4【解析】∵a+b=2, b)+4b=2a-2b+4b=2a+2b=2(a+b)=4. 7.【解】(1)原式=(1001-999)×(1001+999)=2×2000=4000. (2)原式=(999+1)×(999-1)=1 000×998=998000. 8. A 【解析】由三角形三边的关系,得a+b-c>0,a+c-b>0,所以 (b-c)]=(a+b-c)(a-b+c)>0. 9.【解】(1)原式 (2)原式=(a+b+a-4b)(a+b-a+4b)=5b(2a-3b). 10.答案不唯一,例如:103010 【解析】 x(2x+y)(2x-y)[或x(2x-y)(2x+y),或(2x+y)(2x-y)x等],把x=10,y=10代入,可得密码103010(或101030,或301010). 第2课时 运用完全平方公式分解因式 即学即练 1.(1)25 5 (2)9b² 5a+3b【解析】(1)由10x=2·x·5,于是有 则有 2.【解】 【课后作业·测评】 1. C 【解析】 分解结果中不含有因式(x+2),故选C. 2. D 【解析】 3. D 【解析】 加- 无法构成完全平方式，故选 D. 【解析】 【解析】 6.【解】(1)原式: (2)原式 7.【解】 8. C【解析】 是关于x的完全平方式， ∴2(m-3)x=±2×x×4=±8x, 即2(m-3)=±8, 解得m=-1或m=7. 9.1 【解析】∵a-b=1, 10.【解】由 得 即 ∴a=-1,b=3. 11.【解】 2)²-9=(a-2+3)(a-2-3)=(a+1)(a-5). 因为 所以当 时， 有最小值.即当m=-3时，二次三项式 的最小值为-8. 证明： 故 第3课时 综合运用各种方法分解因式 即学即练 1.3a(a+2)(a-2) 【解析】原式 3a(a+2)(a-2). 2.【解】(1)原式 (2)原式 (3)原式 【课后作业·测评】 1. A 【解析】 2. D 【解析】因为a+b=3, ab=1,所以 【解析】 【解析】 5. x(x+5)(x-5) 【解析】 x(x+5)(x-5). 6. D 【解析】∵x=y-3, ∴x-y=-3, 又m=5, 【解析】原式 【解析】( 9.【解】(1)原式 [13(a-b)+14(a+b)][13(a-b)-14(a+b)]=(27a+b)(-a-27b)=-(27a+b)(a+27b). (2)原式 10.【解】(1)原式 (2)①△ABC 为等腰三角形,理由如下: 已知 变形得 即(a-b)(a-b+c)=0. ∵a,b,c 分别为△ABC 三边的长, ∴a-b+c>0, ∴a-b=0, ∴a=b,即△ABC为等腰三角形. ②已知 整理得 即 那么a-6=0,b-4=0, 解得a=6,b=4. ∵a,b,c 分别为△ABC三边的长, ∴a-b<c<a+b,即6-4<c<6+4, ∴2<c<10,即c的取值范围为2<c<10. 学科网（北京）股份有限公司 $